Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Конспект для сдачи экзамена по Матанализу - файл 1.doc


Конспект для сдачи экзамена по Матанализу
скачать (20779.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc20780kb.18.11.2011 00:36скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

1   2   3   4   5   6   7
Реклама MarketGid:
Загрузка...
^

Классификация точек разрыва функции.


Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х0), а в самой точке х0 может быть как и определена, так и неопределенна.

1) Точка х0 называется точкой разрыва 1ого рода функции, если

а) Существует lim f(x)’=lim f(x)’’ , но либо функция неопределенна в точки х0 либо f(x0)b. Тогда точка х0

xx+0 xx-0

точка устранимого разрыва.




1,x=1

Y=(x-1)/(x-1)=

Не , x=1

б) f(x)=cb



Можно доопределить или переопределить в точке х0, так что она станет непрерывной.

 lim f(x)=b; lim f(x)=c, но bc

xx+0 xx-0



Может быть и определена f(x0)=b





Или f(x0)=d


2)Точка х0 называется точкой разрыва 2ого рода функции если она не является точкой разрыва 1ого порядка, то есть если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.



y=sin(1/x)



Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Все основные элементы функции непрерывны в любой точки своей области определения.

Определение: (функции непрерывной на отрезке)

y=f(x) – называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в любой точке х(a,b). В точке х=а функция непрерывна справа, то есть lim f(x)=f(a), а в точке х=b функция непрерывна слева lim f(x)=f(b).

xx+0 xx-0

Функция непрерывна на множестве D если она непрерывна в этой точке.
Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции)

Пусть y=f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0)>0 (f(x0)<0), тогда f(x)>0 f(x)<0 непрерывна в некоторой точки О(х0)

Доказательство:  lim f(x)=f(x0) ε>0  >0 x: x-x0<  f(x)-f(x0)|<ε.

xx

Пусть f(x0)>0, выберем ε=f(x0)  f(x)-f(x0)<f(x0) xO(x0) (>0!)

-f(x0)<f(x)-f(x0)<f(x0); f(x)>0 xO(x0), если f(x0)<0, то ε=-f(x0)
^ Теорема Коши: ( о нуле непрерывной функции)

Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и на концах его принимает значение разных знаков f(a) f(b) <0, тогда  x0(a,b): f(x0)=0

Доказательство:

f(b)>0 f(a)<0


Разделим отрезок [a,b] пополам. Если в середине отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину отрезка, на концах которой функция принимает значение разных знаков. Выбранной отрезок поделим пополам. Если в середине нового отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину от той половины, на концах которой функция принимает значение разных знаков и т.д.

[a,b][a1,b1][a2,b2]

Последовательность левых концов удовлетворяет отношению a<a1<a2<…<an<…<b

bb1b2…bn…>a 

{an}-ограниченная не убывающая  lim an=b f(a)<0 f(an)<0 n

x+ [anbn]=(b-a)/2n 0 при n

{bn}-ограниченная не возрастающая  lim bn= f(b)>0 f(bn)>0 n

x+

В силу непрерывности функции lim f(an)=f (lim bn)=f()0 lim (bn-an)=-= lim (b-a)/2n=0=

x+ x+ x+ x+

f()0

 f()=0 x0=

f()=f()0

Условие непрерывности функции нельзя отбросить: f(b)>0; f(a)<0



Теоремы Вейштрасса.

1) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она ограниченна на нём.

Замечание: а) Условие непрерывности нельзя отбросить


Неограниченна сверху  неограниченна





б) Нельзя заменить отрезок на интервал или

полуинтервал.

Непрерывна на (0;1]

2) ^ Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Среди её значений есть наибольшее и наименьшее.

Замечание: а) Множество [0;1] наибольшее значение 1М

наименьшее значение 0  М

б) Множество (0;1]=М наибольшее значение 1М

нет наименьшего

в) Множество [0;1)=M нет наибольшего

наименьшее значение 0  М

г) Множество (0;1)=М нет ни того не другого.

Условие отрезка нельзя заменить на интервал или полуинтервал.

x(0;1] непрерывна на (0;1] нет наибольшего значения
^ Лекция №10

Тема: «Коши, производные»
Теорема: (Коши о промежуточных значениях)

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значение разные значения.

f(a)=A f(b)=B AB. Тогда С лежащею между А и В,  х0(a,b): f(x0)=C. Другими словами нет точек которые не являются значением отрезка.

Доказательство: A<B, C(A,B) (x)=f(x)-C.

Эта функция непрерывна на отрезке [a,b]

(a)=f(a)-c=A-C<0 по теореме Коши №11  x0(a,b):(x0), то естьf(x0)-C=0 f(x0)=c

(b)=f(b)-c=B-C>0

Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить



[c,d][A,B]

[c,d)E(f)


Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.
Производная функции. ∆Х

Пусть y=f(x) определена в O(x0)

x=x-x0 – называется приращением аргумента в т х0 Х

Х Х

Разность значений функций.

∆y=∆f(x0)=f(x)-f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0) – называется приращением функции в точки х0. Через эти обозначения можно определить непрерывность функций:

f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim ∆y=0

x0

lim[f(x)-f(x0)]=lim[f(x)-f(x0)]0 lim[f(x)]=f(x0)]

x-x0 xx xx

Определение непрерывной функции в точки приращения:

f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim ∆y=0

x0
Определение: (производной функции)

Пусть y=f(x) определена в О(х0) и  lim[∆y/∆x]<, тогда этот предел называется производной функции f(x) в

х0

точке х0.
1   2   3   4   5   6   7



Скачать файл (20779.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru