Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Конспект для сдачи экзамена по Матанализу - файл 1.doc


Загрузка...
Конспект для сдачи экзамена по Матанализу
скачать (20779.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc20780kb.18.11.2011 00:36скачать

1.doc

  1   2   3   4   5   6   7
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Матанализ

Конспект лекций

Введение

Основные числовые множества.

Окрестности.

Модуль и основные неравенства.

Функция. Монотонность. Ограниченность.

Функции

Ограниченные последовательности.

Монотонные последовательности

Пределы последовательности.

Последовательности

Бесконечно малые последовательности

Свойства бесконечно малой последовательности.

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.

Теоремы о пределах числовых последовательностей.

Теорема о пределе суммы:

Теорема о произведение пределов:

Теорема о пределе частного

Бесконечно большие последовательности.

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Бесконечно большие последовательности

Определение под последовательности

Предел функции.

Замечательные пределы

Первый замечательные пределы.

Определение бесконечного предела и пределов при х+.

Односторонние пределы.

Второй замечательный предел.

Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.

Шкала бесконечности.

Степенные бесконечности.

Показательные бесконечности.

Основные эквивалентности.

Асимптотические формулы

Теорема(об ограниченности непрерывной функции в окрестности точки).

Теорема:(о непрерывности сложной функции)

Непрерывность некоторых функций.

Точки разрыва»

Классификация точек разрыва функции.

Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции)

Теорема Коши: ( о нуле непрерывной функции)

Теоремы Вейштрасса.

Теорема: (Коши о промежуточных значениях)

Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Производная функции.

Разность значений функций.

Физический смысл производной.

Геометрический смысл производной.

Основные теоремы о производной.

Теорема: (о произведение частного)
^

Таблица производных


Производные, дифференциал

Дифференциал функции.

Гиперболические функции.

Линеаризация

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

Линеаризация функции.

Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.

Погрешности вычисления.

Изучение поведения функции при помощи первой производной.

Экстремумы функции.

Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

«Экстремумы»

Теорема (Ролля):

Геометрический смысл.

Теорема Лангранджа:

Теорема: (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной)

Производная функции высшего порядка.

Производная функции высшего порядка.

Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа)

Правила Лопиталя.

Формулы Тейлора.

Свойства многочлена Тейлора.

Формула Тейлора с остаточным членом пеано.

Пять основных разложений

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Выпуклость и вогнутость.

Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).

Асимптоты.

Полное исследование функции.

Приближенные методы решения уравнения f(x)=0

Оценка скорости сходимости.

Метод касательных (метод Ньютона)

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа в точке xn

Циклоида

Параметрическая производная.
Лекция №1

Тема: Введение
Условные обозначения:

: - так, что def – по определению

 – включает ’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)

 - следует, выполняется

 - тогда и только тогда

 - любой

 - существует

] – пусть

! – единственный

[x] – целая часть

- эквивалентно

о - малое

Все ^ R представляют десятичной дробью.

Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью.

Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не периодичной).
Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной точкой и отмеченным масштабом.


x


0 – отвечает за ноль.

Отрезок [0;1] отвечает за единицу

Единица за единицу.

Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны.

Каждому ^ R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке отвечает R.

Основные числовые множества.
x

Отрезок: [/////////] x

a b

Обозначается [a;b] ab

Частный случай отрезка точка

Или axb – в виде неравенства.
х

Интервал: (/////////) x – множество точек на числовой прямой.

a b

Обозначается (a;b) или в виде неравенства a<x<b


x

Полуинтервал: (/////////] x

a b

x

[/////////) x

a b

Обозначается: [a;b) axb

(a;b] a<xb

Всё это числовые промежутки.
Замечание: один из концов ( а или b) может быть символом .

x

///////////////] x (-;b] или -<xb

b
x

///////////////) x (-;b) или -<x<b

b

Вся числовая прямая – R=(-;+)


Окрестности.

Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-ε<x<a+ε  x-a  (////////) x  Оε(а)

ε>0 а-ε а а+ε
Оε(а)={x^ R:x-a<ε}
Проколотая ε окрестность – Оε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а.

Оε(а)={xR:0<x-a<ε}

(////////) x

а-ε а а+ε


^ Правая ε поло окрестность точки а: О+ε(а)={xR:ax<a+ε}
 ///////) x

a a+ε

Проколотая правая ε поло окрестность точки а: Оε(а)={xR:a<x<a+ε} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

Левая ε поло окрестность точки а: O-ε(a)={xR:a-ε<xa}

(//////// x

a-ε a
^ Проколотая, левая ε поло окрестность точки а: О-ε(а)={xR:a-ε<x<a} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.


Модуль и основные неравенства.
x; x>0

х= 0; x=0

-x; x<0




|x|<h  -h<x<h |x|>h x>h

h>0 x<-h



  1.  а,b  R: |ab|a|+|b|

  2.  а,b  R: |a-b|||a|-|b||

Можно рассматривать окрестности бесконечности:

Оε(+)={xR:x>ε} (////////// x

ε>0 ε

Оε(-)={xR:x<-ε} ///////////)  x

ε>0 -ε 0
Оε()={x^ R:x>ε} \\\\\\) (////// x

x>ε;x<-ε -ε ε


Функция. Монотонность. Ограниченность.

х – называется независимой переменной.

у – зависимой.

Функцию можно задавать равенством (у=х2)

Таблицей

Х

Х1

Х2

Х3

Х4

У

У1

У2

У3

У4

Графиком, то есть множеством точек с координатами (x,f(x)) на плоскости:


Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D ( ]xD)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

  1. Возрастающая на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)<f(x2)



  1. Убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)>f(x2)



3) Не убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)f(x2)



  1. ^ Не возрастающая на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)f(x2)



Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

  1. Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR

  2. Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах

  3. Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС



Лекция №2
Тема: Функции


Определение (сложная функция):

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.
Пример: Пример

z=sin ex w=arctgcos exx-ln x

y=ex=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R+

G=[-1;1]
Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:




y=f(g(y)),  yE y=f(g(y)), для любого уЕ



x=g(f(x)),  xD x=g(f(x)), для любого хD
Примеры:

1)y=x3  x=3y

D=R

E=R

2)y=x2  x=y

D=R+ {0}=[0;+)

E=[0;+)

D=R- {0}=(-;0]

E=[0;) x=-y


3)y=sinx

D=[-/2;/2]

E=[-1;1]

x=arcsiny

y[-1;1]; x[-/2;/2]



Пусть y=f(x)

D=[a;b]

E=[A;B]

Определение: y=f(x), nN

a1=f(1)

a2=f(2)

an=f(n)

{an} – множество значений силовой последовательности nN или аn

{аn}={1,1/2,1/3,…,1/n,…}

аn=1/n

n}={sin1;sin2;sinn}

аn=sinn

аn=(-1)n/n
{(-1)n}={-1;1;-1;1;-1;1…}

Ограниченные последовательности.

  1. Ограниченная сверху, то есть существует В так что аnВ, для любого nN

  2. Ограниченная снизу, то есть существует А так что Аbn, для любого nN

  3. Ограниченная, то есть существует А,В так что АаnВ, для любого nN  существует С>0 так что аnС, для любого nN.



  1   2   3   4   5   6   7



Скачать файл (20779.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru