Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции по Экономической кибернетике - файл 1.doc


Лекции по Экономической кибернетике
скачать (922 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc922kb.18.11.2011 00:44скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

1   2   3   4
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Тема 9. Общественное потребление
^ Нормативные методы определения потребности населения

При формировании рациональных норм потребления исходят из предположения, что на каждом данном этапе состояния экономики объективно существует некоторый разумный, ограниченный сверху уровень потребностей человека в том или ином благе, к достижению которого он стремиться в меру своих возможностей.

Статистический анализ потребления имеет целью количественно оценить влияние на него тех или иных факторов и проследить закономерности его изменения. Такая информация необходима для обоснования различных мероприятий по повышению уровня жизни и вместе с тем используются при планировании народного потребления.

Исходным этапом является построение моделей, описывающих зависимость интенсивности потребления семей от совокупности факторов, наиболее существенных и поддающихся количественному измерению. Наблюдения показывают, что ими являются доходы и половозрастная структура семьи.

Допустим, что известны нормативы Сij потребления i-х групп товаров и услуг для каждого j-го члена семьи в соответствии с его полом, возрастом и категорией труда. Примем в качестве условной потребительской единицы взрослого мужчину, занятого механизированным трудом, для которого норма потребления равна Сim. Тогда отношения

(6.1)

определяют в этом масштабе (потребительской шкале) число потребительских единиц каждого из членов семьи по i–му благу, а – общее число таких единиц для семьи.

Далее согласно нормативному бюджету расходы для j-го члена на потребление распределяются между отдельными компонентами с удельными весами αi (где Σαi=1). Тогда путем взвешивания отдельных потребительских шкал по их долям в нормативном бюджете можно построить итоговую шкалу j-го члена семьи по расходам на все товары и услуги. Эта шкала определяет итоговое число γui = Σγijαi потребительских единиц указанного члена семьи с присущими ему признаками, а для семьи в целом

(6.2)

Шкалы γij и доли αi не зависят от доходов семьи. Тогда при построении функции потребления семьи с одинаковым числом потребительских шкал могут быть объединены в одну группу. Таким образом, нормативные потребительские шкалы удобны для анализа и планирования потребления. При расчете шкал используются статистические данные о фактическом потреблении.
^ Формирование потребления
Формирование моделей потребления на основе статистических данных проводят в три этапа:

  1. Выбор показателей дохода и структуры семьи;

  2. Выбор уравнения регрессии интенсивности потребления данного блага на эти показатели;

  3. Оценка параметров регрессии по выборочным данным.

В качестве показателей дохода может приниматься его совокупная величина, доход на душу или потребительскую единицу. Структуру семьи можно оценить в единицах потребительских шкал, в долях числа детей и взрослых или по конкретному составу типовых семей.

С увеличением интенсивности денежных доходов (D) интенсивность расходов на потребление (Р) также увеличивается. Одновременно изменяется структура потребления, причем характер ее изменения зависит главным образом от структуры семьи.

При изучении закономерностей потребления и логическом обосновании вида соответствующих функций важную роль играют коэффициенты эластичности потребления по факторам, характеризующие реакцию потребителя на изменение соответствующего фактора.

Предположим, зависимость интенсивности потребления i-го блага от совокупного дохода D для семей γ=γu выражена функцией.
Рi = fi (Dk) (6.3),

непрерывной вместе с двумя первыми производными. Выберем произвольную точку A с координатами (DАPiА). Пусть ∂D малое приращение интенсивности дохода в окрестности этой точки, а - соответствующее относительное приращение этого фактора. Вызванное им относительное изменение интенсивности расхода имеет следующий вид:

Тогда

(6.4),

есть коэффициент эластичности потребления i-го блага по доходу в выбранной точки. При фиксировании γ он является в общем случае функцией дохода. Коэффициент эластичности безразмерен и интерпретируется так: если он равен, например двум, то при неизменном γ увеличение дохода на 1% вызывает рост расходов на потребление на 2%. Аналогично для семей, однородных по величине дохода, величина

(6.5),

исчисленная в точке с координатами (γА, РiА), представляет собой некоторый вид эластичности: при изменении на 1% числа единиц семьи с доходом D=DА и γ=γА расходы на потребление i-го блага изменяются на Еγi %.

Коэффициент эластичности можно рассчитать непосредственно по статистическим данным. Пусть для двух групп семей, взятых из выборки, однородной относительно γ, их доходы и потребительские расходы составляют:

D1=30 P1=18

D2=32 P2=21.

Рассчитаем эластичность ЕD в точке D1, P1. Поскольку вариации переменных сравнительно малы, можно принять, что связь между показателями линейна. Тогда:

Следовательно, рост дохода в точке (30, 18) на 1% вызывает увеличение расхода на потребление на 2.5%.

При формировании комплекса функций потребления, охватывающего все его компоненты, очевидно, должно быть обеспечено его условие
(6.6)

(n – число групп потребительских благ)

то есть сумма расходов на отдельные группы благ должна быть равна чистому совокупному доходу. Если для всех функций принять линейную связь между расходами на потребление и доходом
(i=1,…,n) (6.7),
то Ĉ0i и Ĉ1i параметры регрессии, оцененные по выборочным данным, должны удовлетворять ограничениям
(6.8)

Выбор линейной связи при соблюдении условий (6.8) равносилен принятию гипотезы о независимости структуры потребления от доходов. Построение таким образом функций потребления могут служить для расчета потребительских шкал по данным бюджетной статистики. Однако они не всегда обеспечивают требуемую точность аппроксимации выборочных данных. Более удовлетворительные результаты достигаются с помощью функции вида:

(6.9)

линейных относительно логарифмов lgPi = lgC0i + C1i*lgD
^ Функции спроса
Для планирования народного потребления необходимо располагать надежной информацией, характеризующей потребности населения и их динамику. Наиболее отчетливо они проявляются в потребительском спросе, структура которого заметно отличается от фактического потребления, так как предложение тех или иных товаров и услуг часто не соответствует потребности в них. Эта неудовлетворенная потребность не проявляется в семейных бюджетах и не находит отражения в функциях потребления. Между тем такая информация имеет важнейшее значение для планирования производства. Она может быть получена только путем систематического изучения спроса и в сочетании с бюджетными данными, позволяет выявить его закономерности, прогнозировать его изменение и на этой основе обеспечивать согласование планов производства с потребностями населения.

При анализе спроса и практических расчетах приходится прибегать к его упрощенному моделированию. Наиболее простые строятся в виде статистического преобразователя
(6.10),

где – интенсивность спроса.

Такая взаимосвязь реалистична только при отдельных условиях:

1) колебание цены и спроса должны быть столь заметными, чтобы их соотношения можно было измерить;

2) заменяемость данного блага и колебание дохода наоборот незначительны;

3) влияние запасов товаров должно быть пренебрежительно мало;

4) несущественными должны быть возмущения, порождаемые неучтенными факторами.

Для большинства товаров интенсивность спроса уменьшается с увеличением их цены (при неизменном доходе). Но здесь возникают и аномалии - с повышением общего индекса цен спрос на дешевые товары увеличивается. Из этого следует, что эластичности спроса по доходу

(6.11)

для большинства благ положительны, а эластичности по их ценам отрицательны
(6.12)

В более сложных моделях при анализе спроса на данное благо учитывает также цены на некоторые другие товары, которые могут оказать на него заметное влияние. В функцию обычно включают ограниченное число таких переменных. Примером может служить линейная модель спроса на говядину построенная в США.
,

где IД – индекс доходов;

Рг – цена говядины;

Рс – цена свинины.

Временным рядом спроса и факторов, по которым строятся описанные функции, присущи весьма заметные автокорреляции, обусловленные тем, что производящие их случайные процессы, как правило, нестационарны.

Чаще всего автокорреляции исключаются путем включения в число переменных времени как дополнительного фактора.

При этом функция спроса принимает следующий вид:

(6.13)
В ней фактор t отражает совокупное влияние всех неучтенных воздействий, порождающих тенденцию в спросе.

В тех случаях, когда можно предполагать, что существенной является только стохастическая связь между соседними членами временного ряда, автокорреляцию устраняют путем включения в модель запаздывающей переменной
(6.14)
^ Тема 10. Линейные модели оптимизации в управлении экономикой
Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП)

Линейное программирование – это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (max или min) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, то есть линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные.

С помощью задач линейного программирования решается широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ставится цель поиска наилучшего (оптимального) решения.

Найти вектор =(Х1, Х2, ..., Хn) максимизирующий линейную форму

j=1, ..., n (7.1)

и удовлетворяющий условиям:

(7.2)

(7.3)

Линейная функция называется целевой функцией задачи, условия (7.2) - функциональными, а условия (7.3) – прямыми ограничениями задачи.

Вектор =(Х1, Х2, ..., Хn), компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, будем называть планом, или допустимым решением ЗЛП.

Все допустимые решения образуют область определения ЗЛП, или область допустимых решений. Допустимое решение, максимизирующее целевую функцию называется оптимальным планом задачи:



где – оптимальное решение ЗЛП.

Будем считать, что ЗЛП записано в канонической форме, если ее целевая функция максимизируется, ограничения имеют вид равенств с правой неотрицательной частью и все переменные неотрицательны.
^ Задачи оптимизации производственной

программы предприятия
В качестве критериев оптимальности будем использовать: прибыль, себестоимость, затраты станочного времени, номенклатуру произведенной продукции.

Неизвестным в задаче являются объемы выпуска продукции каждого вида. Введем следующие обозначения:

Хj, s – объем производства j-го продукта по s-му технологическому способу (j = 1,…, n); (s = 1,…, Qj);

n – количество видов выпускаемой продукции;

Qj – число технологических способов, используемых при производстве j-го продукта;

bi – наличие i-го ресурса (i = 1,…, m);

m – количество типов используемых ресурсов;

a i, j, s – норма затрат i-го ресурса на производство единицы j-го продукта по

s-му технологическому способу;

p j, s – прибыль от производства j-го продукта по s-му технологическому способу;

Tj – задание (госзаказ) по выпуску j-ого вида продукции;

C i, j – себестоимость производства j-го продукта по s-му технологическому способу;

Pi,j -- заданный уровень прибыли.
^ Задача на максимум прибыли

Используя принятые выше обозначения, модель задачи можно записать в следующем виде.


Выражение максимизирует совокупную прибыль всего объема выпускаемой продукции всех видов. В данной модели оптимизация возможна за счет включения в план выпуска наиболее выгодных видов продукции и за счет выбора для каждого вида продукции наиболее выгодных способов ее производства. Способы производства отличаются, друг от друга величиной удельной прибыли и нормами затрат ресурсов. Ограничения означают, что для любого из ресурсов его суммарный расход на производство всех видов продукции по всем способам не превосходит имеющихся ресурсов.

При составлении плана производства приходится учитывать не только ограниченность ресурсов, но и директивные задания (госзаказы) по выпуску продукции. При этом модель дополняется ограничением вида Xj>Tj, а свобода выбора значительно снижается.
^ Задача на минимум себестоимости производства

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:



При построении модели на минимум затрат наличие ограничений типа «больше» или «равно» обязательно. Отсутствие ограничений снизу ведет к оптимальному плану с нулевыми значениями переменных, которые дадут наименьшее значение критерия оптимальности. Такое решение абсурдно с экономической точки зрения.

Все допустимые решения задачи, которой соответствует данная модель, различаются по видам затрат, но одинаковы с точки зрения результата. Результатом выступает заданная производственная программа. Выбор наилучшего плана производства по минимуму затрат возможен вследствие эквивалентности результатов по всем вариантам.

Следует подчеркнуть, что при различной величине результатов вариант с меньшими затратами может быть и не лучшим: просто с наименьшими затратами мы достигаем и меньшего результата.
^ Задача на максимум выпуска продукции в заданном

ассортиментном соотношении (на максимум комплексов)

Введем новые обозначения:

Kj – количество изделий вида j, которые входят в некоторый комплект (например, комплект запасных частей для автомобиля).

Функция максимума комплектной продукции будет следующая:

,

то есть общее количество комплектов К определяется количеством изделий, из которых можно сформировать меньше всего «порций», объемом Kj . Эти изделия определяют, как бы «узкое место» в формировании комплектов, к максимальной «расшивке» которого следует стремиться.

Введем новое обозначение , которое связывает количество комплектов К с условием по формированию комплектов. Модель в общем виде с учетом наличия нескольких способов производства имеет следующий вид:



^ Задача на минимум затрат станочного времени

при заданной производственной программе
Для решения данной задачи преобразуем основные ограничения по фонду времени работы оборудования i-ой группы в управления путем ввода дополнительных неизвестных Zi, которые показывают резервный фонд времени i-ой группы оборудования в плане загрузки станков.

В результате система ограничений примет следующий вид:


Общий расход полезного времени и его недоиспользовании при заданном фонде времени работы оборудования каждой группы связаны взаимно однозначным соответствием: минимуму затрат станочного времени соответствует максимум свободного резерва и наоборот. В связи с этим целевая функция, обеспечивающая минимуму станочного времени на выполнение заданной производственной программы, будет:


Одним из направлений в математическом моделировании экономических задач является использование свойств двойственной задачи, которая может быть сформулирована для любой задачи на оптимум. Хорошо разработанный математический аппарат линейного программирования позволяет не только получать с помощью эффективных вычислительных процедур оптимальный план, но также сделать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, двойственной к исходной задаче линейного программирования (ЗЛП).
Постановка двойственной задачи
Прямая задача Двойственная задача

(7.1) (7.4)

(7.2) (7.5)

(7.3) (7.6)
Согласно теории линейного программирования каждой ЗЛП вида (7.1) - (7.3) соответствует двойственная ей ЗЛП (7.4) - (7.6). Основные утверждения о взаимно двойственных задачах содержится в двух следующих теоремах:
Первая теорема двойственности
Для взаимодвойственных задач вида (7.1-7.3) и (7.4-7.6) возможен один из взаимоисключающих случаев:

  1. В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают, то есть f(x)=g(Y).

  2. В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пусто допустимое множество.

  3. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым.

  4. Обе рассматриваемые задачи имеют пустые допустимые множества.


Вторая теорема двойственности.
(теорема о дополняющей не жесткости)

Пусть вектор =(х1, х2, ..., хn) допустимое решение прямой задачи (7.1-7.3), а Y=(y1, y2, ..., ym) – допустимое решение двойственной задачи (7.4-7.6). Для того, чтобы они были оптимальными решениями, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:
(7.7)

(7.8)
Условия (7.7) и (7.8) позволяют, если известно решение одной из взаимно двойственных задач найти оптимальное решение для другой задачи.
Теорема об оценках
Значения переменных Yi в оптимальном решении двойственной задачи представляет собой оценки влияния свободных членов bi системы ограничений - неравенств прямой задачи на величину ∆f(x):
f (x) = ∆ bi .Yi (7.9)
Решая ЗЛП (7.1-7.3), симплексным методом, мы одновременно решаем и двойственную задачу ЗЛП (7.4-7.6). Переменные двойственной задачи Yi называется объектно-обусловленными оценками.
Экономическая интерпретация двойственной задачи

Рассмотрим экономическую интерпретацию двойственной задачи на следующих примерах.
^ Пример №1. Задача оптимального использования ресурсов
Для составления плана выпуска четырех видов продукции Р1-Р4 на предприятии используют три вида сырья S1-S3. Объемы выделенного сырья, нормы расхода сырья и прибыль, полученная в результате выпуска каждого вида продукции, приведем в следующей таблице 7.1.

Составим экономико-математическую модель задачи оптимального использования на максимум прибыли. В качестве неизвестных примем Xj - объем выпуска продукции j-го вида, где j=1,...,4.

Таблица 7.1.

Вид сырья

Запасы сырья

Вид продукции.

Р1

Р2

Р3

Р4

S1

35

4

2

2

3

S2

30

1

1

2

3

S3

40

3

1

2

1

ПРИБЫЛЬ

14

10

14

11

Модель задачи:

функциональные условия

xj ≥ 0, j=1,…,4 - прямые ограничения.
Теперь сформулируем двойственную задачу. Пусть некая организация решила закупить все ресурсы рассматриваемого предприятия. При этом необходимо установить оптимальную цену на приобретаемые ресурсы у1, у2, у3, исходя из двух условий:

  1. покупающая организация старается минимизировать общую стоимость ресурсов;

  2. за каждый вид ресурсов надо уплатить не менее той суммы, которую хозяйство может выручить при переработке сырья в готовую продукцию.

Согласно первому условию общая стоимость сырья выражается величиной:
g(Y) = 35Y1 + 30Y2 + 40Y3 → min
Согласно второму требованию вводятся ограничения: на единицу первого вида продукции Р1 расходуются четыре единицы первого ресурса S1 ценой Y1, одна единица второго ресурса ценой Y2 и три единицы третьего ресурса ценой Y3. Стоимость всех ресурсов, расходуемых на производство единицы первого вида продукции, равна 4Y1 + Y2 + 3Y3 и должна составлять не менее 14, то есть 4Y1 + Y2 + 3Y3 ≥ 14.

В результате аналогичных рассуждений относительно производства остальных (2,3) видов продукции система неравенств примет следующий вид:

4Y1 + Y2 + 3Y3 ≥ 14

2Y1 + Y2 + Y3 ≥ 10

2Y1 + 2Y2 + 2Y3 ≥ 14

3Y1 + 3Y2 + Y3 ≥ 11
Цены ресурсов, естественно, должны быть неотрицательные: Y1≥0;Y2≥0;Y3≥0.

Получили симметричную пару взаимно двойственных задач. Для производственной программы 12,…,хn) и при любом векторе оценок =(Y1,Y2,…,Ym) выполняется неравенство, то есть ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки имеющихся ресурсов. Значит, величина характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой производственной программы и выбранных оценок ресурсов.

Из первой теоремы двойственности следует, что при оптимальных производственной программе и векторе оценок ресурсов, производственные потери равны нулю.

Согласно второй теоремы, предъявляются следующие требования:



(7.10)



(7.11)

Условия (7.10) можно интерпретировать так: если оценка Yi единицы ресурса i-го вида положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью. Если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна нулю. Из условия (7.11) следует, что если j-й вид продукции вошел в оптимальный план, то он в оптимальных оценках неточен, если же j-й вид продукции убыточен, то он не войдет в план, не будет выпуска.
^ Пример №2. Планирование выпуска продукции пошивочным предприятием
Намечается выпуск двух видов костюмов – мужских и женских.

На женский костюм потребуется 1 метр шерсти, 2 метра лавсана и 1 человеко-день трудозатрат.

На мужской костюм – 3,5 метра шерсти, 0,5 метра лавсана и 1 человеко-день трудозатрат.

Всего имеется 300 метров шерсти, 240 метров лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат.

Требуется определить оптимальное число костюмов каждого вида, обеспечивающее максимальную прибыль предприятию, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского 20 денежных единиц. При этом следует иметь ввиду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов и обеспечить прибыль не менее 1400 денежных единиц.

Модель задачи:

Введем обозначения:

Х1 и Х2 – число соответственно женских и мужских костюмов. Прибыль от реализации женских костюмов составляет 10Х1, а от реализации мужских костюмов 20Х2, то есть необходимо максимизировать целевую функцию f(x)=10Х1+20Х2max.

Ограничения задачи имеют вид:

Х1 +3.5Х2 ≤350

1 +0.5Х2 ≤240

Х1 2 ≤ 150

10Х1 +20Х2 ≥1400

Х2 ≥ 60, Х12 ≥0
1. Необходимо привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному виду: если в исходной задаче требуется найти максимум линейной формы, то все неравенства системы ограничений необходимо привести к виду «≤».

Поэтому неравенства, в которых данное требование не выполняется, следует умножить на (-1), в результате получим:
Х 2 ≥60 - Х 2 ≤60

10Х1+20Х2 ≥1400 -10Х1-20Х 2 ≤-1400
2. Выписываем матрицу А коэффициентов при переменных исходной задачи и транспонируем ее:



3. Составить систему ограничений двойственной задачи, для чего коэффициенты при переменных взять компоненты транспортированной матрицы Ат:
Y1 +2 Y2 + Y3 - 10Y5 ≥10

3.5Y1+0.5 Y2 + Y3 – Y4 -20Y5 ≥ 20

Y1, 2, 3, 4, 5 ≥0.
4.Составить линейную форму двойственной задачи, взяв коэффициентами при неизвестных Y свободные члены системы ограничений исходной задачи:
g(Y) =350Y1+240Y2 + 150Y3 – 60Y4 +1400Y5.
Y1 двойственная оценка ресурса «шерсть», которая может быть «ценой» шерсти;

Y2 двойственная оценка ресурса «лавсан», которая может быть «ценой» лавсана;

Y3 двойственная оценка ресурса «трудозатраты», которая может быть «ценой» трудозатрат;

Y4 двойственная оценка заказа по выпуску женских и мужских костюмов;

Y5 двойственная оценка задания по прибыли.

В результате решения симплексным методом получим:

Х= (70, 80, 0, 60, 0, 40, 900)

У= (4,0, 6, 0, 0, 0, 0)

f(x) = g(y )=2300.
Таким образом, максимальная прибыль составила 2300 денежных единиц, при производстве 70 женских и 80 мужских костюмов.

Дополнительные переменные х5=0, х6=40, х7=900 показывают, что шерсть и трудовые ресурсы использованы полностью (х3 и х5 =0), лавсана осталось 60 м =х4, плановые задания перевыполнены по числу костюмов х6=40 и по прибыли х7=900. Решение двойственной задачи указывает на дефицитность ресурсов «шерсть» (У1=4) и «трудозатраты» (У3=6).
^ Пример №3. Размещение производственных заказов
В планируемом периоде необходимо обеспечить производство 300000 однородных новых изделий, которые могут выпускаться на четырех филиалах предприятия. Для освоения этого нового вида изделий нужны определенные капитальные вложения. Разработанные для каждого филиала предприятия проекты освоения нового вида изделия характеризуются величинами единицы продукции удельных капиталовложений и себестоимостью единицы продукции (Табл. 7.2.).

Предположим, что на все филиалы предприятия для освоения 300 тысяч новых изделий может выделить 18 миллионов тенге.

Таблица 7.2.

Показатель


Филиал предприятия

1

2

3

4

Себестоимость производства изделия, тенге

Удельные капиталовложения, тенге

83
120

89
80

95
50

98
40


Необходимо найти такой вариант распределения объемов производства продукции и капитальных вложений по филиалам, при котором суммарная стоимость изделий будет минимальной.

Введем обозначения:

i - номер филиала (i=1,…,4);

Xi – объем выпускаемой продукции в i-ом филиале предприятия;

T – суммарная потребность в изделиях (Т=300000 штук);

K – выделяемые капиталовложения (К=18 млн. тенге);

Ci – себестоимость производства продукции в i-ом филиале;

Ki - удельные капиталовложения на 1 продукции в i-ом филиале.

Экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:






xi ≥ 0 ; i=1,…,n , с учетом имеющихся данных.
f(x)=83Х1 + 89Х2 +95Х3 +98Х4→ min

Х1 + Х2+ Х3+ Х4 ≥300000 штук

12Х1 +80Х2+50Х3+40Х4 ≤ 18 млн. тенге

x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0.
Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи. Введем обозначения переменных двойственной задачи Y1 и Y2 .

Y1 - двойственная оценка выпускаемой продукции, которая может быть ценой изделия;

Y2 - двойственная оценка капитальных вложений, которая может быть представлена как коэффициент эффективности капитальных вложений.

Экономико-математическая модель двойственной задачи имеет вид:

g(Y)=T.Y1- K.Y2 → max

Y1- K. Y2 ≤ Ci i=1,…,4

Y1 ≥ 0; Y2 ≥ 0.
Целевая функция g(Y) означает, что необходимо максимизировать разность между стоимостью произведенной продукции (T*Y1) и величиной капитальных вложений, соизмеренной во времени с выпуском заданного объема продукции (K*Y2). Разность между ними соответствует суммарному «выигрышу» от вложенных капиталовложений на изготовление 300000 изделий.

Цена продукции Y1 и коэффициент эффективности Y2 взаимосвязаны. Цена одного изделия, выпускаемого в каждом из филиалов, не может быть больше, чем все производственные затраты, включающие в себя в данном случае себестоимость Сi и приведенные к текущим издержкам через коэффициент эффективности капиталовложения Ki*Y1.

Двойственная модель в числах запишется следующим образом:
g(Y)=300000*Y1 –18000000*Y2 → max

Y1 –120* Y2 ≤ 83

Y1 – 80* Y2 89

Y1 – 50* Y2 ≤95

Y 1 – 40* Y2 ≤ 98

Y1 ≥0; Y2 ≥ 0.

В результате решения получены оптимальные планы:

= (0; 100000; 200000; 0);

= (105; 0; 2);

= 279 млн.

Которые говорят о том, что в первом и четвертом филиалах размещать заказы по выпуску новых изделий невыгодно (x1=0 и x4 =0). Выпуск следует наладить во втором и третьем филиалах. При этом суммарная себестоимость выпускаемых изделий составит 279 миллионов.
^ Тема 11. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений

Экономико-математический анализ - важный этап моделирования экономических задач. Любая модель лишь упрощенно, отражает реальный экономический процесс, и это упрощение сказывается как на исходной информации, так и на получаемых результатах. В связи с этим невозможно рассматривать процесс выборки решений как одноразовое аналитическое действие.

Экономико-математический анализ решений осуществляется в двух основных направлениях:

- вариантные расчеты по моделям с сопоставлением различных вариантов плана;

- анализ каждого из полученных решений с помощью двойственных оценок.

Вариантные расчеты могут осуществляться при постоянной структуре самой модели, но с изменением величины конкретных показателей модели или при варьировании элементов самой модели: - изменение критерия оптимальности, добавление новых ограничений на ресурсы или на способы производства, расширение множества вариантов и так далее.

Одно из эффективных средств экономико-математического анализа - объективно обусловленные оценки оптимального плана. Такого рода анализ базируется на свойствах двойственных оценок. Мы установили общие математические свойства двойственных оценок для задач на оптимум любой экономической природы. Однако экономическая интерпретация этих оценок может быть совершенно различной для разных задач.

Экономические свойства оценок Yj оптимального плана:

  1. Оценки как мера дефицитности ресурсов.

  2. Оценки как мера влияния ограничения на функционал.

  3. Оценки - инструмент определения эффективности отдельных вариантов.

  4. Оценки - инструмент балансирования суммарных затрат и результатов.



Таблица 7.3

Ресурсы

Затраты ресурсов на

единицу продукции

Наличие ресурсов

А

В

Труд

2

4

2000

Сырье

4

1

1400

Оборудование

2

1

800

Прибыль на единицу продукции

40

60





На основании информации в таблице 7.3. составим план производства, максимизирующий объем прибыли и проиллюстрируем свойства.

В результате решения задачи симплексным методом получим следующий оптимальный план:
X = (200; 400;0; 200; 0)

f(X) = 40X1 + 60X2 = 32000

Y = (40/3; 0; 20/3)

g(Y) = 2000y1 + 1400y2 + 800y3 = 32000

^ Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов
Объективно обусловленные оценки выражают степень дефицитности, ограниченности факторов производства по отношению к потребностям, заданным целевой функции. Количественно степень дефицитности находит выражение в предельных оценках эффективности факторов производства и эффективности с точки зрения их вклада в целевую функцию. Все факторы, не лимитирующие производство, получат нулевые оценки.

В нашем примере: объективно обусловленные оценки труда Y1 = 40/3, оборудования сырья Y2 = 0, Y3 = 20/3. Это свойство вытекает из второй теоремы двойственности.

если Yi > 0, то

если , то Yi = 0, i = 1, ..., m

Дефицитный ресурс, полностью используемый в оптимальном плане () имеет положительную оценку Yi > 0; не дефицитный, не полностью используемый ресурс (для которого ) имеет нулевую оценку Yi = 0.

В нашем примере сырье не является дефицитным ресурсом:
4X1 + X2 ≤ 1400

4*200+ 400=1200<1400=b2

1200 < 1400

Y2 =0.

Тогда как ресурсы, «труд» и «оборудование» используются полностью.

Труд: 2Х1 + 4Х2 ≤ 2000,

2*200 + 400 = 2000 = b1; Y1 = 40/3.

Оборудования: 2Х1 + Х2 ≤ 800,

2*200 + 400 = 800 = b3; Y3 = 20/3.
Чем выше величина оценки Yi, тем острее дефицитность i-го ресурса. В нашем примере труд более «дефицитен», чем оборудование 40/3 > 20/3.
Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал
Величина объективно обусловленной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на единицу (на основании теоремы об оценках ∆f(x) = Yibi). Так, в нашем примере увеличение фонда времени работы оборудования на один млн., (∆b3 = 1) привело бы к росту максимальной прибыли на 6,6 единиц (∆f(x) =Yi bs=20/3*1=6.6).

В связи с этим понятна и нулевая оценка, полученная для сырья. Поскольку сырье используется не полностью, то увеличение его запасов не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму его прибыли.

Однако, необходимо иметь в виду, что оценки позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменений объема ресурсов. При резких изменениях сами оценки могут стать другими.

Значение второго свойства состоит в том, что оно позволяет выявить направление мероприятий по устранению «узких» мест, обеспечивающие наибольший экономический эффект, а также целесообразные изменения в структуре выпуска продукции с позиции общего оптимума.

Однако для данной функции оценок оптимального плана весьма существенное значение имеет их предельный характер.

Точной мерой влияния ограничения на функционал являются оценки лишь при малом приращении ограничения.

Рассмотрим модель исходной задачи в матричной форме.



где =(Х1, Х2, ..., Хn) - вектор неизвестных,

= (С12,…,Сn) - вектор коэффициентов при неизвестных в целевой функции;

В=(b1,b2,…,bn) – вектор свободных членов ограничений исходной задачи.

- матрица коэффициентов в системе ограничений.

Приведем задачу к канонической форме, для чего введем m дополнительных переменных. Задача примет вид:


где вектор неизвестных переменных Х будет теперь иметь размерность n+m. Размерность матрицы А также изменится и будет m(n+m).

Пусть известен оптимальный план. Разобьем вектор Х на 2 подвектора: Х* > 0 и Х0 = 0. В первый включим неизвестные, вошедшие в базис оптимального решения, то есть ненулевые в оптимальном плане. Соответственно матрицу А разобьем на две подматрицы: А* (размерностью m. m) и A0 (размерностью m. n).

Первую из них сформируют те столбцы матрицы А, которые соответствуют ненулевым неизвестным в оптимальном плане. Тогда матрица А*. Х* + А0. Х0 = В. Так как произведение А0. Х0 = 0, то А*. Х*=В.

Умножив обе части последнего равенства на матрицу, обратную матрице А*, получим А*-1 . А*Х* = А*-1 . В. Так как произведение А*-1А* = Е, где Е - единичная матрица, то получим Х* = А*-1 . В. Обозначим А*-1 через D , тогда

Х* = D. B (7.12).

Матрица D характеризует влияние ресурсов на величину выпуска продукции Х. Изменим размер выделяемых ресурсов, то есть дадим приращение ∆В вектору В. Тогда Х+∆Х = D (В+∆В) = DB + D∆B.

С учетом того, что Х=DB, можно записать выражение
∆Х = D∆B (7.13).
Это соотношение определяет величину структурных сдвигов в выпуске продукции при изменении ограничений исходной задачи.

Второе свойство двойственных оценок означает, что изменение значений величины bi приводит к увеличению или уменьшению функций f(). Это изменение определяется величиной Yi и может быть установлено лишь тогда, когда при изменении величин bi значения переменных Yi соответствующей двойственной задачи в оптимальном плане остаются неизменными. В связи с этим необходимо определить такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы линейных уравнений АХ = В, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется. Это имеет место тогда, когда среди компонент вектора Х = ВD отсутствуют отрицательные компоненты. При этом следует помнить, что элементы матрицы D= А*-1, обратной матрицы А, составленной из компонент векторов Х базиса, который определяет оптимальный план задачи, взяты из столбцов векторов, образующих первоначальный единый базис.

Исходя из этого, получаем следующие оценки нижних и верхних пределов устойчивости двойственных оценок при изменении каждого ограничения в отдельности. Пределы уменьшения (нижняя граница) определяются по тем Xk, (k= 1,…,m) для которых соответствующие элементы dki > 0:
для dk,i > 0 (7.14)

Пределы увеличения (верхняя граница) определяются по тем Xk, для которых dk,i < 0.

для dk,i < 0 (7.15).

Ослабление какого-либо i-го ограничения приводит к тому, что с определенного момента можно изменять структуру (набор векторов) в базисе плана, но это ведет к скачкообразному уменьшению величины оценки. Так продолжается до тех пор, пока i-й ресурс вообще перестанет быть дефицитным и оценка обратится в ноль.

Определим интервалы устойчивости двойственных оценок в нашем примере. Матрица А имеет следующий вид:

После приведения задачи к канонической форме матрица А примет следующий вид:

С ненулевыми значениями в оптимальный план вошли Х1* = 200, Х2* = 400, и Х4* = 200. Следовательно, матрица А* будет составлена из первого, второго и четвертого столбцов матрицы А:


Для вычисления интервалов устойчивости необходимо найти матрицу D=A*-1.
;
При определении интервалов устойчивости по формулам (7.14, 7.15) примем:

Х1* = 200 = Хk = 1; Х2* = 400 = Хk = 2; Х4* = 200 = Хk = 3.

Интервалы устойчивости первого ресурса, труд, равны:
∆b1(-) = min {x2/d21; x3/d31} = min (400/1/3; 200/1/3) = min (1200; 600) = 600;

∆b1(+) = | max (x1/d11) | = | max (200/-1/6) | = 1200.

b1 = {b1 - b1(-); b1+b1(+)} = {2000 - 600; 2000 + 1200} = {1400; 3200}
То есть при изменении запасов ресурса «труд» в пределах 1400 до 3200 единиц его двойственная оценка не изменится.

Второй ресурс «сырье» в оптимальном плане используются не полностью, и поэтому не имеет верхней границы интервалов устойчивости.
∆b2(-) = (x3/d31) = 200/1 = 200;

b2 = {b2 - ∆b2(-) ; b2 }= {1400 – 200; 1400} = {1200; 1400}.
Интервалы устойчивости третьего ресурса «оборудование» - равны:
∆b3(-) = (x1/d13) = 200/ 2/3 =300;

∆b3(+) = | max {x2/d23; x3/d33} | = | max {-1200; -85,714} | = |85,714| =85,7144;

b3 = (b3-∆b3(-); b3-∆b3(+)) = {800-300; 800+85,714}= {500; 885,714}.
В нашем примере определим величину изменения объема прибыли от реализации продукции при увеличении ресурса «труд» на 12 единиц. Эти изменения находятся в интервалах устойчивости двойственных оценок, в связи с чем можно воспользоваться двойственностью оценок оптимального плана: ∆f(x) = 40/3. 12 = 160=Y1∆bi.

Следовательно, объем прибыли увеличится на 160 единиц.

Такой же ответ мы получили бы, если бы решили задачу с новыми ограничениями по ресурсу «труд».

Новый оптимальный план равен:
X1* =198;

X2* =404;

f(x)=32160.

∆ f(x)=32160-32000=160.
Как видно, структурных сдвигов не произошло, но значения переменных в плане изменились: продукции вида А может быть выпущено на две единицы меньше, а продукции вида Б – на четыре единицы больше. Значение целевой функции при новых ограничениях увеличится на 160 единиц.
^ Свойство 3. Оценки – инструмент определения эффективности отдельных вариантов с позиции общего оптимума

Это свойство вытекает из второй теоремы двойственности:

если Xj > 0, то , j = 1, ..., n

если , то Xj = 0 j = 1, ..., n

Согласно этим положениям, для положительных значений неизвестным в оптимальном плане (Xj > 0) соответствующие сопряженные условия в системе ограничений двойственной задачи обращается в равенство, а для нулевых значений (Xj = 0), не вошедших в оптимальный план, сопряженные с ними двойственные условия, обращаются в неравенства.

В рассмотренной задаче на получение максимальной прибыли величина Yi – это оценка ресурса. Если ресурс «оборудование», то это прокатная оценка оборудования (тенге /станко-час). Она характеризирует ограниченность фонда времени работы оборудования i, что не позволяет применять i-е оборудования лишь при тех технологических способах. При одних технологических способах «недополучают» прибыль, а при других – используют менее эффективные ресурсы.

В оптимальный план задачи на получение максимальной прибыли может быть включен лишь тот способ (вариант), для которого прибыль, недополученная из-за отвлечения дефицитных ресурсов, покрывается полученной прибылью Cj. Разница между недополученной и полученной прибылью служит характеристикой способа производства:
∆j = ,
если ∆j > 0, то производить невыгодно,

если ∆j ≤ 0 – производство выгодно.

С помощью объективно обусловленных оценок можно определять эффективность новых технологических способов производства и рентабельность новых изделий.

Вернемся к нашему примеру. Мы составили оптимальный план производства максимизирующий прибыль от реализации продукции. При этом были получены объективно обусловленные оценки используемых ресурсов. В дальнейшем предприятию были предложены на выбор три новых изделия, за счет которых можно расширить номенклатуру выпускаемых изделий. Затраты ресурсов на каждое изделие и прибыль от реализации представлены в следующей таблице 7.4.:

Таблица 7.4.


Ресурсы

Объективно

обусловленные

оценки ресурсов

Затраты ресурсов

на одно изделие

В

Г

Д

Труд

40/3

6

4

2

Сырье

0

2

1

3

Оборудование

20/3

3

1

2

Прибыль на

одно изделие




80

70

45


Определим изделия, выгодные для предприятия, с точки зрения принятия критерия.

Для решения задачи воспользуемся соотношением: ∆j = и рассчитаем характеристики новых изделий.

Для изделия В: ∆В=6. 40/3+0.2+20/3.3-80=20.

Следовательно выпускать это изделие невыгодно, то есть затраты на его изготовление не покрываются полученной прибылью ∆В=100-80=20 >0.

Для изделия Г: ∆Г=4. 40/3+20/3-70=160/3+20/3-70=180/3-70=60-70=-10, -10<0 – производство изделия выгодно.

Для изделия Д: ∆Д=2. 40/3+(20/3).2-45=80/3+40/3 - 45=40-45=-5, -5<0, то есть изделие выпускать выгодно.
^ Свойство 4. Оценки – инструмент балансирования

суммарных затрат и результатов
Это свойство вытекает из первой теоремы двойственности, где устанавливается связь между функционалами прямой и двойственной задач, то есть f(x)=g(y).

Это свойство позволяет в целом составить и сбалансировать затраты и результаты экономической системы. В широком смысле под результатом понимается вклад в достижение общей цели системы, а под затратами – упущенные возможности достижения этой цели.

В конкретных задачах такого рода соотношение затрат - результаты в точке оптимума (то есть равновесие затрат и результатов) имеет различное экономическое содержание.

В нашей задаче экономический смысл равенства функционалов прямой и двойственной задачи состоит в том, что максимум прибыли может быть получен лишь при минимуме недополученной прибыли от использования дефицитных ресурсов.

1   2   3   4



Скачать файл (922 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru