Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекция - Возникновение и развитие аналитической геометрии - файл 1.docx


Лекция - Возникновение и развитие аналитической геометрии
скачать (136.1 kb.)

Доступные файлы (1):

1.docx137kb.19.11.2011 08:59скачать

содержание
Загрузка...

1.docx

Реклама MarketGid:
Загрузка...

Лекция 10

Тема: Возникновение и развитие аналитической геометрии.




План:
  1. Алгебраические методы в геометрии.

  2. Аналитическая геометрия.

  3. Аналитическая геометрия Ферма.

  4. Аналитическая геометрия Декарта.



Алгебраические методы в геометрии

Применение алгебры в геометрии имело к началу XVII в. долгую исто

рию. Еще древние вавилоняне решали многие задачи на прямоугольные треугольники, выражая искомые отрезки, как корни численных квадрат

ных уравнений; аналогичные приемы употреблялись впоследствии неодно

кратно. В классической. Греции важным средством геометрического исследования, в частности конических сечений, служила геометриче

ская алгебра, в которой место вычислений занимали построения от

резков.

Бурные успехи символической и числовой алгебры в XVI в. явились основой гораздо более обширных приложений алгебраического метода в геометрии, приведших к созданию новой аналитической геометрии. Пер

воначально работы в этом направлении не выходили за пределы тради

ционных постановок и решений вопросов, иногда довольно сложных. Большое число таких задач было рассмотрено Виетом, за которым по

следовали и другие, например Марин Геталдич (Гетальди, 1566—1627), уроженец югославского города Дубровник (Рагуза), в то время бывшего самостоятельной республикой. Хороший знаток греческих авторов, Гетальди испытал особенно сильное влияние Виета, с которым познакомился в бытность в Париже. В «Собрании различных задач» (Variorum problematum collectio, Veneliae, 1607) и посмертно из

данном труде «О математическом анализе и синтезе» (De resolutione et compositione mathematica, Romae, 1630) Гетальди средствами алгебры Ви

ета решает разнообразные задачи на деление отрезков, построение тре

угольников и так называемые вставки ; по большей части его задачи выражаются уравнениями первой или второй степени относи

тельно искомого неизвестного отрезка. В некоторых случаях применяется чисто геометрическое решение. Упомянем античную задачу о вставке между продолжением стороны квадрата и ближайшей перпендикулярной стороной отрезка данной длины, продолжение которого проходит через вершину квадрата, не лежащую на названных сторонах. Гетальди отнес задачу к тем, которые не относятся к алгебре (sub algebram non cadunt), и решил ее геометрически. Данная задача привлекла внимание и других ученых. Жирар (1629) выразил ее уравнением четвертой степени и по

казал, как связан выбор знаков перед радикалами, входящими в его кор

ни, с 

положением частей искомого отрезка. Декарт (1637) рассмотрел ее с целью привести пример уравнения четвертой степени, распадающегося на два квадратных (коэффициенты которых, между прочим, квадратично ир

рациональны относительно исходных коэффициентов). Попутно Декарт указал, как от более или менее удачного выбора неизвестной зависит срав

нительная простота уравнения. Эти соображения Декарта подробнее раз

виты во «Всеобщей арифметике» Ньютона. Оригинальное решение при

надлежит еще Гюйгенсу.

Алгебраическим решением геометрических задач занимались, как видно, очень многие. К уже названным можно добавить, например, имя английского алгебраиста Вильяма Отреда (1574—1660), на книге кото

рого, озаглавленной, подобно одному из сочинений ал-Каши, «Ключ ма

тематики» (Clavis mathematicae, Londini, 1631), отразилось несомненное влияние «Собрания различных задач» Гетальди.
^

Аналитическая геометрия


Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовля

ла почву для создания аналитической геометрии, предметом которой яв

ляется уже не только нахождение отдельных отрезков, выражаемых кор

нями уравнений с одним неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде всего алгебраических линий и поверхно

стей, выражаемых уравнениями с двумя или более неизвестными или ко

ординатами.

Координаты появились еще в древности, притом в различных формах, между собой непосредственно не связанных. С одной стороны, это были географические координаты, именовавшиеся долготой и широтой, причем положение пунктов земной по

верхности, изображенной в виде прямоугольника, характеризовалось парой чисел. Сходными были астрономические координаты, служившие для определения положения светил на небесной сфере. Другой вид коор

динат представляли собой отрезки, зависимости между которыми, так называемые симптомы, выражали определяющие свой

ства этих кривых. В этом случае речь шла не о числовых координатах любых точек с отсчетом от фиксированного меридиана и параллели, а об отрезках диаметров и хорд, связанных с точками рассматриваемой фи

гуры.

Своеобразной разновидностью координат были отрезки широт и долгот в теории изменения форм Орема. Здесь не было ни числовых коор

динат любых точек, ни «симптомов», выраженных средствами геометри

ческой алгебры; словесно сформулированная зависимость между широтой и долготой формы изображалась плоской линией.



Координатные отрезки древнегреческой геометрии стали известны в Европе частью по арабским сочинениям, но главным образом по трудам Архимеда и особенно Аполлония. Параллельные хорды или полухорды, сопряженные некоторому диаметру, Аполлоний называл, если перевести с греческого, «по порядку проведенными линиями», а отрезки этого диа

метра от его конца до хорды — «отсеченными на диаметре по порядку про

веденными (линиями)» (на рис.1 соответственно у и x). В своем упоминав

шемся ранее латинском издании «Конических сечений» (Венеция, 1566) Федориго Коммандино первые выражения передал оборотом ordinatim applicatae, т. е. «по порядку приложенные» (т. е. направленные), а вто

рое — quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur, т. е. «которые отсекаются ими на диаметре от вершины». Отсюда берут начало термины abscissa, т. е. «отсеченная», ordinata и applicata, которые, впрочем, уко

ренились не сразу. Слово «абсцисса», встречавшееся в смысле отрезка у различных авторов, например Кавальери (1635), становится техниче

ским термином координатной геометрии в 1668 г. у Микеланджело Риччи (1619—1692) особенно у Лейбница, начиная с рукописей 1673 г. Ферма и Декарт в своих основоположных сочинениях по аналитической геомет

рии (1636—1637) писали еще об «отрезках диаметра». Слово «ордината» в нашем смысле применял другой переводчик на латынь «Конических се

чений» — Франческо Мавролико. Ферма пользовался термином applica

ta, Декарт — appliquee par ordre, т. е. французским переводом ordinatim applicata, но также (в письме 1638 г.) словом ordonnee, которое неза

долго перед тем в 1637 г. употребил в своем курсе П. Эригон (в латин

ском тексте 1644г.—ordinata); затем им стал регулярно пользоваться Лейбниц.

В середине XVIII в. слово «ордината» начинает вытеснять в геомет

рии на плоскости слово «аппликата». Обе координаты первоначально назывались неизвестными величинами, как у Ферма, или неопределенны

ми, как у Декарта; слово «координаты» ввел в 1692 г. Лейбниц, имея в виду уже любые криволинейные координаты. Но еще и позднее понятие о координатах связывалось с отрезками диаметров и хордами плоских кривых. Так обстоит, например, дело в статьях «Abscissa, die Abscisse» и «Ordinatae, ordinatim applicatae, die Ordinaten» «Математического словаря» (Mathematisches Lexicon, Leipzig, 1716) Вольфа.



Термин «ось», который у Аполлония относился к взаимно перпендику

лярным сопряженным диаметрам, употребил в более широком смысле И. Барроу (1670). Обозначение начальной точки буквой О восходит к ее наименованию origine — «начало», данному Ф. Лагиром в 1679 г.; два

дцатью годами ранее Я. де Витт писал об initium immutabile, неподвижном начале. Декарт еще говорил о точке, с которой начинаются вычисления. Вернемся от истории терминологии к истории геометрических методов и идей.
^

Аналитическая геометрия Ферма


К разработке начал новой аналитической геометрии независимо друг от друга и одновременно приступили оба крупнейших французских ма

тематика XVII в.— Ферма и Декарт. Небольшое «Введение в изучение плоских и телесных мест» (Ad locos pianos et solidos isagoge) Ферма было написано несколько ранее 1637 г. Напомним, что «плоские и телесные места» — термины греческой геометрии — означали прямые и окружности и соответственно эллипсы, параболы и гиперболы. Работа написана в обозначениях Виета с соблюдением однородности урав

нений.

Ферма формулирует принцип аналитической геометрии следующим образом: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины (quantitates ignotae), налицо имеется место, и ко

нец одной из них описывает прямую или же кривую линию... Для уста

новления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин». Как мы видим, под неизвестными величинами (координатами) Ферма понимает прямоли

нейные отрезки: первую из них он всякий раз обозначает ^ NZ и алгебра

ически буквой А, а вторую соответственно ZI и Е. Затем по порядку рас

сматриваются различные плоские и телесные места.

Уравнение прямой, проходящей через начальную точку, Ферма вы

водит в форме

D на А равно В на Е,

т. е. (на рис.2 нанесена лишь часть прямой NI, так как Ферма пользуется положительными координатами). К этому случаю приводится общее уравнение первой степени (с указанным ограничением) и несколько далее однородное уравнение второй степени, причем здесь говорится лишь об одной из двух возможных прямых. Первое приведение по существу со

стоит в преобразовании координат, именно в параллельном сдвиге вдоль горизонтальной оси: от уравнения вида Ферма переходит к где . Идею преобразования координат путем па

раллельного переноса системы Ферма более отчетливо выражает в сле

дующих примерах: установив сначала, что в прямоугольной системе уравнение окружности с центром в начальной точке есть , он правильно характеризует общее уравнение окружности и для образца преобразует к основной форме уравнение


Для этого он производит дополнение до квадрата

, где

затем пишет снова x вместо x + d и y вместо у + r и получает

.

Следует заметить все же, что Ферма обходит молчанием вопрос об отрица

тельных координатах, какими оказываются координаты центра в данной задаче (ибо и у него положительные). Разумеется, построить центр для него не представляло труда и в этом случае.

Основные уравнения конических сечений представляют собой у Ферма непосредственное выражение в терминах алгебры их свойств, известных по труду Аполлония. Для параболы это уравнения и симметричное , для эллипса (указывается, что в случае непрямого координатного угла кривая будет эллипсом и при ), для гиперболы . Любопытно, что на рисунке в по

следнем случае изображены обе ветви гиперболы, хотя опять-таки об отрицательных координатах ничего не сказано. Кроме того, приводится уравнение равносторонней гиперболы . Все это распространяется на соответствующие уравнения, дополненные линейными членами.

На частном примере уравнения Ферма разбирает и наиболее трудный случай, когда группа старших членов содержит и член с произведением координат. Его выкладки и построения соответствуют пе

реходу к новой системе координат с прежним началом и осью орди

нат и с осью абсцисс, образующей угол 45° со старой. В этой системе, так что и фигура есть эллипс.

Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом, мы коротко и ясно изложили все, что оставили невыясненным древние относительно плоских и телесных мест». На самом деле был сделан лишь первый шаг к созда

нию нового типа геометрии, которая, между прочим, получила свое ны

нешнее наименование лишь в самом конце XVIII века.
^



Аналитическая геометрия Декарта


«Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в 1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в ал

гебраической, так и в геометрической части, имелись у ее творца не позд

нее 1632 г.

Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от данного Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам «Геометрии» и даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы новой дисциплины, не имеет систематического характера, как во «Введении». Но в других отношениях геометрия Декарта имела реши

тельные преимущества. Не говоря уже о том, что Декарт применял бо

лее развитую символику, что его изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих идей и предложений, весьма существенных для последующего.

Один из основных вопросов для Декарта заключался в следующем, какие линии служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Де

карта в то, что единственным общим методом математики является алге

браический. Сначала этот ответ формулируется в кинематических выра

жениях: геометрические линии — это те, которые «описаны непрерыв

ным движением или же несколькими такими последовательными движе

ниями, из которых последующие вполне определяются им предшествую

щими, ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру». Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики, исключаются меха

нические линии, описываемые «двумя отдельными движениями, между которыми и не существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить. Примеры механических линий спираль и квадратриса: в качестве примера геометрических приводятся кривые, описывае

мые некоторым шарнирным механизмом, число звеньев которого можно неопределенно увеличивать. Этот механизм, по идее схож с изображением, предложенным Эратосфеном в III в. до н. э. для построения двух средних пропорциональных. Декарт в третьей части «Геометрии» показал, как можно с его помощью строить любое число средних пропорциональных между двумя данными отрезками

.

Уравнения описываемых этим прибором линий

, .

Декарт не привел ни в общем виде, ни для частных значений п.

Кинематическое образование линий являлось отправным пунктом геометрии Декарта и применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом кинематическая характеристика геометрических линий как кривых, описываемых одним или несколькими непрерывными движения

ми, последовательно определяющими друг друга, не вполне отчетлива. Так же как и заявление, что для проведения всех таких линий «нужно только то 

предположение, что две или несколько линий можно переме

щать вдоль друг друга и что их пересечения образуют другие линии». Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт предвосхитил уже упоми

навшуюся важную теорему английского ученого А. Кемпе (1876), со

гласно которой посредством плоских шарнирных механизмов можно опи

сать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной транс

цендентной. Свой кинематический способ деления линий на геометриче

ские и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитиче

скую форму и здесь же предлагает классификацию первых. «Все точки линий,— пишет он,— которые можно назвать геометрическими, т. е. которые подходят под какую-либо точную и определенную меру, обяза

тельно находятся в некотором отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии». В этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из «неопределенных» отрезков x и у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как описывать кривую или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя значения по данным значениям , - первой координатой него служила .

В 1684г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта алгебраи

ческими, а механические — трансцендентными, мотивируя отказ от тер

минологии Декарта тем, что и механические линии не подлежат исклю

чению из геометрии.

Непосредственно за изложенными общими соображениями Декарт приводит первую общую классификацию алгебраических кривых в зави

симости от степени их уравнений, отнеся к роду , кривые с уравнениями степени и Классификация требовалась, прежде всего, для все

общей математики Декарта, а также была нужна в аналитиче

ской геометрии. Предложенное Декартом разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось тем, что, по его мнению, кривые с уравнением степени вообще не сложнее, чем с уравнением степени . Все трудности, связанные с четвертой степенью, писал он, при

водятся к третьей, а трудности, связанные с шестой степенью,— к пятой и т. д. Общепринятой классификацией плоских кривых по порядкам мы обязаны Ньютону.

Но классификация кривых в прямолинейных координатах по родам или порядкам имеет смысл, если род или порядок кривой не зависит от выбора координатной системы. Это было Декарту ясно, и он, правда, ми

моходом, но вполне отчетливо, сформулировал фундаментальное предло

жение об инвариантности рода кривой при замене одной системы прямо

линейных координат другой: «Действительно, хотя для получения более короткого и удобного уравнения и нужен весьма тщательный выбор, но все же, какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так, что

бы линия оказалась того же самого рода: это легко доказать». Впрочем, доказательство 

не приводится, да и формулы линейного преобразования координат у Декарта еще отсутствовали.

В качестве первого примера Декарт выводит уравнение линии ^ ЕС, описанной точкой пересечения линейки GL и неопределенно продолжен

ной стороны CNK плоской прямолинейной фигуры NKL, сторона кото

рой KL движется вдоль данной прямой ВА, заставляя вращаться вокруг точки G линейку, неизменно проходящую при этом через точку L. При

няв GA, перпендикуляр к ВА, равным а, KL = , NL = с, выбрав АВ за ось и точку А за начало, Декарт обозначает «неопределенные и неизве

стные величины» СВ = у, ВА = х. Тогда на основании подобия тре

угольников СВК и NLK, с одной стороны, и CBL и GAL с другой, быстро выводится уравнение линии ECG
так что эта линия первого рода и, как указывает без доказательства Де

карт, гипербола (пример этот подробно разобрали комментаторы латинского издания «Геометрии»).
Страница первого издания «Геометрии» Р. Декарта (1637):


Заменяя прямую CNK другими линиями, можно получать, таким образом, бесконечное множество кривых. Так, если ^ CNK есть окружность с центром L, то будет описана конхоида (не

сомненно, что прием Декарта является как раз обобщением античного определения конхоиды), а если ^ CNK есть парабола с диаметром KB, то возникает кривая второго рода, именно та, которую Ньютон впослед

ствии назвал трезубцем.

Неточность Декарта показал на частном примере еще Ферма. В рассмотренном только что примере нарисованы две взаимно перпен

дикулярные координатные оси, хотя и не в обычном для нас положении. Однако чаще всего Декарт, так же как Ферма и ближайшие поколения их последователей, чертил только одну ось с начальной точкой и указывал направление других координат, вообще говоря, наклонных. Отрицатель

ные абсциссы не рассматривались, что иногда приводило к неточным или неполным чертежам. Эти замечания не относятся к Ньютону или Лейбницу, но правильное различение знаков координат и применение обеих осей стало обычным делом уже в XVIII веке.

Силу своего метода Декарт затем демонстрирует на предложенной ему Я. Гоолем задаче Паппа о геометрическом месте к или прямым, которое определяется следующим образом: даны (или ) прямых, требуется найти геометрическое место таких точек, чтобы произведение отрезков, приведенных от них под данными углами к из этих прямых, находилось в данном отношении к произведению аналогичных отрезков. проведенных к остальным (или ) прямым. Древние знали, что при геометрическое место есть коническое сечение, но не оставили ана

лиза и этого случая: случай же остался нерассмотренным.

Большое место занимают в «Геометрии» исследование оптических овалов, рассматриваемых в биполярных координатах, и про

ведение нормалей. Вторая книга сочинения завершается краткими замечаниями о возможности распространения метода на про

странственные кривые посредством проектирования их точек на две вза

имно перпендикулярные плоскости и заявлением: «Я полагаю теперь, что ничего не пропустил из начал, необходимых для познания кривых линий».

Конечно, в этих словах Декарта, как и в приведенной выше авторской оценке «Введения» Ферма, было несомненное преувеличение. Но действи

тельно, перед геометрией раскрывались невиданно широкие перспективы. Историки науки немало спорили о том, имелась ли у Аполлония аналити

ческая геометрия, и было ли творчество Ферма и Декарта в этой области новаторским. Ответ зависит от определения термина «аналитическая гео

метрия», который, как отмечалось в другой связи, понимается по-разному. Несомненно, что оба ученых чрезвычайно многим обязаны были древним и что в саму теорию конических сечений они не внесли каких-либо новых теорем, а также не построили ее в чисто аналитическом плане. И вместе с тем Декарт и Ферма закладывали фундамент поистине новой геометрии, хотя «симптомы» Аполлония и соответствовали буквенным уравнениям кривых второго порядка.



Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма, приданная методом древних самой алгебре, была причиной многочислен

ных комбинаций между средствами и объектом геометрического исследо

вания — комбинаций, которые должны были оставаться чуж

дыми аналитической геометрии, в особенности, поскольку последняя стре

милась превратить геометрические проблемы целиком в задачи исчисле

ния». И до тех пор, пока средством исследования оставалась геометри

ческая алгебра, синтетическое рассмотрение неизбежно переплеталось с аналитическим. Ньютон, завершая свой вывод теоремы о том, что место к четырем прямым есть коническое сечение, писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е. исполняемое не с помощью исчисления, но геометри

ческим построением, и изыскивалось древними». Между тем после Ферма и Декарта и благодаря им начинает развиваться чисто аналитический ме

тод исследования геометрических образов, в принципе не нуждающийся в обращении к геометрическим построениям и опирающийся лишь на ал

гебраическое исчисление. Такова общая, идейная сторона дела. К этому следует добавить, что новая алгебра давала средства изучения кривых любого порядка. Первые примеры имеются уже у Декарта (такое применение геометрической алгебры было невозможно), что система коор

динат становилась свободной от связи с теми или иными исключительными точками и направлениями (например, диаметром и вершиной конического сечения). Приобретали право на существование отрицательные коор

динаты и т.д.. В новой геометрии впервые нашло явное выражение понятие о функции, заданной формулой.

В свете сказанного второстепенное значение имеют недостатки, при

сущие аналитической геометрии Декарта и Ферма, пользовавшегося к то

му же менее совершенной алгеброй Виета, например не разработанность вопроса об отрицательных координатах или отсутствие на большинстве чертежей второй оси, а также то обстоятельство, что оба они ограничились немногими примерами приложения нового метода.

Современники восприняли новую геометрию с энтузиазмом. Уже в ла

тинских изданиях «Геометрии» Декарта мы находим отдельные, заслу

живающие упоминания вещи.
Основная литература:

  1. Математическая энциклопедия. Книги 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

  2. Рыбников К.А. История математики. Уч.пособие для судентов математических специальностей университетов и пед.институтов. 2-е изд. -М.: Изд-во МГУ, 1974.

  3. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.

  4. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М.: Наука, 1961.

  5. История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия. В 3-х томах. Под.ред А.П.Юшкевича.-М.: Наука, 1970-1972.

  6. 

  7. Нейгебауэр О. Точные науки в древности – М: Наука, 1968.


Дополнительная литература:

  1. Хрестоматия по истории математики. Под.ред. А.П.Юшкевича. – М.: Просвещение, 1976, 1977.

  2. Глейзер Г.И. История математики в средней школе в 3-х кн. .-М.: Просвещение, 1981-1983.

  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника». - М.: Просвещение, 2002.

  4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.



Скачать файл (136.1 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru