Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Идз 15. 2 - файл


скачать (28.4 kb.)





ИДЗ 15.2 – Вариант 0

1. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости (p): Ax + By + Cz = D с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора n = (A, B, C) этой плоскости двумя способами: 1) использовав определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса.
1.0. a(M) = xi + (y – z)j + (x + z)k, (p): 3x + 3y + z = 3


В результате пересечения плоскости (p) с координатными плоскостями получим треугольник ABC и укажем на нем положительное направление обхода контура ABCA в соответствии с условием задачи.


Если задано векторное поле а(M) = (P, Q, R) и некоторая замкнутая кусочно-гладкая кривая Г в пространстве R3, то криволинейный интеграл

называется циркуляцией векторного поля а(M) вдоль контура Г. Здесь - единичный вектор, направленный по касательной к кривой Г и указывающий направление обхода по контуру.



1. Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле, в которой обозначим :

На отрезке AB имеем: z = 0, x + y = 1, y = 1 – x, dy = –dx



Решаем криволинейный интеграл




На отрезке BC имеем: x = 0, 3y + z = 3, z = 3 – 3y, dz = –3dy

Решаем криволинейный интеграл




На отрезке CA имеем: y = 0, 3x + z = 3, z = 3 – 3x, dz = –3dx

Решаем криволинейный интеграл



Следовательно





2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса

Используя понятия ротора и циркуляции, формулу Стокса можно записать в векторной форме:



Для этого определим



В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды OABC



По формуле Стокса имеем



где

Следовательно


Следовательно





2. Найти величину и направление наибольшего изменения функции u(M)=u(x, y, z) в точке M0(x0, y0, z0)
2.0. u(M) = x2y + z, M0(1, −2, 3)
Находим частные производные функции u(M) в любой точке M(x, y, z) и в точке M0:


Согласно определению, градиент функции u = f(x, y, z) в точке M0 получаем по формуле


Тогда в точке M0(1, −2, 3) имеем

Наибольшая скорость изменения поля в точке M0 достигается в направлении grad u(M0) и численно равна |grad u(M0)|






3. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля а(М) = (x, y, z) в точке M0(x0, y0, z0)
3.0. a(M) = (y – z)i + xj + xzk, M0(1, −2, 2)
Наибольшая плотность циркуляции векторного поля a(M) в данной точке M0 достигается в направлении ротора и численно равна |rot a(M0)|

В итоге получили




В точке M0 плотность циркуляции векторного поля a(M):


Находим численное значение наибольшей плотности циркуляции векторного поля в направлении ротора:



4. Выяснить, является ли векторное поле а(М) = (x, y, z) соленоидальным
4.0. a(M) = (2x + yz)i + (z + xz)j + (−2z + xy)k
Векторное поле a(M) называется соленоидальным в области пространства V, если в каждой точке этой области дивергенция равна нулю
По условию

Находим



Так как , следовательно, векторное поле является соленоидальным




Скачать файл (28.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации