Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Ответы по вычислительной математике - файл 1Опр.doc


Ответы по вычислительной математике
скачать (34.2 kb.)

Доступные файлы (1):

1Опр.doc154kb.04.06.2005 16:41скачать

содержание
Загрузка...

1Опр.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
1Опр. : ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на отр. [a;b] если для всех точек этого отр. Выполняется рав-во F’(x)=f(x)

Теорема о разности 2х первообразных

Лемма : Если φ’(x)=0 [a;b] то φ(x)=С где C=const, для xЄ[a;b]

Док-во:

По ф-ле Лагранжа φ(x)=φ(а)=С

a<b<x

Теор: Разность 2х первообразных одной и той же ф-ции есть вел. пост. ; две первообр. одной и тойже ф-ции отлич. на постоянную

Док-во:

Пусть F(x) и F1(x) – первообраз. ф-ции f(x) на отр. [a;b]

φ(x)= F(x) - F1(x)

φ’(x)=[F(x) - F1(x)]’= F’(x) – F’1(x)=f(x)-f(x)=0

если φ’(x)=0, то по лемме φ(x)=С на отр. [a;b] , т. е. разность F(x) - F1(x)=С Ч.Т.Д.

F(x)=F1(x)+C

Если F(x) –первообр. f(x) на [a;b] , то множ. первообр. F(x)+C

Опр. : неопределённым интегралом от ф-ции f(x)

∫f(x)*dx=F(x)+C назыв. мн-во всех первообразных

f(x) – подинтегральная ф-ция

Св-ва неопределённого интеграла.

1. (∫f(x)dx)’=f(x)

Док-во:

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)+0=f(x) Ч.Т.Д.

2. Интеграл от дифференциала некоторой ф-ции равен самой этой ф-ции + С.

∫dF(x)=∫F’(x)dx=F(x)+C

3. Игнтеграл от алгебраической суммы ф-ций равен алгебр. сумме интегралов.

∫[f1(x)+f2(x)]dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла.

∫C*f(x)*dx=C*∫f(x)*dx , где C=const

5. Св-во инвариантности формул интегрирования :

Ф-лы ост. Верными если вместо х поставить u

x=>u(x) dx=>d[u(x)]=u’(x)*dx

∫f(u)*du=F(u)+C

∫f[u(x)]*d[u(x)]=F[u(x)]+C

(∫f[u(x)]*d[u(x)])’=(F[u(x)]+C)’

f[u(x)]*u’(x)=F’[u(x)]*u’(x)

f[u(x)]*u’(x)=f[u(x)]*u’(x)
2Пусть на отр. [a;b] задана непрерывная ф-ция y=f(x)≥0

Вычислим S криволинейной трапеции ограниченной ф-цией y=f(x), осью х, a и b : для этого разобьём [a;b] на n отрезкову a=x0<x1<…<xn=b

Выберем на каждом отр. По точке

∆xk=xk-xk-1

∆Sk(кр. трап.)= ∆Sk (прям.)=f(xk)* ∆xk Sкр. трап.∑∆Sk(прям.)=∑f(xk)*∆xk (интегральная сумма)

b

Sтрап.=lim∑f(xk)*∆xk=∫ f(x)dx

xk=>0 a

если предел не сущ. , не звисит от способа разбиения и выбора точек xk и назыв.

b

определённым интегралом ∫ f(x)dx

a

a и b – нижний и верхний предел интегрирования.
4 Свойства определённого интеграла по отрезку.

b a b b b

1. ∫f(x)*dx= - ∫f(x)*dx 2. ∫[f(x)+φ(x)]*dx= ∫f(x)*dx + ∫f(x)*dx

a b b n a a a

∫[f(x)+φ(x)]*dx=lim ∑[f(xk)+φ(xk)]*∆xk

a n max ∆xk=>0 k=1 b b

lim∑f(xk)*∆xk+ lim∑φ(xk)*∆xk=∫f(x)*dx + ∫f(x)*dx

b k=1 b k=1 a a b c b

3. ∫C*f(x)*dx= C* ∫f(x)*dx где C=const 4. ∫f(x)*dx=∫f(x)*dx + ∫f(x)*dx

a a a a c
b n n1 n c b

∫f(x)*dx=lim ∑f(xk)*∆xk = lim ∑f(xk)*∆xk + lim ∑f(xk)*∆xk=∫f(x)*dx + ∫f(x)*dx

a ∆xk=>0 k=1 ∆xk=>0 k=1 ∆xk=>0 k=n1+1 a c
5 Теорема об оценке и её геометрический смысл

y=f(x) нерперывна на [a;b] m≤f(x)≤M b

где m и M – некоторые числа m(b-a)≤ ∫f(x)*dx≤M(b-a)

a

док-во: для любой точки принадлежащей отр [a;b] m≤f(xk)≤M xkЄ[a;b]

m*Δxk≤ f(xk)*Δxk≤Δxk*M

n n n

m*Δxk≤∑ f(xk)*Δxk≤ ∑ M*Δxk

k=1 k=1 k=1 M

n n n

m*∑Δxk≤∑ f(xk)*Δxk≤ M*∑Δxk

k=1 k=1 k=1 m

n

m*(b-a)≤∑ f(xk)*Δxk≤ M*(b-a)

k=1 a b

n

m*(b-a)≤lim ∑ f(xk)*Δxk≤ M*(b-a)

k=1

S1=m*(b-a) S2=M*(b-a)
6Теор. о среднем значении ф-ции на отрезке.

Опр: задана ф-ция y=f(x) – непрерывная на [a;b] , тогда средним значением f(x) на отр.

b

Fср= ∫f(x)*dx/(b-a)

a

Теор. : если задана ф-ция на отр [a;b] , тогда внутри этого отрезка найдется такая точка C, в которой знач. Ф-ции будет равно её среднему знач на данном отр.

Док-во: b

m(b-a)≤ ∫f(x)*dx≤M(b-a) m≤f(x)≤M

a a

m≤ ∫f(x)*dx/(b-a)≤M m≤μ≤M

b

св-ва ф-ций, непрерывных на отр. : ф-ция, непрерывная на отр. Принимает на нем любое промежуточное значение между её наибольшим и наименьшим знач.

f(c)=μ μ=fсрf(c)=fср
7Теорема Барроу

x x

∫f(t)*dt=F(x) ( ∫f(t)*dt)’=f(x)

a a

производная интеграла с переменным верхним пределом равна ф-ции от верхнего предела

x+Δx

F(x+Δx)= ∫f(t)*dt

x a b x

( ∫f(t)*dt)’=lim (F(x+Δx)-F(x))/ Δx=lim( ∫f(t)*dt - ∫f(t)*dt )/Δx=

a x Δx0x+Δx x Δx0 a a

=lim (∫f(t)*dt + ∫f(t)*dt - ∫f(t)*dt )/Δx=lim (f(c)*Δx)/Δx=lim f(c)

Δx0 a x a Δx0 Δx0

То lim f(c)=f(x)

Δx0
8 Частной производной по х от ф-ции z=f(x;y) называется предел отношения частного приращения Δхz по х приращению Δx при стремлении Δx к нулю.

∂z/∂x=lim Δхz/Δx = lim [f(x ; y+Δy)-f(x;y)]/Δy

Δy=>0 Δy=>0

Частной производной по х от ф-ции z=f(x;y) называется производная по х; вычисленная в предположении , что у – постоянная

Проведем плоскость х=const В сечении этой плоскости с пов-тью получиться линия PT. При данном х рассмотрим некоторую точку M(x;y). Точке М соотв. точка P(x;y;z), принадлеж пов-ти. Дадим приращение Δy , тогда ф-ция получит приращение Δуz.

Отношение приращений равно тангенсу угла, образуемого секушей с положительным направлением оси Оу

Частная производная ∂z/∂у численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z=f(x;y) плоскостью х=const.
9Сообщив аргументу х приращ ∆x, а аргументу у приращ ∆у, получим для z приращ ∆z, которое назыв полным приращ ф-ции z и определяется ф-лой ∆z=f(x+∆x;y+∆у) – f(x;y).

∆z=dz+ α1*Δx +α2*Δy

Пусть точка Мо(хоо) принадлежит области определения ф-ции f(x;y). Ф-ция z=f(x;y) назыв непрерывной в точке Мо(хоо), если имеет место рав-во lim f(x;y)=f(xо;yо)

X=>Xo Y=>Yo

10Ф-ция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в данной обл.

Линия ограничив. данную обл. назыв границей обл. Точки обл. не лежащие на границе явл внутренними. обл. назыв открытой.

Если вместе с внутренними точками, к области принадл. И точки границы, то обл. замкнутая.

Связной, назыв. обл. , любые 2 точки которой можно соединить линией, целиком лежащей в области.

Св-ва ф-ций 2х , непрерыв. в огранич. замкнут обл

Ф-ция, непрерывная в огранич замкнут обл, ограничена в этой обл и достигает в ней своих наименьшего и наибольш знач.

В-ция непрерывн , в огранич замкнутой, всязанной обл, принимает в ней промежуточные знач между своим наименьш. и наибольшим

11 Пусть z = f(x;y) , x(u;v) , y(u;v) , тогда z – сложная ф-ция от аргументов х и у.

Производная сложной ф-ции

Пусть ф-ция f(x;y) , x(u;v) , y(u;v) – дифференцируемы

т.к. ф-ции f(x;y) дифференц в т х, у , то это значит что при Δu=>0, то Δux=>0 и Δuу=>0

Δuz=zx’* Δux + zy’* Δuy + α1ux +α2uy где α1ux +α2uy - величины бесконечно малые более выс порядка малости чем Δρ=√((Δx)2+(Δy)2)

т. е. α1=>0 и α2=>0 при Δux=>0 и Δuy=>0

частная производная :

z’u=lim Δuz/Δu=lim (z’xux + z’yuy + α1ux + α2uy )/Δu=

Δu0 Δu0

z’x*lim Δux/Δu + z’y*lim Δuy/Δy + lim α1*lim Δux/Δu + lim α2*lim Δuy/Δu

Δu0 Δu0 Δu0 Δu0 Δu0 Δu0

= z’x* x’u + z’y y’u

(при Δu0 , то z’x и z’y – постоянные)

∂z/∂u=∂z/∂x*∂x/∂u + ∂z/∂y*∂y/∂u ;

∂z/∂v=∂z/∂x*∂x/∂v + ∂z/∂y*∂y/∂v ;


12 Ф-ция z=f(x;y), полное приращение которое в т. х; у , может быть представлено в виде суммы 2х слаг. (выражения линейного относительно Δx и Δy) и величины бесконечно малой более выс порядка чем Δρ, называется дифференцируемой в т. (х; у), а главная линейная часть приращения назыв её дифференциалом Δz=(A*Δx+B*Δy)+0(Δρ)

Δz=(A*Δx+B*Δy)+α1*Δx +α2*Δy

α1=>0 и α2=>0 при Δx=>0 и Δy=>0

dz=A*Δx+B*Δy

дифференциал – главная часть приращения ф-ции Δz – dz=0
13если ф-ция дифференцируема в данной точке то она непрерывна в этой точке

Lim Δz=0

Δx=>0 Δy=>0

След по 2ому опр непрерывности данная ф-ция непрерывна

Если ф-ция равная z=f(x;y) имеет в т. дифференциал, то в этой т. сущ частные производные, причём A=∂z/∂x B=∂z/∂у

dz=∂z/∂x*Δx+∂z/∂у*Δy

док-во

P(x;y) P(x+Δx;y)

y=const

тогда Δρ=|Δx|

Δxz=A*Δx+0(|Δx|)

∂z/∂x=lim Δxz/Δx=lim[A*Δx+0(|Δx|)]/Δx=A+lim0(|Δx|)/Δx=A

A=∂z/∂x , подобно B=∂z/∂y

Если сущ обе производные в данной т , это НЕ значит что сущ дифференциал
14Теорема: если в точке (х;у) частные производные dхz и dyz, ф-ции z=f(x;y), сущ и непрерывны, то в этой точке ф-ция имеет дифференциал. т.к. по условию частные производные dхz и dyz непрерывны , то они определ. в некоторой её окрест.

Δz=f(x+Δх ; y+Δy)-f(x;y)= f(x+Δх ; y+Δy) - f(x;y+Δy)+f(x;y+Δy)-f(x;y)

f(x+Δх ; y+Δy) - f(x;y+Δy)= f ’x(x;y+Δy)* Δx
lim f ’x(x;y+Δy)=f ’x(x;y)

Δx=>0 Δy=>0

Здесь по теор. О разности между ф-цией и её пределом:
fx(x;y)=> f ’x(x;y+Δy)= f ’x(x;y)+ α1 где α1=>0 и Δx=>0

f(x;y+Δy)-f(x;y)< f ’y(x;y)* Δy y<y<y+Δy

Δz=)=f ’x(x;y+Δy)*Δx + f ’y(x;y)*Δy + α1*Δx +α2*Δy

α1=>0 и α2=>0 при Δx=>0 и Δу=>0

Δz=)=f ’x(x;y+Δy)*Δx + f ’y(x;y)*Δy=∂z/∂x*Δx+∂z/∂у*Δy

Δz=dz + 0(Δρ)
15 Теорема: если в точке (х;у) частные производные dхz и dyz, ф-ции z=f(x;y), сущ и непрерывны, то в этой точке ф-ция имеет дифференциал. т.к. по условию частные производные dхz и dyz непрерывны , то они определ. в некоторой её окрест.

Δz=f(x+Δх ; y+Δy)-f(x;y)= f(x+Δх ; y+Δy) - f(x;y+Δy)+f(x;y+Δy)-f(x;y)

f(x+Δх ; y+Δy) - f(x;y+Δy)= f ’x(x;y+Δy)* Δx
lim f ’x(x;y+Δy)=f ’x(x;y)

Δx=>0 Δy=>0

Здесь по теор. О разности между ф-цией и её пределом:
fx(x;y)=> f ’x(x;y+Δy)= f ’x(x;y)+ α1 где α1=>0 и Δx=>0

f(x;y+Δy)-f(x;y)< f ’y(x;y)* Δy y<y<y+Δy

Δz=)=f ’x(x;y+Δy)*Δx + f ’y(x;y)*Δy + α1*Δx +α2*Δy

α1=>0 и α2=>0 при Δx=>0 и Δу=>0

Δz=)=f ’x(x;y+Δy)*Δx + f ’y(x;y)*Δy=∂z/∂x*Δx+∂z/∂у*Δy

Δz=dz + 0(Δρ)
16Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную её точку P, назыв касательной плоскостью к поверхности в точке P. ∂F/∂x|Mo*(X-Xo) + ∂F/∂y|Mo*(Y-Yo) + ∂F/∂z|Mo*(Z-Zo)=0 –Ур-е касат пл-ти

Прямая, проведенная через точку P(x;y;z) поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

(X-Xo)/∂F/∂x|Mo = (Y-Yo)/∂F/∂y|Mo = (Z-Zo)/∂F/∂z|Mo – Ур-е нормали

Теор: напишем ур-е касательной пл-ти к пов-ти в обыкновенной точке. Т. к. эта пл-ть перпендикулярна к вектору N=∂F/∂x*j + ∂F/∂y*j + ∂F/∂z*k , то след её Ур-е имеет вид

∂F/∂x*(X-Xo) + ∂F/∂y*(Y-Yo) + ∂F/∂z*(Z-Zo)=0

если Ур-е пов-ти задано в параметрической форме z=f(x;y) или z-f(x;y)=0

то ∂F/∂x= - ∂f/∂x ; ∂F/∂y= - ∂f/∂y ; ∂F/∂z=1

и Ур-е касательной пл-ти в этом случае примет вид

(Z-Zo)= ∂f/∂x*(X-Xo) + ∂f/∂y*(Y-Yo) т. е.

(Z-Zo)= ∂f/∂x*Δx + ∂f/∂y*Δy  Z-Zo=dz
19 мы говорим, что ф-ция z=f(x;y) имеет максимум в точке Mo(xo;yo) если f(xo;yo)>f(x;y) для всех точек (x;y) , достаточно близких к точке (xo;yo) и отличных от неё.

Аналогично минимум если f(xo;yo)<f(x;y)

Теор: Если ф-ция z=f(x;y) достигает экстремума при х=хо ; у=уо , то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует

Док-во: пусть Рo(xo;yo) – точка маск.

f(xo;yo)>f(x;y)

при y=yo => f(xo;yo)>f(x;yо)

пл-ть х=хо => f(xo;yo)>f(xо;y)

ф-ции f(x;yо) и f(xо;y) – это ф-ции одной переменной и к этим ф-циям применим признак экстремума

Рo(xo;yo) – точка маск. => fx’(xo;yo)=0 или не сущ. fy’(xo;yo)=0 или не сущ.
20ф-ция определена непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого, второго порядка в т. Po(xo;yo) z’x(xo;yo)=0 z’y(xo;yo)=0

A=∂2z/∂x2|po B=∂2z/(∂x*∂y)|po C=∂2z/∂y2|po

1) Δ=A*C – B2 > 0 , то в точке Po(xo;yo) экстремум есть

если A>0 – мин. A<0 – макс.

2) Δ=A*C – B2 > 0 , то экстремума нет

3) Δ=A*C – B2 = 0 , то нужно дополнительное исследование
21Производная по направлению

PoP1=ΔL=√(Δx)2+(Δy)2

т.к. ф-ция дифференц в т. Po то Δz= z’x*Δx + z’y*Δy + 0(ΔL)

где 0(ΔL) – величина бесконечно малая более выс порядка, чем ΔL, при ΔL0

z’=∂z/∂l=lim Δz/Δl = lim z’x*Δx/Δl + lim z’y*Δy/Δl + lim 0(ΔL)/ Δl

Δl0 Δl0 Δl0 Δl0

Δx/Δl=Cos α Δy/Δl=Sin α

z’l= z’x*Cos α + z’y* Sin α

∂z*∂l= (∂z/∂x)*Cos α + (∂z/∂y)*Sin α

Задана ф-ция 3х переменных.

Направляющие Cos это Сos углов наклона вектора S к осям координат.

Δu= u’x*Δx + u’y*Δy + u’z*Δz + 0(ΔS)

ΔS=√(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2

0(ΔS) – б.м.б.в.п.м.

Δu/Δs = u’x*Δx/Δs + u’y*Δy/Δs + u’z*Δz/Δs + 0(ΔS)/Δs

Lim Δu/Δs = lim u’x*Δx/Δs + lim u’y*Δy/Δs + lim u’z*Δz/Δs + lim 0(ΔS)/Δs

Δs0 Δs0 Δs0 Δs0 Δs0

∂u*∂s= (∂u/∂x)*Cos α + (∂u/∂y)*Cos β + (∂u/∂z)*Cos γ
22Градиент.

Пусть в некоторой обл. задана дифференциал ф-ция u= u(x;y;z),

и в любой точке можно опр. вектор grad u

Это вектор коорд.которого равны знач. Частных производных

grad u=∂u*∂x*i + ∂u*∂y*j + ∂u*∂z*k

grad u={∂u*∂x ; ∂u*∂y ; ∂u*∂z}

Теорема: производная по напр. Равна скалярному произведению вектора градиента на ед. вектор. по направлению

u*∂s= (∂u/∂x)*Cos α + (∂u/∂y)*Cos β + (∂u/∂z)*Cos γ s

so={ Cos α ; Cos β ; Cos γ } φ

Cos α =x/|ao| ;Cos β=x/|ao| ; Cos γ=x/|ao| grad u

Производная по напр. равняется проекции градиента на данное направление

a*b= |ao|*прab

Производная по направлению равна модулю градиента умнож. на Cos угла между grad u и данным напр.

∂u*∂s=(grad u)* so

Производная по направлению ∂u*∂s принимает своё наиб. Знач когда Cos φ =1 , т.е. φ=0о

Т.е. в том случае когда направл. S, совпадает с направл. grad u. Значит в этом направл. Рост ф-ции наибольший.

Значит вектор grad u задает направл. в котором ф-ция растет быстрее всего.
23Дифференц. ур-ем назыв. ур-е связ. независ. перемен. х, неизвестную ф-цию у(х) и её производные(дифференциал).

Порядком дифференц. ур-я, назыв. порядок старшей производной, входящей в данное ур-е y’’’+y’*ex+y=4*Cos(x)

В общем виде:

F(x;y;y’;y’’;…;y(n))=0

Разрешенное относительно старшей производн.

yn=f(x;y;y’;…;y(n-1))

Решением дифференциал. ур-я явл. ф-ция, котороя при подстановке в данное ур-е, превращает его в тождество.

График решения дифференциал. Ур-я, это его интегральная кривая.

y’=2*x y=x2+C

Дифференциал. ур-е 1ого порядка

F(x;y;y’)=0

Или если можно разрешить относит. y’

y’=f(x;y)

Ур-е 1ого порядка имеет бесчисленное множество решений

y=φ(x;C) – общее реш. С – произвол конст.

Частное реш. Дифференц. Ур-я это реш., получающееся из общего реш. При опр. знач произвольной постоянной «С».

Чтобы из множества решений выделить одно нужно нач. усл.

y|x=xo=yo

задача отыскания реш. , удовл. нач. усл. назыв. «Задачей Коши»

Геометрич смысл. Задачи Коши заключается в том, чтобы найти интегральную кривую, проходящую через т. с корд. (xo;yo)

В общее решение подставляется нач усл. y(xo)=yo

yo=φ(xo;C) из Ур-я находим С и это знач подставл в общее реш.

y=φ(xo;C) – частное решение задачи Коши
24Теор. Коши

Теорема: если в дифференц. Ур-е y’=f(x;y), f(x;y) - непрерывна

В некоторой плоской обл. D, содержащей т. Mo(xo;yo), то сущ. решение этого дифференц. ур-я, удовлетв. нач. усл. y(xo)=yo

Если, кроме того, в этой обл. непрерывна производная ∂t/∂y, то решение единственно

Геометрич. смысл. : если в некоторой обл. на пл-ти, выполн.

усл.теор Коши, то через любую точку этой обл. проходит одна

интегральная кривая данного дифференц. ур-я.
^ 25 ур-е с разделяющимися переменными.

пусть есть ф-ция dy/dx=f1(x)*f2(y)

f1(x) – ф-ция от х f2(y) – ф-ция от у

преобразованное Ур-е можно считать равенством двух дифференциалов

∫dy/f2(y)=∫ f1(x)dx +C

проинтегрировав получили общий интеграл исходного ур-я

M(x)dx + N(y)dy=0 –ур-е с разделёнными переменными

M1(x)*N1(y)dx + N2(y)*M2(x)dy=0 – ур-е с разделяющимися переменными

Оно может быть приведено к ур-ю с разделёнными переменными

Однородные ур-я первого порядка

Ф-ция назыв однородной ф-цией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом λ справедливо тождество

f(λx; λy) = λn f(x;y)

dy/dx=f(x;y) (1) назыв однородным относительно х и у, если ф-ция f(x;y) есть однородная ф-ция нулевого измерения относит х и у.

РЕШ: по усл f(λx; λy) = f(x;y) пусть λ=1/x тогда f(x;y)=f(1;y/x)

и Ур-е (1) имеет вид dy/dx=f(1;y/x)

Пусть u=y/x т.е. y=ux  dy/dx=u + (du/dx)*x  f(1;u)= u + (du/dx)*xdu/( f(1;u) – u)=dx/x

Это Ур-е с разделяющ переменными, проинтегрировав получим решение
26Опр. Линейным диф. Ур-ем 1-ого порядка назыв Ур-е, линейное относительно неизвестной ф-ции и её производной. Вида dy/dx + P(x)*y=Q(x)

РЕШ представим y в виде y=u(x)*v(x) (1)

Одна из которых произвольная а другая определяется на основании двух других

y’=u*dv/dx+v*(du/dx) подставив в Ур-е получим u*dv/dx+v*(du/dx) + P*u*v=Q

или u(dv/dx +P*v) +v*(du/dx)=Q (2) пусть dv/dx +P*v=0 разделяя переменные найдем v(x)

подставив v(x) в Ур-е (2) получим v(x)*(du/dx)=Q(x)

от сюда найдем u , подставим u и v в Ур-е (1) найдем у
^ 27 dу/dx + P(x)y=Q(x)yn -Ур-е Бернулли если n≠ 0 ;1

оно сводится к линейному ;

разделим обе части Ур-я на yn  y-n*(dy/dx) +Py-n+1=Q (1)

пусть z=y-n+1 тогда dz/dx=(-n+1)y-n*(dy/dx)

домножим Ур-е (1) на (–n+1) и подставив в Ур-е (1) получим линейное Ур-е dz/dx + (-n+1)Pz=(-n+1)*Q ; найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение y-n+1 ,

получим общий интерграл Ур-я Бернулли.
28 Геометрический смысл Ур-ей данного порядка. Поле направлений. Приближенное построение интегральных кривых.

y’(xo)=kкас=tg α

y’=f(x;y) в любой точке (xo;yo) мы можем найти значение производной искомого решения а значит узнать напр касат к графику этого реш.

Дифференц Ур-е в каждой точке задает напр. касат к интеграл. Кривой, проходящей через эту точку ; и если в точках пл-ти небольшим отрезком прямой изобразить напр касат к интегральным кривым, то мы получим поле направления этого Ур-я; а зная поля направлений можно приближенно построить интегральные кривые.



При реш задачи Коши



М

уо


хо

изоклина – геометрическое место точек в которых поле направлений имеет постоянное направление

y’=f(x;y) y’=const ; f(x;y)=const ; пусть k=const

f(x;y)=k y’= -y/x –y/x=k y= -k*x

Метод Эйлера

y’=f(x;y) [xo;x]

y(xo)=yo

h=(x-xo)/n ; xo ; x1=xo+h ; x2=xo+2h

yk=y(xk)

y’(xk)=lim[y(xk+h)-y(xk)]/h=lim[yk+1-yk]/h

h0 h0

[yk+1-yk]/h=f(xk;yk)

yk+1=yk+h*f(xk;yk)

y1=y0+h*f(x0;y0)

y2=y1+h*f(x1;y1)



M2

y1 M1

y0 M0
x0 x1

Кривую, мы заменяем отрезком М0М1; руководствуясь полем направлений
29 Дифференциальные Ур-я 2ого и высших порядков.

F(x;y;y’;y’’)=0

Y=φ(x;C1;C2) – общее решение

Задача Коши.

Найти частные решения дифферренц Ур-я

?????

Теорема о существовании и единственности реш задачи Коши для ур-ей 2ого порядка.

Если правая часть диффер. Ур-я y’’=f(x;y;y’) непрерывна в некоторой обл. D, содержащей точку (x0;y0;y1) и также непрерывны такие частные производные удовлетворяющие нач. данным y(x0)=y0 ; y(x0)=y1 то реш существует и единственно
Диффер Ур-е nого порядка

F(x;y;y’;…;y(n))=0 (4)

y(n)=f(x;y;y’;…;y(n-1)) (5)

Начальные условия

y(x0)=y0

y’(x0)=y1

……………

y(n-1)(x0)=yn-1

Общим решением дифференциал. Ур-я nого порядка называется ф-ция зависящая от Х и n произвол постаянных; и удовлетворяющ. 2м усл : 1) эта ф-ция удовлетворяет диффер. Ур-ю(5) , т.е при подстановке в это Ур-е даёт тождество. 2) из этой ф-ции можно получить частное решение : определить с помощью этих нач условий
30 если есть Ур-е вида f(y;y’;y’’)=0 то y’ можно представить в виде ф-ции P(y)

P(y)=y’; следовательно y’’=P’y далее решаем диффер Ур-е первого порядка.

Если есть Ур-е вида f(x;y’;y’’)=0 то y’=z, следовательно y’’=z’ и решаем дифференц Ур-е вида f(x;z;z’)=0
31 L(y)=y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an(x)*y

L(y)=0

Док-во

L(y1+y2)=(y1+y2)(n)+a1(x)*(y1+y2)(n-1)+…+an(x)*(y1+y2)=y1(n)+y2(n)+a1(x)*y1(n-1)+a1(x)*y2(n-1)+…an(x)*y1+an(x)*y2=y1(n)+a1(x)*y1(n-1)+…+an(x)*y1+y2(n)+a1(x)y2(n-1)+…+an(x)*y2=L(y1)+L(y2)]

1)Постоянный множитель можно выносить за знак производной L(C*y)=C*L(y)

2)Выражение вида С1*y1+С2*y2+…+Cn*yn , где С1;С2;…Сn- постоянные ,называется линейной комбинацией.

Линейный диффер оператор от ф-ции, равен линейной комбинации этих ф-ций

3) L(C1y1+C2y2+…Cnyn)=C1L(y1)+C2L(y2)+…CnL(y2)
32 Однородные линейные диффер Ур-я

y(n)+a1(x)*y(n-1)+…an(x)y=0 (1) или L(y)=0 (2)

Св-ва решений однородного линейного диффер Ур-я, сумма конечного числа решений однородного диффер Ур-я, также является решением этого Ур-я.

y1 и y2 –решения Ур-я (1) :

L(y1)=0 и L(y2)=0

L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)=0  y1+y2 –решение ру-я (1)

По первому св-ву линейного диффер оператора

2)Св-во: произведение решения линейного диффер Ур-я на константу также является реш этого Ур-я.

3)Линейная комбинация решений линейного однородного диффер Ур-я является реш этого Ур-я

y1;y2;…yn – решения (1), то C1y1+C2y2+…+Cnyn – решение (1)

Линейно-Зависимые и независимые ф-ции на интервале.

Y1(x);y2(x);…:yn(x) – линейно зависима на интегвале (a; b) исли хоть одна из ф-ций может быть представлена в виде комбинации остальных.

yn(x)=C1*y1(x)+C2*y2(x)+…+Cn-1*yn-1(x)

X€ (a;b) C1;C2 ;…; Cn-1 –const

Ф-ция (2) назыв линейно независимой на интервале (a;b), если ни одну из этих ф-ций нельзя представить как линейную комбинацию остальных

Определитель Вронского

Пусть y1(x);y2(x);…;yn(x) имеют непрерывные производные до порядка (n-1), тогда

W(y1;y2;…yn)=| y1(x);y2(x);…;yn(x) |

\ | y1’(x);y2’(x);…;yn’(x) |

определитель |……………………. |

Вронского | y1(n-1)(x);y2(n-1)(x);…;yn(n-1)(x) |
33 Теорема о структуре общего решения

y(n)+a1*y(n-1)+…+any=0 (1) – линейное диффер однородное Ур-е nого порядка

у1(х) ; у2(х) ;…; уn(х) –фундаментальная система решений диффер сист Ур-ей nого порядка.

y=C1*y1(x) + C2*y2(x)+…+ Cn*yn(x) (5)

где С1;C2; …;Cn –пост.

Ф-ция (5) зависит от n произвол пост и по 3ему св-ву реш. линейного диффер Ур-я является реш линейного однородного диффер Ур-я nого порядка

Если коэффициенты исходного Ур-я (1) постоянны, то общее решение находится так же, как и в случае ур-я второго порядка.

1)составляем характеристич Ур-е kn+a1kn-1+…+an=0

2)Находим корни характеристич Ур-я k1;k2;…;kn

3) по характеру корней выписываем частные линейно независ решения

4)строим общее реш данного линейного Ур-я


Скачать файл (34.2 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации