Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Алгебра матриц в MathCad - файл Раб1ПунктII.4.doc


Алгебра матриц в MathCad
скачать (930.6 kb.)

Доступные файлы (3):

Раб1ПунктII.4.doc103kb.16.01.2008 11:43скачать
Работа1.doc714kb.16.01.2008 14:49скачать
Работа1.xmcd

содержание
Загрузка...

Раб1ПунктII.4.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Министерство Топлива и Энергетики Украины
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Практическое занятие №1. Пункт II.4


по дисциплине
«Использование ЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»
Тема :ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS 98 ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ В РАСЧЕТАХ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

Вариант №8
Выполнил: Левицкий П.В.

Проверил:______________


Севастополь 2008

ПЛАН
1. Данные варианта задания.
^ 2. АЛГЕБРА МАТРИЦ.
2.1. Использование матричных функций.
2.1.1. Собственные значения и векторы собственных значений матрицы.
2.1.2. Нахождение матрицы векторов собственных значений матрицы.
2.1.3. Приведение заданной матрицы к диагональному виду.
3. Выводы по работе.


  1. Данные варианта задания.



Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b



Таблица1. Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b.




вар

Ко э ф ф и ц и е н т ы к в а д р а т н о й м а т р и ц ы А и в е к т о р а b с и с т е м ы

^

л и н е й н ы х а л г е б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й


а11

а12

а13

а14

а21

а22

а23

а24

а31

а32

а33

а34

а41

а42

а43

а44

b1

b2

b3

b4

8

2,4

1,4

1,6

1,8

2,6

12

0,6

4,0

-0,8

0,85

0,1

0,2

0,4

1,2

1,0

1,5

0,1

0,2

-0,4

0,6

^ 2. АЛГЕБРА МАТРИЦ.

2.1. Использование матричных функций.

2.1.1. Собственные значения и векторы собственных значений матрицы.

а) Определение собственных значений с помощью характеристического уравнения.

Пусть X и Y – векторы. А- квадратная матрица, оператор преобразования Х в Y. Часто бывают случаи, когда необходимо найти вектор ҳ и значение скаляра λ такие , что А· ҳ = λ·ҳ. Такое уравнение имеет решения в виде собственных значений λ1, λ2,... и соответствующих им собственных векторов x1, х2,...Значение скаляра λ носит название собственных значений квадратной матрицы А. Его можно получить из характеристического уравнения матрицыА.

Характеристическое уравнение матрицы имеет вид:



Его корни: называются собственными числами матрицы А.

Их сумма равна сумме диагональных элементов матрицы А (или следу матрицы А)









Исходная матрица:






Находим корни характеристического уравнения:




Функция identity (4) создаёт единичную матрицу размером 4*4



















∑λj =16



б) Определение вектора, элементами которого являются собственные значения матрицы с помощью функций Mathcad.

Для решения задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:



eigenvals(A) — вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А; По умолчанию Mathcad отобразит три знака после запятой. Если необходимо увеличить точность собственных чисел матрицы, то необходимо воспользоваться командами: Формат, Формат результата главного меню и указать в окошечке Число десятых доль-Displayed Precision (3) желаемое число знаков после запятой (от 0 до 15).









































а)Вычисление матрицы, содержащей нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А

2.1.2. Нахождение матрицы векторов собственных значений матрицы.

  • eigenvecs(A) — вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А;

    • n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvals;









для устранения ошибки округления увеличили точность до 8 знаков после запятой.









б)Вычисление собственного вектора для матрицы А и заданного собственного значения λ.

Данную функцию применим к действительным собственным значениям.








Проверка правильности нахождения собственных векторов и собственных значений приведена для значения λ0 . Причем проверка правильности выражения Ах=λх проведена дважды — сначала на числовых значениях х и λ, а потом путем перемножения соответствующих матричных компонентов.






















Вычисление собственного вектора для матрицы А и λ3.






Как мы видим, в этом случае собственные вектора и матрица собственных векторов матрицы А, имеют численные значения, отличающиеся знаками. Однако это не меняет общности поставленной задачи, так как речь идёт о пространстве, в котором находятся собственные вектора матрицы А.
^ 2.1.3. Приведение заданной матрицы к диагональному виду.

В Mathcad легко создать матрицы определенного вида с помощью одной из встроенных функций, например:

  • diag(v) — создаст диагональную матрицу, на диагонали которой находятся элементы вектора v;

Рассмотрим вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А.












Для квадратной матрицы А часто бывает необходимо найти, если это возможно, такую квадратную матрицу, чтобы выполнялось условие:Р-1 ·А·Р = L

Здесь L представляет собой квадратную матрицу diag (λ1, λ2……. λn) , где λ1, λ2…… λn являются собственными значениями матрицы А.

Найденная выше матрица Р содержит нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А; n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения.









Матрица векторов собственных значений матрицы А приводит ее к треугольному виду:









^ 3. Выводы по работе №1.
В результате выполнения практической работы №1 были изучены возможности математического пакета MathCad в среде Windows с целью дальнейшего использования матричной алгебры в инженерных расчетах электротехнических систем. Были изучены и повторены основные моменты теории матриц. Изучены способы задания векторов и матриц в среде MathCad. Я научился работать с массивами, векторами и матрицами, применял векторные и матричные операторы и функции. Вторая по частоте применения задача вычислительной линейной алгебры — это задача поиска собственных векторов и собственных значений матрицы. Для решения таких задач в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы. Применение матричных функций намного облегчает расчёты по теоретическим основам электротехники, теории автоматического управления и другим дисциплинам. Как оказалось, особенно просто в MathCad работать с комплексными числами и полиномами высших порядков. Решение характеристических уравнений выдаётся в виде векторов, которые можно далее преобразовывать с помощью матричной алгебры, представленной в MathCad.


Скачать файл (930.6 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации