Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по математической логике - файл AkimovLogica4.doc


Лекции по математической логике
скачать (386.8 kb.)

Доступные файлы (1):

AkimovLogica4.doc1548kb.18.09.2006 13:29скачать

содержание

AkimovLogica4.doc

  1   2   3   4   5   6   7   8

1.Логика

    1. Введение

    2. Операции логики Буля

    3. Формы представления булевых операций

    4. Методы доказательства в логике Буля

    5. Задания на практическую работу по логике высказываний

    6. Введение в логику высказываний


Под высказыванием мы будем понимать грамматически правильное повество­вательное предложение, про которое можно сказать, что оно либо истинно, либо ложно, например:

«Киев — столица Украины»,

«Париж — столица России».

Первое высказывание является истинным, второе — ложным. Возьмем два простых высказывания:

А = «На улице идет дождь»,

В = «Над моей головой раскрыт зонтик»,

С помощью пяти логических связок можно образовать следующие сложные высказывания:

  1. отрицание: -А = «На улице не идет дождь»;

  2. дизъюнкция:
    -A v В = «На улице не идет дождь или над моей головой раскрыт зонтик»;

  3. конъюнкция:

А & -В = «На улице идет дождь и над моей головой не раскрыт зонтик»;

  1. импликация:

А  В = «Если на улице идет дождь, то над моей головой раскрыт зонтик»;

  1. эквивалентность:

В ~ А = «Над моей головой раскрыт зонтик тогда и только тогда, когда на улице идет дождь».

2. Другие логические связки, известные нам по логике Буля, в логике выска­зывания не используются. Теперь сделаем по поводу каждой из пяти указанных связок небольшие замечания.

  • Отрицание.

Высказывание А по-другому можно прочитать так:

«Истинно то, что на улице идет дождь».

Поэтому, если А = 0 , то это означает, что на улице не идет дождь. Дополняющее

высказывание -А также ориентируется на истинное высказывание, т.е. его следует понимать как

«Истинно то, что на улице не идет дождь».

Тогда -А = 1 будет обозначать ту же самую ситуацию, что и в предыдущем случае, т.е. отсутствие дождя.

  • Дизъюнкция.

В нашем конкретном примере дизъюнкция двух высказываний А и В, в принципе, может подразумевать и конъюнкцию этих же высказываний. Однако часто грамматический союз или не включает в себя союз и. Например, пусть будут даны два других высказывания:

Р = «Петр находится в кинотеатре» ,

Q = «Петр находится в бассейне» .

Если для нас не столь важно, где находится Петр, то мы, конечно, можем исполь­зовать союз «или» с включенным в него союзом «и», формально записав:

P v Q = «Петр находится в кинотеатре или/и в бассейне».

Но если нам нужно точно установить, где находится Петр, то мы обязаны исклю­чить случай одновременного присутствия Петра в кинотеатре и бассейне, т е формально записать:

(Р v Q) & -(P & Q) .

Подобные высказывания называются строгой дизъюнкцией, которая означает: «либо Р, либо Q, но не Р и Q одновременно». И хотя, с точки зрения логики Буля эта логическая операция равносильна операции симметрической разности:

P + Q = (P v Q) & (-P v -Q),

исторически сложилось так, что символ «+» в логике высказываний не использу­ется.

  • Конъюнкция.

Логический союз «и» необязательно должен представляться через грамматический союз «и». В частности, выше приведенное выражение можно прочитать несколько иначе:

А & В = «На улице идет дождь, а над моей головой не раскрыт зонтик».

Союзы «a» и «но» по смыслу часто совпадают с союзом «и», поэтому они используются в сложных конъюнктивных предложениях.

Однако языковая ситуация может стать такой, что союз «и» перестает играть роль конъюнкции; приведем два сложных предложения:

«Ему стало страшно и он убил человека»,

«Он убил человека и ему стало страшно».

Здесь некоммутативность двух простых предложений очевидна, поскольку мы имеем дело со скрытой импликацией, когда одно простое предложение обусловливает другое.

  • Импликация.

Высказывание типа «если А, то В » носит объясняющий характер Оно как бы разъясняет нам, почему имеет место событие В — потому что имело место событие А. Это свойство импликации особенно ценно для логики высказываний, о чем мы подробно остановимся в следующем подразделе.

Объясняющий характер импликации тесно связан с причинно-следственным отношением, при котором А выступает в роли причины, а В — следствия. Причинно-следственная связь между А и В грамматически может быть офор млена предложениями: «А является достаточным основанием для В», «В , потому что А», «В при условии выполнения А» и т.д. Если под А и В понимать прежние высказывания, то результат причинно-следственного отношения можно оформить следующей таблицей истинности. Вторая строка таблицы говорит об отсутствии причинно-следственного отношения между событиями А и В.

Таблица

A

B

AB

Результаты

0

0

1

Останусь сухим

1

0

0

Вымокну

0

1

1

Останусь сухим

1

1

1

Останусь сухим




  • Эквивалентность.

Высказывание «А эквивалентно В» может быть с успехом заменено на «А равно В», «А тождественно В», «А равносильно В», «А тогда и то­лько тогда, когда В» и т.д. Так как эквивалентность выражается через конъюнк­цию двух импликаций:

А ~ В = (А  В) & (В  А),

то это отношение часто возникает при одновременном выполнении двух усло­вий: «из А следует В» и «из В следует А». Таким образом, при эквивалентности двух событий невозможно одному из них приписать роль только причины, а дру­гому — только следствия. Например, два события:

R = «Нарастание анархии в обществе»,

S = «Падение авторитета власти»,

являются вполне равнопорядковыми событиями, поскольку причиной нараста­ния анархии в обществе является падение авторитета власти; и наоборот, падение авторитета власти происходит из-за нарастания анархии в обществе. В данной си­туации бессмысленно обвинять только власть в слабости и некомпетентности или обвинять народ в несознательности и недисциплинированности.

События R и S образуют логический круг; их будем называть сильно связанны­ми событиями и выражать следующими тождественными формами:

R ~ S = (R & S) ~ (R v S) = (R v S)  (R & S).

Понятие «сильной связанности» совпадает с понятием «эквивалентности», если речь идет о двух событиях. Но возьмем, к примеру, хорошо известное объ­яснение, на чем держится Земля:

Земля (X) держится на трек китах (Y), киты (Y) держатся на водах океана (Z), океан (Z) держится на Земле (X),

Последовательность, куда входят три названных объекта X, Y и Z, тоже обра­зуют логический круг:

(Y  X) & (Z  Y) & (X  Z)

Однако отношение эквивалентности (быть взаимной опорой друг для друга) между всеми тремя объектами, т.е.

X~Y~Z,

здесь не возникает, да и не могло возникнуть, так как мы ведь не утверждаем, что 3емля является непосредственной опорой для китов (X ~ Y), или что киты являют­ся непосредственной опорой для вод океана (Y ~ Z). Поэтому эквивалентность в данном случае проявляется в весьма своеобразной форме:

(X & Y & Z) ~ (X v Y v Z) или (X v Y v Z)  (X & Y & Z) ,

что можно истолковать в случае операции эквивалентности как: одновременное появление всех трех опор произойдет тогда и только тогда, когда возникнет хот бы одна из опор, и наоборот; для операции импликации: если возникнет к кая-нибудь одна из опор, то это приведет к появлению всех трех опор. Таким образом, сильная связанность или логический круг есть нечто промежуточное между причинно-следственным отношением и отношением эквивалентности. Подобные отношения возникают очень часто, например между членами преступной организации, где все связаны круговой порукой и невозможно найти крайнего.

3. В заключение этого вводного подраздела хотелось бы подчеркнуть важность различия между языком и метаязыком, между объектными и субъектными высказываниями. Пренебрегая этим различием, мы рискуем впасть в противоречие, которое называется логическим парадоксом.

С древних времен известен так называемый «Парадокс лжеца». Изложим его суть.

«Я – лжец», — сказал лжец,

Итак, некий лжец сообщает о себе, что он лжец. Следовательно, здесь он выступает в своем противоположном качестве, а именно — нелжеца. Поэтому пpиведенное высказывание на самом деле нужно понимать иначе:

«Я – лжец», — сказал нелжец.

Теперь получается, что правдивый человек сообщает о себе, что он лжец. Правдивому человеку мы, естественно, должны верить. Поэтому второе высказывание следует понимать все-таки так, как это отражено в первом высказывании. Таким образом, возникает неопределенность, заключающаяся в том, что непонятно, как квалифицировать говорящего — как лжеца или как нелжеца, т.е. непонятно, как идентифицировать высказывание — как истинное или как ложное.

Парадокс возник потому, что в приведенных высказываниях не делается раз граничения между двумя принципиально различными логическими уровнями. Помимо «лжеца» или «нелжеца» в данной логической ситуации участвует субъект (метанаблюдатель). Если провести четкое синтаксическое отделение смыслового содержания, которое должно относиться к нам, как метанаблюдателям от прочей семантики объектных персонажей, то логическое противоречие буде снято. Ситуацию с лжецом необходимо представлять следующим образом:

«Я – лжец», — сказал лжец.

«Это истинно», — сказал метанаблюдатель.

«Я – лжец», — сказал нелжец.

«Это ложно», — сказал метанаблюдатель.

«Я – нелжец», — сказал лжец.

«Это ложно», — сказал метанаблюдатель.

«Я – нелжец», — сказал нелжец.

«Это истинно», — сказал метанаблюдатель.

ложно * ложно = истинно,

истинно * ложно = ложно,

ложно * истинно = ложно

истинно * истинно = истинно.

Если приведенные четыре конструкции записать через два слова истинно и ложно, то получим обыкновенную таблицу умножения для группы из двух эле­ментов типа плюс и минус единицы. Однако источником противоречий в логике высказываний необязательно является смешение именно объектного и субъект­ного уровней. Неопределенность может возникнуть между различными объект­ными уровнями. В качестве примера приведем следующую фразу: «Нет правил без исключений». Но фраза, стоящая здесь в кавычках сама является правилом. Так какое исключение должно следовать из него? Разберем это противоречие, несколько изменив его семантику. Пусть имеется высказывание:

А = «Любое высказывание является ложным».

Так как А является высказыванием, на него должно распространяться сказан­ное в предложении А. Рассмотрим два случая:

1) Пусть А = 1. Это означает, что А = «А = 0» = 1, т.е. А = 0.

2) Пусть А = 0. Это означает, что А = «А = 0» = 0, т.е. А = 1.

Таким образом, в обоих случаях имеем противоречие. Чтобы его избежать, нужно произвести логическое разграничение всего множества высказываний на два принципиально различных класса – А и В. В этом случае формальная запись пер­воначальной фразы будет иметь вид: А = «В = 0»; тогда при А = 1, В = 0 и при А=0, В = 1

Приведем еще один пример известного парадокса. Английский логик Бертран Рассел поведал такую притчу:

^ В одной из деревень жил парикмахер. Он брил всех тех жителей деревни, кто не брился сам.

Рассел задался вопросом: может ли парикмахер побрить самого себя? Начинаем рассуждать: если парикмахер захочет побрить самого себя, то как житель этого се­ления, который бреется сам, он не вправе это сделать; но если парикмахер не ста­нет бриться, то уже как житель селения, который не бреется сам, он обязан будет себя побрить.

Выразим семантику этого противоречия формальным языком, Обозначим че­рез А парикмахера и пусть Р(А, В) означает высказывание «А бреет В». Тогда си­туацию, которую мы имеем в селении, можно описать двумя метавысказывания-ми:

1) Если Р(В, В) = 0, то Р(А, В) = 1.

2) Если Р(В, В) = 1, то Р(А, В) = 0.

Когда парикмахер рассматривается в качестве рядового жителя селения (А = В), оба метавысказывания становятся внутренне противоречивыми:

1) Если Р(А, А) = 0, то Р(А, А) = 1.

2) Если Р(А, А) = 1, то Р(А, А) = 0.

Выражение Р(А, В) может означать «А учит В», «А развлекает В» и т.д. При этом под А понимается учитель, юморист и т.д. И хотя А, наряду с В* формально является объектной переменной, ее нельзя ставить на один уровень с В, так как именно относительно А сформулированы метавысказывания.
  1   2   3   4   5   6   7   8



Скачать файл (386.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации