Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лабораторна робота Нечітка арифметика. Розробка програми нечіткого калькулятора. Мета роботи : вивчити способи розрахунку значень чітких алгебраїчних функцій - файл


скачать (132.7 kb.)


Лабораторна робота 1.

Нечітка арифметика. Розробка програми нечіткого калькулятора.


Мета роботи: вивчити способи розрахунку значень чітких алгебраїчних функцій від нечітких аргументів. Матеріал ґрунтується на поняттях нечіткого числа і принципу нечіткого узагальнення Заде.
Завдання: розробити програму «Нечіткий калькулятор», яка реалізує виконання арифметичних операцій над нечіткими числами, для цього:


  1. обрати будь-яку зручну для студента мову програмування;




  1. арифметичну операцію та вид функції належності для завдання нечітких чисел обрати з таблиці у відповідності до порядкового номера студента за списком групи:




Порядковий номер студента за списком групи

Тип арифметичної операції

Вид функції належності для нечітких чисел

1

додавання

трикутна

2

віднімання

трикутна

3

множення

трикутна

4

ділення

трикутна

5

додавання

трапецеєвидна

6

віднімання

трапецеєвидна

7

множення

трапецеєвидна

8

ділення

трапецеєвидна

9

додавання

Гауса

10

віднімання

Гауса

11

множення

Гауса

12

ділення

Гауса

13

додавання

трикутна

14

віднімання

трикутна

15

множення

трикутна

16

ділення

трикутна

17

додавання

трапецеєвидна

18

віднімання

трапецеєвидна

19

множення

трапецеєвидна

20

ділення

трапецеєвидна

21

додавання

Гауса

22

віднімання

Гауса


Рекомендації до виконання.

  1. Завдання є простим: запрограмувати виконання тільки однієї арифметичної операції для нечітких чисел для одного заданого виду функцій належності.

  2. Програма повинна передбачати на вході завдання (або повідомлення) яка арифметична операція буде виконуватися та вид функції належності для завдання нечітких чисел (один вид для усіх нечітких чисел).

  3. Вихід програми повинен передбачати результат виконання операції у виді нечіткого числа (можна графік його функції належності) та дефазифіковане нечітке число, тобто чітке число - результат виконання операції.

  4. Звіт з виконання лабораторної роботи повинен містити текст програми та копії екранів з її результатами.



Основний теоретичний матеріал.
1.4. Нечеткая арифметика

В этом разделе рассматриваются способы расчета значений четких алгебраических функций от нечетких аргументов. Материал основывается на понятиях нечеткого числа и принципа нечеткого обобщения. В конце раздела приводятся правила выполнения арифметических операций над нечеткими числами.



Определение 25. Нечетким числом называется выпуклое нормальное нечеткое множество с кусочно-непрерывной функцией принадлежности, заданное на множестве действительных чисел. Например, нечеткое число "около 10" можно задать следующей функцией принадлежности: .

Определение 26. Нечеткое число называется положительным (отрицательным) если , ( ).

Определение 27. Принцип обобщения Заде. Если  ‑ функция от n независимых переменных и аргументы заданы нечеткими числами , соответственно, то значением функции называется нечеткое число с функцией принадлежности:

.

Принцип обобщения позволяет найти функцию принадлежности нечеткого числа, соответствующего значения четкой функции от нечетких аргументов. Компьютерно-ориентированная реализация принципа нечеткого обобщения осуществляется по следующему алгоритму:



Шаг 1.  Зафиксировать значение .

Шаг 2.  Найти все n-ки , , удовлетворяющие условиям и , .

Шаг 3.  Степень принадлежности элемента нечеткому числу вычислить по формуле: .

Шаг 4.  Проверить условие "Взяты все элементы y?". Если "да", то перейти к шагу 5. Иначе зафиксировать новое значение и перейти к шагу 2.

Шаг 5.  Конец.

Приведенный алгоритм основан на представлении нечеткого числа на дискретном универсальном множестве, т.е. . Обычно исходные данные , задаются кусочно-непрерывными функциями принадлежности: . Для вычисления значений функции аргументы , дискретизируют, т.е. представляют в виде . Число точек выбирают так, чтобы обеспечить требуемую точность вычислений. На выходе этого алгоритма получается нечеткое множество, также заданное на дискретном универсальном множестве. Результирующую кусочно-непрерывную функцию принадлежности нечеткого числа получают как верхнюю огибающую точек .



Пример 4. Нечеткие числа и заданы следующими трапециевидными функциями принадлежности:

и .

Необходимо найти нечеткое число с использованием принципа обобщения из определения 27.

Зададим нечеткие аргументы на четырех точках (дискретах): {1, 2, 3 4} для и {2, 3, 4 8} для . Тогда: и . Процесс выполнения умножения над нечеткими числами сведен в табл. 2. Каждый столбец таблицы соответствует одной итерации алгоритма нечеткого обобщения. Результирующее нечеткое множество задано первой и последней строчками таблицы. В первой строке записаны элементы универсального множества, а в последней строке - степени их принадлежности к значению выражения . В результате получаем: . Предположим, что тип функция принадлежности будет таким же, как и аргументов и , т. е. трапециевидной. В этом случае функция принадлежности задается выражением: . На рис. 7 показаны результаты выполнения операции с представлением нечетких множителей на 4-х дискретах. Красными звездочками показаны элементы нечеткого множества из табл. 2, а тонкой красной линией - трапециевидная функция принадлежности.

Исследуем, как измениться результат нечеткого обобщения при увеличении числа дискрет, на которых задаются аргументы. Нечеткое число при задании аргументов и на 30 дискретах приведено на рис. 7. Синими точками показаны элементы нечеткого множества , найденные по принципу обобщения, а зеленой линией - верхняя огибающая этих точек ‑ функция принадлежности . Функция принадлежности результата имеет форму криволинейной трапеции, немного выгнутой влево.



Таблица 2 - К примеру 4




2

3

4

6

8

9

12

16

24

32



1

1

1

2

2

3

1

2

4

3

3

4

2

4

3

4



2

3

4

2

3

2

8

4

2

3

4

3

8

4

8

8



0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0



0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0



0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0



0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

Рисунок 7 - К примеру 4


Применение принципа обобщения Заде сопряжено с двумя трудностями:

  1. большой объем вычислений - количество элементов результирующего нечеткого множества, которые необходимо обработать, равно , где  ‑ количество точек, на которых задан i-й нечеткий аргумент, ;

  2. необходимость построения верхней огибающей элементов результирующего нечеткого множества.

Более практичным является применение -уровневого принципа обобщения. В этом случае нечеткие числа представляются в виде разложений по -уровневым множествам: , где  ‑ минимальное (максимальное) значение на -уровне.

Определение 28.  -уровневый принцип обобщения. Если  ‑ функция от n независимых переменных и аргументы заданы нечеткими числами , , то значением функции называется нечеткое число , где и .

Применение -уровневого принципа обобщения сводится к решению для каждого -уровня следующей задачи оптимизации: найти максимальное и минимальное значения функции при условии, что аргументы могут принимать значения из соответствующих -уровневых множеств. Количество -уровней выбирают так, чтобы обеспечить необходимую точность вычислений.



Пример 5. Решить задачу из примера 4 применяя -уровневый принцип обобщения.

Будем использовать 2 следующих -уровня:{0, 1}. Тогда нечеткие аргументы задаються так: и . По -уровневому принципу обобщения получаем: . На рис. 8 показан результат умножения двух нечетких чисел : красными горизонтальными линиями изображены -сечения, а тонкой красной линией - кусочно-линейная аппроксимация функции принадлежности нечеткого числа .

Исследуем, как измениться результат нечеткого обобщения при увеличении числа -уровней. Нечеткое число при задании аргументов и на 41 -уровне показано на рис. 8. Синими горизонтальными линиями изображены -сечения нечеткого множества, а жирной синей линией -кусочно-линейная аппроксимация функции принадлежности нечеткого числа для 41 -уровня. Сравнивая рис. 7 и 8, видим, что результаты обобщения по определениям 27 и 28 близки.

Рисунок 8 - К примеру 5


Применение -уровневого принципа обобщения позволяет получить правила выполнения арифметических операций над нечеткими числами. Правила выполнения арифметических операций для положительных нечетких чисел приведены в табл. 3. Эти правила необходимо применять для каждого -уровня.

Таблица 3



Правила выполнения арифметических операций для положительных нечетких чисел (для каждого -уровня)


Арифметическая операция































Скачать файл (132.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации