Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Предел функции и непрерывность - файл 1.doc


Загрузка...
Лекции - Предел функции и непрерывность
скачать (1123 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1123kb.16.11.2011 01:26скачать

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Предел функции и непрерывность


§1. Числовая последовательность.

Предел числовой последовательности

1.1. Определение числовой последовательности

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (элементов), имеющих определенные номера. Эти числа являются членами последовательности: x1-первый член, x2-второй член, ... , xn-n-ый член. Числовая последовательность обозначается так: {xn}.

Числовую последовательность задают формулой n-го члена: xn=f(n). Например, если

то x1=2, , ..., и т.д.

Числовую последовательность также можно задать рекуррентным соотношением: , x1=1.

Тогда ,, и т.д.


^ 1.2. Предел числовой последовательности

Определение. Число А называется пределом числовой последовательности {xn}, если для такое, что для всех n>N выполняется условие .

Это означает, что в любой окрестности точки А содержится бесконечное множество элементов последовательности.



(1.1)

:


Доказать, что , означает найти зависимость

Пример 1.1. Доказать, что .

Доказательство. Рассмотрим неравенство .

, ,

Для того чтобы для выполнялось условие достаточно выбрать .

Если то , , N=9, т.е. все члены, начиная с x10, находятся в 0,01-окрестности точки 1.




0,99 1 1,01

Числовая последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если же предел не существует или равен , то последовательность называется расходящейся.


^ 1.3. Свойства передела

1. Предел линейной комбинации

. (1.2)

2. Предел произведения

. (1.3)

3. Предел частного

, если . (1.4)

4. Предел отношения многочленов

Пусть xn и yn многочлены от n степени k и m соответственно, т.е.

xn=Pk(n)=a0 nk+a1nk-1+...+ak, yn=Qm(n)=b0nm+b1nm-1+...+bm




Докажем, что предел отношения многочленов равен пределу отношения их старших членов, т.е.

(1.5)


Имеем: , что и требовалось.

Итак,




(1.6)


Пример 1.2. Найти пределы:


а) б) ,

в)


Решение.

а)

б),

в) .

Следует отметить, что формулы (1.5) и (1.6) справедливы не только для многочленов целой степени, но и для многочленов дробной степени, так как для любого a>0.

Пример 1.3. Найти пределы.

а) ,

б) ,

в) , г) ,

д) , е) .

Решение:

а) В числителе три слагаемых соответственно степени: Следовательно, степень числителя равна , а главный член в числителе равен . Аналогично, главный член в знаменателе Имеем по формулам (1.5) и (1.6):

а)

б)

в)

т.к.

Здесь также можно было использовать идею, что главный член это старший член. Имеем:




г) .

Как видите, идея о главном старшем члене здесь также дает быстрое решение.

Обычно этот предел вычисляется так:






д)

е) Напомним: . Имеем:

.


Пример 1.4. (Неопределенности )

а) , б)

в) .

Решение. Для избавления от неопределенности здесь следует избавиться от иррациональности в числителе, умножив и разделив данное выражение на соответствующее сопряженное выражение.

а) Используем формулу




Для данного примера



Имеем:

а)



б) Напоминаем, что и при .

Имеем:

=

в)








Пример 1.5. Найти предел последовательности, заданной рекуррентным соотношением:

, .

Решение. Сначала докажем, что существует этот предел, используя теорему о существовании предела монотонно возрастающей и ограниченной сверху последовательности.

Возрастание последовательности очевидно:



(n+1) корней n корней

Для доказательства ограниченности последовательности заменим в последнем слагаемом 2 на 4.



Итак, . Тогда, переходя в равенстве к пределу при , получим:





, (не удовлетворяет, т.к. xn > 0)

Следовательно, .

Пример 1.6. Доказать, пользуясь определением предела последовательности, что .

Решение. Имеем:

.

Решив неравенство , получим и ясно, что достаточно выбрать , чтобы для неравенство выполнялось для всех n>N. Что и требовалось.


Задачи к §1

Найти пределы:

1.

2.

3.


4.

5.


6.

7.





8.





9.







10.





11.


12.

13.





14.





15.





16.





17.


18.

19.





20.





21.





22.





23.


24.

25.





26.





27.


28.

29.

30.


31.

32.


33.





34.





35.

36.

37.

38.


39.

40.


41.

42.


43.


44.

45.





46.






47.





48.*





49.*





50.*





51.*





52.*






53-57. Доказать (найти зависимость

53.


54.

55.


56.

57.






58-60. Найти пределы последовательностей, заданных рекуррентными соотношениями.

58.


n=1, 2, ...

59.




60. (a>0)






§2. Предел функции.

Методы вычисления предела функции

^ 2.1. Определение предела функции

Число а называется пределом функции при , если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство . Пишут так: .

Число а называется левосторонним пределом функции f(x) при (слева), если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

Число а называется правосторонним пределом функции f(x) при (справа), если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

Односторонние пределы удобно обозначать так:



Необходимое и достаточное условие существования предела с помощью односторонних пределов можно записать так:



Предел на бесконечности (при ).

Число a называется пределом функции f (x) при (или , если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .


Пример 2.1. Доказать (найти , что:

а) , б)

Решение. а) Надо доказать, что для , для которых , выполняется неравенство для . Имеем:



Примем . Тогда .

Итак, для такое, что для , для которых .

б) Пусть ,

Тогда

Здесь в числителе пользуемся неравенством а в знаменателе пользуемся неравенством .

Пусть . Тогда .

Итак, для такое, что неравенство выполняется для всех x, для которых .

^ 2.2. Свойства предела функции

  1. Предел линейной комбинации

,



и, вообще, .

2. Предел произведения .

  1. Предел частного

,

если пределы существуют и .

^ 2.3. Методы вычисления предела функции

1. Нахождение предела функции следует начинать с вычисления значения функции в точке x0. Если f(x0) равно конечному числу или , то предел найден. Здесь полезно пользоваться следующими символическими

равенствами:, , , при a>1 ,



Пример 2.2. Найти пределы:

а)


б)


в)


г)


д)





Чаще всего значение f(x0) бывает неопределенным:, , , и т. д. Рассмотрим эти неопределенности.

  1. Неопределенность в случае отношения многочленов рассматривалась в §1. Напомним еще раз:




(n,m >0)

Пример 2.3. Найти пределы:

а)



б) .

3. Неопределенность . Случай отношения многочленов.

Если , то Pn(x) и Qn(x) делятся на x-x0. Можно числитель Pn(x) и знаменатель Qm(x) разделить на (x-x0) или многочлены разложить на множители и сократить множитель x-x0.

Пример 2.4. Найти пределы:

a)

б)




Здесь применена формула

.

в)

Числитель и знаменатель должны делиться на x+2.

Имеем:

x3-2x2+16 | x+2 x4+x3-x-10 | x+2

x3+2x x2-4x+8 x4+2x3 x3-x2+2x-5

-4x2+16 -x3-x

-4x2-8x -x3-2x2

8x+16 2x2-x

8x+16 2x2+4x

0 -5x-10

-5x-10

0

Тогда



4. Неопределенность . Случай отношения иррациональных выражений. Как правило, В этом случае стараются избавиться от иррациональности и после чего сократить множитель x-x0.


Пример 2.5. Найти пределы

а)





,

б)





5. Неопределенность () следует преобразовать в неопределенность .

Пример 2.6. Найти пределы

а)





=.

Предел можно свести к предыдущему с помощью замены x=t6.


б)



=.

6. Неопределенность . Здесь под единицей подразумевается переменная, стремящаяся к 1, а под - переменная, стремящаяся к .

Имеется замечательный предел (второй)

или ,

где е - иррациональное число , основание натурального логарифма. .

Более удобным при вычислении неопределенности являются следствия из второго замечательного предела:

, .

Пример 2.7. Найти пределы.

а)



б)



^

Задачи к §2


Найти пределы

61.


62.

63.


64.

65.


66.

67.


68.

69.


70.

71.


72.

73.


74.

75.




76.





77.





78.





79.


80.

81.

82.

83.


84.

85.

86.

87.


88.

89.


90.

91.


92.*

93.*

94.*


95.


96.

97.

98.


99.

100.


101.

102.


103.

104.


105.

106.


107.

108.


109.

110.










Скачать файл (1123 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации