Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

PowerPoint Presentation - файл


скачать (15.3 kb.)

Функциональные и степенные ряды

  • Функциональные ряды
  • Степенные ряды
  • Сходимость степенных рядов
  • Свойства степенных рядов
  • 1/18

Функциональные ряды

  • Выражение вида:
  • Пусть задана бесконечная последовательность функций, определенных в области D:
  • Если в выражении (1) положим x = x0, то получим некоторый числовой ряд:
  • называется функциональным рядом.
  • (1)
  • (2)
  • 2/18

Функциональные ряды

  • Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке x0, если числовой ряд (2), получившийся из ряда (1) подстановкой x = x0, является сходящимся рядом. При этом x0 называется точкой сходимости ряда.
  • Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости данного ряда.
  • Обозначим область сходимости ряда - Ds.
  • Как правило, область Ds не совпадает с областью D, а является ее частью:
  • 3/18

Функциональные ряды

  • Пример
  • Найти область сходимости функционального ряда:
  • Область определения функций lnnx:
  • Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем q = ln x
  • Такой ряд сходится, если
  • Область сходимости ряда - Ds
  • Поэтому:
  • 4/18

Функциональные ряды

  • Сумма функционального ряда (1) зависит от взятой точки области сходимости, следовательно сама является некоторой функцией от х:
  • Ряд (1) сходится к функции f(x)
  • Для функции f(x) имеет место разложение
  • Область определения этой функции совпадает с областью сходимости ряда Ds.
  • Пример
  • Дан ряд:
  • Это геометрическая прогрессия со знаменателем q = x и первым членом b1 = 1 .
  • Имеет место разложение:
  • По формуле:
  • 5/18

Функциональные ряды

  • Тогда:
  • Как и в случае числовых рядов для функционального ряда (1) можно составить последовательность частичных сумм:
  • для любых x из области сходимости.
  • - n -й остаток ряда.
  • S1(x)
  • S2(x)
  • Sn(x)
  • rn(x)
  • Таким образом:
  • При
  • 6/18

Степенные ряды

  • Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, то есть так называемый степенной ряд.
  • где а0, а1 ,а2 ,…, аn , - постоянные числа – коэффициенты степенного ряда.
  • (1)
  • Ряд (1) расположен по степеням x.
  • Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням
  • (x - x0), то есть ряд вида:
  • (2)
  • Ряд (2) легко приводится к ряду (1) подстановкой x - x0 = z, поэтому при изучении степенных рядов мы ограничимся степенными рядами вида (1).
  • 7/18

Сходимость степенных рядов

  • Об области сходимости степенного ряда (1) можно судить, исходя из следующей теоремы:
  • Любой степенной ряд вида (1) сходится в точке x = 0:
  • 1. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении
  • Теорема Абеля
  • 2. Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении
  • то он абсолютно сходится при всех значениях х, для которых выполняется условие:
  • то он расходится при любом значении x при котором:
  • 8/18

Сходимость степенных рядов

  • Из теоремы Абеля следует, что существует такая точка ,что интервал:
  • ряд сходится
  • весь состоит из точек сходимости ряда, а при всех х вне этого интервала ряд расходится.
  • ряд расходится
  • ряд расходится
  • Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда.
  • Положив интервал сходимости можно записать в виде : (-R; R).
  • Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.
  • 9/18

Сходимость степенных рядов

  • В частности, если ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0, то считаем R = 0.
  • Если ряд сходится при всех действительных значениях х, то считаем
  • На концах интервала сходимости, то есть при x = - R и при x = R сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.
  • Для нахождения радиуса сходимости составим ряд из модулей членов данного степенного ряда
  • и применим к нему признак Даламбера.
  • Допустим существует предел:
  • 10/18

Сходимость степенных рядов

  • По признаку Даламбера ряд сходится, если:
  • Таким образом, для степенного ряда (1) радиус сходимости равен:
  • Аналогично, пользуясь признаком Коши, можно установить, что
  • 11/18

Сходимость степенных рядов

  • Замечания
  • 1
  • Если , то можно убедиться, что ряд
  • сходится на всей числовой оси, то есть .
  • 2
  • Интервал сходимости степенного ряда (2):
  • находят из неравенства
  • 3
  • Если степенной ряд содержит не все степени х, то есть задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяя признаки Даламбера или Коши для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.
  • 12/18

Сходимость степенного ряда

  • Пример 1
  • Найти область сходимости степенного ряда :
  • Найдем радиус сходимости по формуле:
  • Следовательно, ряд сходится при всех действительных значениях х.
  • 13/18

Сходимость степенного ряда

  • Пример 2
  • Найти область сходимости степенного ряда :
  • Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера:
  • 14/18

Сходимость степенного ряда

  • Ряд абсолютно сходиться, если
  • Исследуем поведение ряда на концах интервала:
  • При х = -1 имеем ряд:
  • Ряд сходится по признаку Лейбница
  • 15/18

Сходимость степенного ряда

  • При х = 1 имеем ряд:
  • Ряд также сходится по признаку Лейбница.
  • Следовательно областью сходимости исходного ряда является отрезок [-1; 1]
  • Пример 3
  • Найти область сходимости степенного ряда :
  • Найдем радиус сходимости по формуле:
  • 16/18

Сходимость степенного ряда

  • Ряд абсолютно сходиться при
  • Исследуем поведение ряда на концах интервала:
  • При х = -4 имеем ряд:
  • ряд сходится по признаку Лейбница
  • При х = 0 имеем ряд:
  • - расходится
  • Следовательно областью сходимости исходного ряда является интервал [-4; 0)
  • 17/18

Свойства степенных рядов

  • 1
  • 2
  • 3
  • Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R; R).
  • Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать, при этом для ряда:
  • При –R < x < R выполняется равенство:
  • Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости, при этом для ряда (1) выполняется равенство:
  • (1)
  • (2)
  • (3)
  • Ряды (2) и (3) имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд (1).
  • 18/18



Скачать файл (15.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации