PowerPoint Presentation - файл

скачать (15.3 kb.)

---

Смотрите также:
• PowerPoint Presentation [ документ ]
• PowerPoint Presentation [ документ ]
• PowerPoint Presentation [ документ ]
• PowerPoint Presentation [ документ ]
• PowerPoint Presentation [ документ ]
• PowerPoint Presentation [ документ ]
• PowerPoint Presentation [ документ ]
• PowerPoint Presentation [ документ ]
• PowerPoint Presentation [ документ ]
• PowerPoint Presentation [ документ ]
• PowerPoint Presentation [ документ ]
• PowerPoint Presentation [ документ ]

Функциональные и степенные ряды

• Функциональные ряды
• Степенные ряды
• Сходимость степенных рядов
• Свойства степенных рядов

• 1/18

Функциональные ряды

• Выражение вида:

• Пусть задана бесконечная последовательность функций, определенных в области D:

• Если в выражении (1) положим x = x0, то получим некоторый числовой ряд:

• называется функциональным рядом.

• (1)

• (2)

• 2/18

Функциональные ряды

• Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке x0, если числовой ряд (2), получившийся из ряда (1) подстановкой x = x0, является сходящимся рядом. При этом x0 называется точкой сходимости ряда.

• Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости данного ряда.

• Обозначим область сходимости ряда - Ds.

• Как правило, область Ds не совпадает с областью D, а является ее частью:

• 3/18

Функциональные ряды

• Пример

• Найти область сходимости функционального ряда:

• Область определения функций lnnx:

• Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем q = ln x

• Такой ряд сходится, если

• Область сходимости ряда - Ds

• Поэтому:

• 4/18

Функциональные ряды

• Сумма функционального ряда (1) зависит от взятой точки области сходимости, следовательно сама является некоторой функцией от х:

• Ряд (1) сходится к функции f(x)

• Для функции f(x) имеет место разложение

• Область определения этой функции совпадает с областью сходимости ряда Ds.

• Пример

• Дан ряд:

• Это геометрическая прогрессия со знаменателем q = x и первым членом b1 = 1 .

• Имеет место разложение:

• По формуле:

• 5/18

Функциональные ряды

• Тогда:

• Как и в случае числовых рядов для функционального ряда (1) можно составить последовательность частичных сумм:

• для любых x из области сходимости.

• - n -й остаток ряда.

• S1(x)

• S2(x)

• Sn(x)

• rn(x)

• Таким образом:

• При

• 6/18

Степенные ряды

• Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, то есть так называемый степенной ряд.

• где а0, а1 ,а2 ,…, аn , - постоянные числа – коэффициенты степенного ряда.

• (1)

• Ряд (1) расположен по степеням x.

• Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням
• (x - x0), то есть ряд вида:

• (2)

• Ряд (2) легко приводится к ряду (1) подстановкой x - x0 = z, поэтому при изучении степенных рядов мы ограничимся степенными рядами вида (1).

• 7/18

Сходимость степенных рядов

• Об области сходимости степенного ряда (1) можно судить, исходя из следующей теоремы:

• Любой степенной ряд вида (1) сходится в точке x = 0:

• 1. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении

• Теорема Абеля

• 2. Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении

• то он абсолютно сходится при всех значениях х, для которых выполняется условие:

• то он расходится при любом значении x при котором:

• 8/18

Сходимость степенных рядов

• Из теоремы Абеля следует, что существует такая точка ,что интервал:

• ряд сходится

• весь состоит из точек сходимости ряда, а при всех х вне этого интервала ряд расходится.

• ряд расходится

• ряд расходится

• Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда.

• Положив интервал сходимости можно записать в виде : (-R; R).

• Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.

• 9/18

Сходимость степенных рядов

• В частности, если ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0, то считаем R = 0.

• Если ряд сходится при всех действительных значениях х, то считаем

• На концах интервала сходимости, то есть при x = - R и при x = R сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

• Для нахождения радиуса сходимости составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

• и применим к нему признак Даламбера.

• Допустим существует предел:

• 10/18

Сходимость степенных рядов

• По признаку Даламбера ряд сходится, если:

• Таким образом, для степенного ряда (1) радиус сходимости равен:

• Аналогично, пользуясь признаком Коши, можно установить, что

• 11/18

Сходимость степенных рядов

• Замечания

• 1

• Если , то можно убедиться, что ряд
• сходится на всей числовой оси, то есть .

• 2

• Интервал сходимости степенного ряда (2):

• находят из неравенства

• 3

• Если степенной ряд содержит не все степени х, то есть задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяя признаки Даламбера или Коши для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

• 12/18

Сходимость степенного ряда

• Пример 1

• Найти область сходимости степенного ряда :

• Найдем радиус сходимости по формуле:

• Следовательно, ряд сходится при всех действительных значениях х.

• 13/18

Сходимость степенного ряда

• Пример 2

• Найти область сходимости степенного ряда :

• Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера:

• 14/18

Сходимость степенного ряда

• Ряд абсолютно сходиться, если

• Исследуем поведение ряда на концах интервала:

• При х = -1 имеем ряд:

• Ряд сходится по признаку Лейбница

• 15/18

Сходимость степенного ряда

• При х = 1 имеем ряд:

• Ряд также сходится по признаку Лейбница.

• Следовательно областью сходимости исходного ряда является отрезок [-1; 1]

• Пример 3

• Найти область сходимости степенного ряда :

• Найдем радиус сходимости по формуле:

• 16/18

Сходимость степенного ряда

• Ряд абсолютно сходиться при

• Исследуем поведение ряда на концах интервала:

• При х = -4 имеем ряд:

• ряд сходится по признаку Лейбница

• При х = 0 имеем ряд:

• - расходится

• Следовательно областью сходимости исходного ряда является интервал [-4; 0)

• 17/18

Свойства степенных рядов

• 1

• 2

• 3

• Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R; R).

• Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать, при этом для ряда:

• При –R < x < R выполняется равенство:

• Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости, при этом для ряда (1) выполняется равенство:

• (1)

• (2)

• (3)

• Ряды (2) и (3) имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд (1).

• 18/18

---

Скачать файл (15.3 kb.)

Поиск по сайту:  

---