Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Радиотехнические цепи и сигналы - файл Лекции (случайные сигналы).DOC


Лекции - Радиотехнические цепи и сигналы
скачать (391.2 kb.)

Доступные файлы (2):

Лекции (детерменированные сигналы).DOC1914kb.24.09.1997 19:01скачать
Лекции (случайные сигналы).DOC1659kb.24.09.1997 19:34скачать

Лекции (случайные сигналы).DOC

Классификация случайных процессов

Случайный процесс (СП) – совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющийся некоторой общей для них статической закономерности. Бывают непрерывные, дискретные, квантованные и цифровые СП.





Если взять конкретное значение t1, то усреднив их можно получить математическое ожидание.




F(x) – интегральный закон распределения. Он показывает вероятность того, что произвольно взятое Х будет меньше х.



Плотность распределения величины: . Показывает какова наибольшая вероятность попадания в заданный интервал.

На практике наибольшее значение имеют следующие параметры СП:

^ Математическое ожидание – величина к которой в среднем стремится СП:

Дисперсия характеризует мощность процесса, разброс случайных значений относительно математического ожидания:

^ Среднеквадратическое отклонение характеризует линейный разброс, а не квадратичный как дисперсия:

Для дискретных сигналов каждое значение возможно с вероятностью рк Но .

Свойства

  1. если х12, то F(x1)>F(x2).

  2. F(-¥)=0, F(+¥)=1.

  3. если х® -¥ (х® +¥), то f(x)®0.

  4. –– площадь плотности вероятности всегда равна 1.


Законы распределения

  1. Равномерный закон





  2. Нормальный (Гаусовский) закон





    где Ф – функция Лапласа (функция ошибки) берется из справочника.

    Вероятность попадания Р(3s)=0.997, Р(2s)=0.95, т. е. в более узкий интервал вероятности попасть труднее.

  3. Экспоненциальный закон

    , при Х³0 , при Х³0





  4. Релеевский закон




Основные положения ковариационной теории

–– это ковариационная функция. Она характеризует взаимодействие случайного процесса между собой в случайные моменты времени t1 и t2. Чем меньше значение тем меньше меняется процесс.



Где плотность вероятности распределения в моменты времени t1 и t2.

Если один процесс, то автоковариационная функция, если два процесса, то взаимно ковариационная функция.

Если два процесса, то t1=t2=t и

Если процесс один и тот же и t1=t2=t, то –– это есть дисперсия процесса плюс квадрат математического ожидания.
Корреляционная функция

–– она как бы центрирована.

При t1=t2=t автокорреляционная функция:

При различных t1 и t2

Отсюда следует, что при t1=t2.
^ Стационарность и эргодичность процессов

Стационарность (в широком смысле): на протяжении всего отрезка времени математическое ожидание и дисперсия неизменны, а автокорреляционная функция зависит только от разности значений времени t1 и t2 и не зависит от времени начала и конца процесса.

(^ В узком смысле) неизменность n-мерной плотности вероятности процесса.

Эргодический процесс – если параметры случайного процесса можно определить по одной бесконечной реализации.

Для эргодического процесса:

, где t= t2 – t1.



Дисперсия:
Процессы могут быть между собой коррелированные и зависимые. Некоррелированные процессы – это значит, что Кxy(t)=0 при любом t.

Независимые процессы: .

Независимые процессы всегда некоррелированные, зависимые процессы могут быть как коррелированными так и некоррелированными.
^ Спектральная плотность мощности

случайного процесса

Спектральная плотность сигнала может быть определена только для постоянного процесса. Для случайного процесса это невозможно поэтому используют спектральную плотность мощности.

Пусть имеется k-ая реализация случайного процесса ХК(t). Ограничим ее отрезком времени Т. Теперь это усеченная k-ая реализация ХКТ(t). Найдем спектральную плотность ХКТ(w) для ХКТ(t). Отсюда энергия на рассматриваемом участке по равенству Парсеваля:



Получим среднюю мощность реализации на отрезке Т поделив выражение на Т:



При увеличении Т энергия возрастает, но отношение ЭКТ / Т остается постоянным.



Отсюда –– спектральная плотность мощности. Это предел спектральной плотности усеченной реализации деленной на время Т. Это запись для эргодического процесса.

–– среднее значение квадрата процесса.

Если , то .
Теорема Винера – Хинчина

Это есть соотношение между энергетическим спектром и корреляционной функцией случайного процесса.





Это прямое и обратное преобразование Фурье, соответственно.

При




Узкополосный случайный процесс

Узкополосный процесс – это когда отношение эффективной ширины спектра к средней частоте узкополосного процесса много меньше 1

Реализация случайного процесса: , где A(t) и q(t) случайные величины.

Огибающая этого случайного процесса , где х’2(t) – сопряженный по Гильберту сигнал.

Будем считать, что x(t) случайный стационарны эргодический процесс.

Представим сигнал в виде квадратурных составляющих:



Отсюда: , .

Нам известна плотность распределения сигнала. Попытаемся найти плотности распределения огибающей (РА(А)) и фазы (Рq(q)) узкополосного процесса.

Если сравнить 2 процесса АС(t) и x(t), то можно заметить, что x(t) получается сдвигом на w0. Это говорит о том, что случайное распределение процесса остается низменным. Спектр Wac(W0) получают из спектра процесса x(t) сдвигом на w0 левой составляющей и на - w0 правой составляющей, причем . Из этого выражения и рисунка видно, что площадь под кривой Wх(w) (в двух лепестках) равна площади под кривой WAc(W). Следовательно, дисперсии случайных процессов одинаковы:

Так как , то среднее значение квадрата огибающей . Так как дисперсии равны, то . Отсюда вытекает, что плотности вероятностей определяются как



Математическое ожидание от квадрата случайного процесса: Т. е. величины АС(t) и АS(t) независимые. Поэтому совместную плотность вероятности можно определить выражением:



Вероятность того, что конец вектора A(t) лежит в элементарном прямоугольнике dAcdAs равна вероятности пребывания Ac в интервале dAc и As в интервале dAs.

P(Ac)P(As)dAcdAs – вероятность того, что вектор A(t) пребывает в элементарном прямоугольнике. В полярных координатах: P(Ac)P(As)АdAdq.

Плотность распределения амплитуды и фазы:



Плотность распределения огибающей (амплитуды): ,



т. е. –– это релеевский закон распределения.

Вывод: если случайный процесс распределен по нормальному закону, то его огибающая распределена по релеевскому закону, а фаза по равномерному закону ().

Математическое ожидание:

Дисперсия: ,

где

отсюда .

Т. е. дисперсия огибающей меньше дисперсии самого случайного процесса.

Вероятность того, что огибающая (амплитуда) превысит некоторый заданный уровень:



Вероятность того, что амплитуда будет ниже уровня С: .

Если , то . Поэтому ширина шумовой дорожки фактически наблюдаемой на экране осциллографа не превышает (5-6)sх. Для широкополосных процессов ширина дорожки составляет (4-5)sх.

Корреляционная функция огибающей определяется по формуле:



где r0(t) – огибающая нормированной корреляционной функции случайного процесса х(t).

Энергетический спектр огибающей найдем через преобразование Фурье:

. Первое слагаемое соответствует постоянной составляющей огибающей, а второе – сплошной части спектра.

Основываясь на выражении , мгновенную частоту шума можно записать в форме:



Плотность вероятности:

где Dwэкв – эквивалентная ширина спектра узкополосного процесса, определяемая выражением:





Частота случайного сигнала ходит в пределах ±2 эквивалентных ширины спектра.

Закон распределения похож на нормальный закон.
^ Прохождение случайного сигнала через

линейные цепи с постоянными параметрами



Если на входе цепи действует случайный процесс с нормальным законом распределения, то на выходе получим случайный процесс имеющий нормальный закон но с уменьшенными корреляционными и спектральными характеристиками. При другом распределении на входе цепи отыскание распределения на выходе представляет собой сложную задачу.

Анализ передачи нормальных процессов через линейные цепи по существу сводится к корреляционному или спектральному анализу.
^ Спектральная характеристика мощности и

корреляционная функция случайного процесса

на входе цепи

Если есть к-ая реализация на интервале Т ХКТ(t), то мы можем найти ее спектр ХКТ(w). Тогда на выходе цепи будет: .

По теореме Парсеваля:

Определим спектральную плотность мощности на выходе цепи:

Вытекает следующее соотношение: . Возведение передаточной функции в квадрат объясняется тем, что она определяет отношение напряжений (токов) на входе и выходе, а W(w) является спектральной плотностью мощности случайной функции.

Корреляционная функция случайного процесса на выходе цепи:



Корреляционная функция входного сигнала:

Корреляционная функция импульсной характеристики:

Следовательно, произведению спектральных функций W(w) и K(w) соответствует свертка функций Rвх(t) и Rg(t): . Отсюда, зная корреляционные функции Rвх(t) и Rg(t) можно найти энергетический спектр: .

Пусть на входе белый шум (спектральная плотность равна 1 на всех частотах), следовательно: , так как . Тогда:



Следовательно, если мы знаем вид корреляционной функции импульсной характеристики то вид Rвых(t) имеет такой же вид.

Гармонические колебания со

случайной амплитудой



Пусть имеется случайный процесс . Будем считать, что передаваемое сообщение содержится в огибающей.

Пусть A(t) – стационарный, эргодический случайный процесс, y(t) – детерминированный процесс.

Для каждого момента времени .

Плотность вероятности величины х при заданном времени t: , при этом считается, что А распределено равномерно от 0 до Аmax.







и математическое ожидание и дисперсия зависят от времени, т. е. процесс не стационарный.

Гармонические колебания со

случайной фазой



Фаза обычно распределена по равномерному закону: .

Имеется случайный процесс . Найдем закон распределения фазы





Вероятность того, что х пребывает в интервале dx равна плотности распределения на интервале

при

где

Математическое ожидание:



или

Перемножим 2 значения в разные моменты времени:



Математическое ожидание от произведения:

, где

Процесс x(t) является стационарным так как корреляционная функция зависит только от разности времени t1 и t2, а так же от самого времени.



Гармоническое колебание со случайной фазой является стационарным и эргодическим процессом. Гармонические колебания со случайной фазой и случайной амплитудой образует стационарный но не эргодический процесс.

При суммировании нескольких гармонических колебаний (5 -6) со случайной фазой мы получим стационарный случайный процесс близкий к гаусовскому.

^ Нормирование случайный процессов

в узкополосных линейных цепях

Пусть на входе линейной цепи действует стационарный случайный процесс с распределением отличным от нормального. Если интервал корреляции этого процесса меньше постоянной времени линейной цепи (т. е. ширина энергетического спектра больше полосы пропускания цепи), то распределение случайного процесса на выходе приближается к нормальному. Эффект нормализации тем выше, чем меньше полоса пропускания цепи.



Например. На высокодобротный контур подается случайный процесс представляющий собой последовательность импульсов со случайным и ненормальным временем появления. На выходе получаем сигнал как сумму свободных колебаний, вызванных предыдущими импульсами и не успевших затухнуть к рассматриваемому моменту времени. Чем уже полоса пропускания цепи, тем большее число соизмеримых по величине и некоррелированных слагаемы принимает участие в образовании результирующего колебания в момент времени t1. В соответствии с центральной предельной теоремой этого вполне достаточно для того, чтобы процесс приближался к нормальному.

В широкополосных линейных цепях при некоторых условиях происходит обратный процесс денормализация т. е. нормальный процесс на входе порождает случайный процесс на выходе отличный от нормального.

Но такое отличие только в частности, в целом же если рассматривать бесконечное число импульсов, то процесс остается нормальным.

^ Комплексный случайный процесс

Пусть есть случайный процесс x(t). Подберем ему сопряженный по Гильберту сигнал x1(t) (.

Тогда комплексный случайный процесс: .

Пусть , тогда . Отсюда комплексный случайный процесс: .

Спектры сигналов x(t) и x1(t) равны: . Отсюда следует, что корреляционные функции одинаковы .

Дисперсии: .

Предположим, что соответствует , тогда , где . Т. е.



Отсюда следует, что при w>0 , а при w<0 .

^ Вывод: спектр случайного сигнала отличен от 0 только на положительных частотах.
Преобразование нормального процесса

в безынерционных нелинейных цепях

В нелинейных безынерционных элементах основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. Поэтому общих методов анализа преобразования случайный процессов в нелинейных устройствах не существует. Приходится ограничиваться частными задачами поддающимися решению.

Пусть на нелинейный элемент действует случайное колебание с заданной плотностью вероятности p(x). Требуется найти плотность вероятности выходной величины y p(y). Связь между x и y определяется нелинейной зависимостью y=f(x). Для безынерционного элемента очевидно соотношение: , откуда вытекает .

Если обратная функция х=j(у) неоднозначна, то

Нахождение р(у) проще пояснить на конкретных примерах.






^ Воздействие гаусовского процесса на элемент с

симметричной квадратичной характеристикой



Полагая у=ах2, dy/dx=2ах и учитывая, что каждому значению у соответствует 2 значения х () найдем



Подставляя данные в выражение получим:



^ Воздействие нормально распределенного процесса на

однополупериодный детектор с линейно ломаной характеристикой



В данном случае

Плотность распределения вероятности в этом случае:





Плотность вероятности р(у=0)=¥, так как у=0 при х меньше 0. Это можно учесть записав следующее выражение для р(у):



Первое слагаемое будет всюду равно 0, кроме точки у=0, где оно обращается в бесконечность. При интегрировании же по у это слагаемое дает 1/2.

^ Воздействие нормально распределенного

процесса на ограничитель

По аналогии с предыдущим случаем составим выражение:




^ Преобразование спектра случайного процесса

в безынерционном нелинейном элементе

Непосредственно по формулам определить спектр на выходе по известному спектру на входе невозможно, нужно сначала находить корреляционную функцию на выходе и применить обратное преобразование Фурье.

Если на входе есть нелинейная функция, то можно найти ее ковариационную функцию:

. Если известна двумерная плотность вероятности входного процесса, то: .

Этот интеграл довольно трудно вычислять, поэтому прибегают к различным упрощениям.

Пример: пусть у=ах2. Двумерная плотность вероятности процесса x(t) равна:

, где rx=rx(t) – нормированная корреляционная функция входного процесса.

Проделав необходимые преобразования и использовав соотношение прейдем к выражению: .

Пусть x(t) узкополосный процесс, тогда, учитывая, что , где r0 – огибающая корреляционной функции узкополосного процесса, запишем окончательное выражение: .

Применим теперь прямое преобразование Фурье и получим выражение для энергетического спектра процесса на выходе элемента:

Первое слагаемое (дискретное соответствует постоянной составляющей выходного колебания, второе – низкочастотной составляющей спектр которой примыкает к нулевой частоте, третье – высокочастотной составляющей со спектром, группирующимся вблизи частоты 2w0.

^ Вывод: Спектр на выходе существенно отличается от спектра на входе и имеет 3 составляющих.
Воздействие узкополосного шума на амплитудный детекто

Амплитудный детектор, содержащий диод и фильтр нижних частот (RC-цепь), представляет собой сочетание безынерционного нелинейного элемента с инерционной линейной цепью.

^ Линейное детектирование. Детектирование высокочастотного колебания с большой амплитудой. Считаем, что напряжение на выходе детектора воспроизводит амплитуду колебания на входе, т. е. считать, что коэффициент передачи детектора равен 1. Таким образом, напряжение шума на выходе линейного детектора обладает релеевским распределением:



при

Среднее значение шумового напряжения:

Дисперсия:

Найдем корреляционную функцию и энергетический спектр выходного сигнала при условии, что на входе линейного детектора действует нормальный шум, энергетический спектр которого: , а корреляционная функция:



Окончательно получим:



Вывод: ширина выходного спектра в раз больше ширины входного спектра. Линейный амплитудный детектор воспроизводит огибающую узкополосного колебания, независимо от особенностей структуры его спектра, т. е. огибающая каждой реализации шума на входе детектора обладает спектром более широким, чем частотная полоса самой реализации.
^ Квадратичный детектор. Напряжение на выходе детектора можно представить в виде , где К – коэффициент пропорциональности.

Используя выражение получим закон распределения шумового напряжения на выходе квадратичного детектора:

. Т. е. напряжение на выходе квадратичного детектора имеет экспоненциальное распределение.

Математическое ожидание выходного напряжения: , средний квадрат напряжения: . Отсюда следует, что дисперсия шума на выходе квадратичного детектора: .

Найдем корреляционную функцию сигала на выходе: , где . Энергетический спектр сигнала:



Вывод: спектры на выходах квадратичного т линейного детекторов одинаковы по форме, отличаются только масштабом оси ординат. Сам сигнал на выходе отличается от сигнала на входе. Это говорит о том, что они воспроизводят спектр огибающей, т. е. то, что необходимо получить.
^ Совместное воздействие гармонического сигнала

и гаусовского шума на амплитудный детектор

Любой сигнал можно преобразовать в гармонический (по теореме Фурье). Поэтому будем рассматривать только гармонический сигнал.

При наложении узкополосного шума на сигнал суммарное колебание можно записать в форме: . Разложим этот процесс на квадратурные составляющие:

,

где –– амплитуда, –– фаза. Будем рассматривать только амплитуду, так как амплитудный детектор.

Плотность вероятности огибающей: , где I0 – бесселева функция нулевого порядка от комплексного аргумента. Это есть обобщенное распределение Релея.



Вид распределения при различных значениях E/sх. При E/sх=0 выражение принимает вид релеевского распределения, при Е>>sх получим распределение, близкое к нормальному, с математическим ожиданием равным Е и дисперсией .

^ Линейный детектор. Пусть напряжение на выходе детектора совпадает с огибающей амплитуды высокочастотного напряжения на входе. Тогда математическое ожидание равно:

а средний квадрат напряжения: .

После вычисления интегралов получим следующие выражения:

, где –– отношение сигнал/шум на входе (отношение мощности полезного сигнала к мощности паразитного сигнала).

Дисперсия сигнала на выходе: .

В отсутствии полезного сигнала математическое ожидание шума распределено по Релею (). Если есть полезный сигнал на входе, то для получения полезного сигнала на выходе необходимо вычесть шумовую составляющую (). Следовательно, отношение сигнал/шум на выходе будет следующим: .

Рассмотрим 2 предельных случая:

1.–– слабый сигнал. В этом случае вводятся упрощения: , . Отсюда, выражение для U0 можно записать в укороченном виде: .

Дисперсия:

.

При слабом сигнале отношение сигнал/шум на выходе:



Вывод: слабый сигнал в линейном детекторе подавляется помехой.

  1. –– сильный сигнал. Проведем аналогичный анализ:

, .

U0 в этом случае принимает вид: , но .

Отсюда, дисперсия сигнала на выходе:



Найдем соотношение сигнал/шум на выходе: .

Вывод: при сильном сигнале помеха подавляется сигналом.

Квадратичный детектор. Проведем аналогичные рассуждения.

Напряжение на выходе квадратичного детектора:

Учитывая, что , и (так как ), а так же , получим среднее значение напряжения по времени на выходе: , где К – характеристика детектора, Е – амплитуда немодулированного гармонического сигнала.

UОС – слагаемое, обусловленное помехой, UОП – слагаемое, обусловленное сигналом.

Найдем из исходного соотношения:

При усреднении по времени все слагаемые с и обращаются в ноль. Следовательно: .

Вычитая из этого выражения найдем дисперсию шума на выходе квадратичного детектора:



Запишем соотношение сигнал/шум на выходе детектора:

,

где . При значениях сигнал/шум на входе << 1 (т. е. при )



Вывод: при малом отношении сигнал/шум на входе имеет место сильное подавление сигнала.

При значениях сигнал/шум на входе >> 1 (т. е. при )



Вывод: при сильном сигнале отношение сигнал/шум на выходе пропорционально отношению сигнал/шум на входе.

^ Сопоставим результат для линейного и квадратичного детекторов. При слабом сигнале детекторы ведут себя одинаково: отношение сигнал/шум на выходе пропорционально квадрату отношения сигнал/шум на входе.

При сильном сигнале отношение сигнал/шум на выходе квадратичного детектора в 4 раза меньше, чем у линейного. Это объясняется тем , что при квадратичном детектировании сильный сигнал выносит помеху на участок характеристики с повышенной крутизной, что приводит к относительному увеличению помехи.

Наличие амплитудной модуляции сигнала не вносит существенных изменений в оценку отношения сигнал/шум на выходе детектора. Все результаты не зависят от соотношения между несущей частотой сигнала и мгновенной частотой помехи, т. е. наложение паразитной частотной или фазовой модуляции не оказывает существенного влияния на оценку отношения сигнал/шум на выходе детектора.
^ Совместное влияние гармонического сигнала

и нормального шума на частотный детектор



Структурная схема частотного детектора. Сигнал на выходе амплитудного ограничителя представляет собой частотно-модулированное колебание, а помеха – случайный нормальный процесс со спектральной плотностью W0 равномерной в полосе пропускания ФПЧ (wд). Полоса пропускания ФНЧ от 0 до Wmax, где Wmax –– наивысшая частота модуляции. Помеху запишем в виде: .

Рассмотрим 2 режима:

  1. При отсутствии полезной частотной модуляции. Суммарное колебание на выходе ограничителя равно:

,

где –– амплитуда,

–– фаза.

На выходе резонансного ограничителя колебательный контур настроен на частоту w0. Обозначив порог ограничителя через Uпор получим: .

Напряжение на выходе частотного детектора пропорционально значению мгновенной частоты входного сигнала (производной от полной фазы сигнала) и в отсутствии полезной модуляции является помехой: , где SЧД – крутизна характеристики частотного детектора.

На практике обычно выполняется соотношение: , поэтому выражение для фазы можно упростить: .

При изучении теории узкополосный процессов было показано, что функция для гаусового шума обладает нормальным законом распределения и энергетическим спектром , где Wх – спектральная плотность шума на частоте (w0+W). Таким образом: .

При дифференцировании нормального случайного процесса распределение остается нормальным. Следовательно, при высоком отношении сигнал/шум на входе частотного детектора, процесс на выходе остается также нормальным. Таким образом:



Отсюда, энергетический спектр помехи на выходе частотного детектора:

.

Корреляционная функция помехи на выходе ФНЧ:

.

Дисперсия (средняя мощность помехи): .


  1. Случай тональной модуляции (режим частотной модуляции, при котором напряжение на выходе частотного детектора пропорционально девиации частоты). При этом: . Следовательно, отношение сигнал/шум на выходе:



Предположим, что шумовой процесс на входе является белым шумом со спектральным шумом , тогда .

Отсюда: , где –– мощность сигнала на входе, –– мощность шума в двух полосах пропускания. В соответствии с этим: , где –– индекс угловой модуляции.

Вывод: увеличивая индекс угловой модуляции можно получить большой выигрыш в величине сигнал/шум в частотном детекторе по сравнению с величиной сигнал/шум в амплитудном детекторе.

Этот выигрыш будет иметь место пока справедливо соотношение сигнал > помехи и пока обеспечивается полное ограничение амплитуды колебания на входе детектора, иначе будет наблюдаться эффект гашения сигнала помехой.
^ Принцип оптимальной фильтрации

сигнала на фоне помех



Нужно разработать линейное устройство (фильтр). Это линейный четырехполюсник с постоянными параметрами и передаточной функцией K(jw). На его вход подается смесь сигнала и шума. Сигнал полностью известен, шум представляет собой вероятностный процесс с заданными статистическими характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на выходе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума.

Исторически сложилось, что оптимальной является П-образная схема приемного устройства. Недостаток – отсутствие учета формы сигнала и априорных (известных) характеристик шума. В зависимости от типа решаемой задачи при синтезе линейного оптимального фильтра возможно использование различных критериев оптимизации.

При решении задач обнаружения сигнала на фоне помех широко используется критерий максимума отношения сигнал/шум на входе фильтра.
^ Передаточная характеристика

оптимального (согласованного) фильтра

Синтез оптимального фильтра – это отыскание передаточной характеристики устройства, обеспечивающего оптимизацию сигнал/шум на выходе .

Т. е. задача сводится к отысканию АЧХ и ФЧХ устройства.

Естественно результаты синтеза будут ограниченны входными данными.

Пусть сигнал s(t) действует на фоне шума с постоянным энергетическим спектром (белый шум). Введем в рассмотрение время t0 – это время в которое производится фиксация уровня сигнал/шум. Выходной сигнал представим в виде:



Среднеквадратическое значение помехи на выходе фильтра:

,

где W(w) – энергетический спектр помехи.

Отсюда следует: .

Необходимо, чтобы это соотношение было максимальным. Для этого воспользуемся неравенством Гуляковского-Шварца: . Это неравенство обращается в равенство только при выполнении условия , где А – произвольный постоянный коэффициент.

В нашем случае: , . Отсюда:



Таким образом:



Учитывая, что выражение в квадратных скобках есть полная энергия входного сигнала Э, запишем окончательное выражение: .

Это неравенство обращается в равенство при выполнении условия:



Откуда: .

Фильтр с таким коэффициентом передачи называется фильтр согласованный с сигналом. Он обеспечивает на выходе максимально возможное соотношение:

.

АЧХ: , ФЧХ: .



Коэффициент А – размерный коэффициент который приводит к безразмерному коэффициенту передачи. Добавление wt0 делается для выделения всей энергии сигнала.

Вывод: фильтр обеспечивает максимально возможное соотношение сигнал/шум на выходе за счет:

  1. Условие компенсации начальных фаз гармонических составляющих сигнала, так как ФЧХ фильтра равна и противоположна по знаку ФЧХ сигнала.

  2. За счет совпадения формы K(w) и S(w) фильтр пропускает составляющую шума неравномерно, что приводит к уменьшению шума на выходе.

  3. Сигнал ослабляется слабее, чем шум. Это приводит к максимуму отношения сигнал/шум на выходе.


^ Импульсная характеристика согласованного фильтра

Импульсная характеристика: .

Учитывая, что и вводя новою переменную , получим:

.

Т. е. если задан сигнал s(t), то импульсная характеристика определяется как:



.

Построение графика функции s(t0––t): кривая s(-t) является зеркальным отражением заданного сигнала s(t). Функция же s(t0—t) сдвинута относительно s(-t) на величину t0 вправо, также зеркальна по отношению к исходному сигналу s(t), с осью симметрии проходящей через точку t0/2.

Так как импульсная характеристика не может быть отрицательной, то t0 не может быть меньше , чем Тс (длительность сигнала).

При увеличении t0 возрастание сигнала не будет, а будет наблюдаться сдвиг сигнала вправо. Условие t0³Тс накладывает на сигнал требование его конечной длительности.

Вывод: Применение согласованной фильтрации возможно при импульсном сигнале или ограниченной по времени пачке импульсов.
^ Оценка реализуемости согласованного фильтра.

Пусть задан сигнал s(t), которому соответствует импульсная характеристика согласованного фильтра и преобразование Фурье от этой функции К(jw). Возникает вопрос, при каких условиях К(jw) может являться передаточной функцией физически осуществимого устройства.

Для анализа будет использовать критерий Пэли-Винера: , где w –– безразмерная нормированная величина (а не частота). Интеграл должен быть сходящимся.

Критерий Пэли-Винера является необходимым, но недостаточным. Он оставляет открытым вопрос о структуре согласованного фильтра. Но из него следует:

1. АЧХ фильтра должна быть интегрируемой в квадрате: . При выполнении этого условия будет возрастать медленнее, чем , что необходимо для сходимости интеграла.

  1. АЧХ может быть равной 0 только на некоторых дискретных частотах, но не в конечной полосе частот. В связи с этим фильтры с П-образной АЧХ нереализуемы.

  2. Передаточная функция при w>0 реализуема, так как растем медленнее, чем .


Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра.

Используем соотношение: . Подставив в него получим:



Т. е. выходной сигнал будет повторять форму корреляционную функцию смещенную во времени.

При t=t0 Bs=Э и выражение переходит в .

Рассмотри параметры шума. Наиболее распространен белый шум – нормальный шум со спектральной плотностью W0=const. При действии нормального шума на линейную цепь на выходе шум остается нормальным и . Следовательно корреляционная функция шума на выходе:



Следовательно, корреляционная функция на выходе по форме совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала и с входным сигналом.

При t=0 найдем дисперсию шума на выходе:



Найдем соотношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра (определим не по мощности а по напряжению: .

Это соотношение зависит только от энергии сигнала и спектральной плотности шума. Следовательно, при заданной энергии сигнала и спектральной плотности шума сигналу можно придавать любую форму, выгодную для решения конкретной задачи.

Например: для повышения скрытности работы РЛС выгодно удлинять сигнал при уменьшении его амплитуды. При удлинении сигнала ширина спектра должна быть неизменной. Для этого внутри сигнала необходимо вводить импульсную модуляцию (частотную).

Уточним смысл коэффициента А. Это размерный коэффициент, который удобно нормировать так, чтобы энергия входного и выходного сигналов согласованного фильтра была одинакова (для исключения усиления энергии фильтром).

Энергия входного сигнала: .

Энергия выходного сигнала: .

Из того, что Э=Эвых получим: .

Отсюда: .

Следовательно, максимум выходного напряжения может быть больше, чем амплитуда сигнала на входе (даже при Э=Эвых.


^ Примеры построения согласованных фильтров.
1.Согласованный фильтр для прямоугольного импульса.



Зададим сигнал как

Спектральная плотность такого сигнала: .

А его модуль: .

Используя соотношение найдем передаточную функцию согласованного фильтра: . Импульсная характеристика фильтра совпадает по форме с самим сигналом: .



Необходимо отметить, что сходящийся, т. е. фильтр физически реализуем.

Структурная схема имеет следующий вид. Множитель 1/jw реализуется интегрирующим звеном, а множитель реализуется устройством вычитания сигнала без задержки и с задержкой ТС. Реализация такого устройства в идеале невозможно, но можно получить хорошее приближение при использовании реальной интегрирующей RC-цепи, если обеспечить постоянную времени этой цепи, достаточно большую по сравнению с Тс.



Получающийся при этом на выходе вычитающего устройства импульс может быть сделан достаточно близким к прямоугольному.

Найдем напряжение на выходе фильтра. Используем соотношение получим:

.

Соотношение сигнал/шум на выходе:





Как видно, сигнал на выходе повторяет корреляционную функцию сигнала на входе, следовательно можно изобразить вид сигнала на выходе.

Для точного определения сигнала на выходе необходимо знать коэффициент А. Определим его компоненты:

Отсюда можно найти сигнал на выходе: .

Нормированный выходной сигнал:

  1. ^ Фильтр согласованный с ЛЧМ сигналом.



Рассмотрим сигнал огибающая которого имеет прямоугольную форму, а частота заполнения изменяется по линейному закону со скоростью , где Тс – длительность импульса, 2wд – полное изменение частоты внутри импульса, w0=2pf0 – центральная частота заполнения. Будем исходить из условия, что 2wд<<w0. Таким образом текущее значение частоты . Отсюда мгновенное значение сигнала в интервале (-Тс/2,Тс/2) определяется выражением:





Распределение амплитуды и фазы сигнала, как известно, имеет следующий вид:

Реализовать согласованный фильтр для такого сигнала довольно трудно, поэтому прибегают к различным приемам аппроксимации. Предположим, что огибающая спектра сигнала имеет прямоугольную форму , где –– база сигнала, а фазовая характеристика имеет форму квадратичной параболы (постоянный фазовый сдвиг p/4 опущен). Такое приближение тем лучше, чем больше m.

Для сигнала с подобными амплитудными и фазовыми спектрами согласованный фильтр должен обладать прямоугольной АЧХ и ФЧХ, определяемой соотношением:



Слагаемое нужно в том случае, если отсчет времени ведется от начала импульса, а не от его середины.

Согласованный фильтр реализуется в виде сочетания полосового резонансного фильтра и специального четырехполюсника с равномерной АЧХ и квадратичной ФЧХ с временной задержкой . В качестве устройства с требуемой ФЧХ может быть использована любая цепь с задержкой, линейно зависящей от частоты, в некотором частотном диапазоне (вблизи w0).

Воспользуемся выражение для корреляционной функции ЛЧМ сигнала



Заменим t на t-Tс и ограничимся рассмотрением участка вблизи точки t=Tc. В этом случае



Учитывая, что , получим





Подставляя это выражение в соотношение найдем напряжение на выходе:

,

где Uвых(t) – огибающая выходного сигнала.

Частота, при прохождении сигнала через фильтр, изменяется так, что сигнал с частотой w0 не изменяется, с частотой w<w0 получает положительную добавку, а с частотой w>w0 – отрицательную добавку и, в результате, на выходе получается немодулированный сигнал с частотой заполнения w0.

Пик позволяет выделить сигнал на фоне помех.

Спектр сигнала на выходе отличен от спектра сигнала на входе. Таким образом эффект частотной модуляции после согласованного фильтра изменяется и спектр приобретает вид 2 лепестков прямоугольной формы симметричных относительно частоты ±w0 с линейным фазовым спектром.

В соответствии с теорией о смещении спектра подобная структура соответствует функции времени вида A(t)cosw0t, где A(t) – медленная функция имеющая смысл огибающей сжатого сигнала. Спектральная плотность функции A(t) получается сдвигом импульсов на величину w0, тогда спектр огибающей имеет форму прямоугольника с основанием 2wд и центром w=0 т. е. сама функция имеет вид синкума.

На выходе согласованного фильтра при любом законе частотной модуляции входного сигнала отсутствует модуляция ВЧ составляющей. При определении огибающей выходного сигнала необходимо учитывать изменение формы амплитуды спектра сигнала в фильтре (для непрямоугольных сигналов на выходе).

Запишем выражение для сигнала на выходе с учетом коэффициента А. ,

. Отсюда следует, что . Проведя ряд подстановок и вычислений получим, что
^ Фильтрация сигнала при небелом шуме

Пусть на полностью известный сигнал накладывается небелый шум. Необходимо синтезировать фильтр с максимально возможным соотношением сигнал/шум на выходе.



Наиболее простой способ – это приведение заданного шума к белому. Рассмотрим следующую структурную схему. Здесь K(jw) – искомая передаточная функция фильтра. А K1(jw) и 1/K1(jw) –вспомогательные четырехполюсники, введение которых не сказывается на работе устройства, так как их результирующая передаточная функция равна 1. Так как K1(jw) можно выбрать любую, то ее модуль зададим в виде , где W0 – постоянная величина.

Тогда на выходе первого четырехполюсника будет действовать шум с равномерным энергетическим спектром , т. е. белый шум.

При этом меняется форма сигнала на выходе этого четырехполюсника, его спектральная плотность становится равной . Однако это не существенно , так как важно отношение энергии сигнала к энергетическому спектру шума, а форма сигнала при этом роли не играет.

Так как теперь шум белый, то последующая часть схемы должна иметь передаточную функцию отвечающую условию . Осуществив подстановку получим:



Подставив сюда выражение окончательно поучим: .

Формирование сигнала сопряженного с заданным фильтром

Пусть имеется два устройства. Приемник с передаточной функцией K2(jw) и приемник с передаточной функцией K1(jw). При этом выполняется условие .

При d-импульсе на входе передатчика на его выходе возникает колебание (импульсная функция) которое является входным сигналом для приемника, т. е. .

По отношению к этому сигналу приемник является согласованным, так как его импульсная характеристика g1(t) является зеркальным отражением сигнала s(t)




Скачать файл (391.2 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации