Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Алгоритм и программа нахождения средней высоты круговой геосинхронной орбиты в поле сфероида [exe][docx] - файл Постановка задачи.docx


Алгоритм и программа нахождения средней высоты круговой геосинхронной орбиты в поле сфероида [exe][docx]
скачать (908.4 kb.)

Доступные файлы (3):

SM101.exe
Постановка задачи.docx259kb.03.03.2010 22:20скачать
Результаты.docx249kb.02.03.2010 20:06скачать


Постановка задачи.docx

Постановка задачи:

Разработать алгоритм и программу нахождения средней высоты круговой геосинхронной орбиты в поле сфероида по заданным значениям кратности m/n и угла наклонения орбиты i.

Общие понятия и определения:

Баллистические характеристики спутника обычно задаются кеплеровскими элементам:

  • a, e (p, e)геометрия орбиты;

  • Ω, iположение плоскости орбиты в пространстве;

  • ω ориентацию фокальной оси эллипса в фокальной плоскости;

  • τположение спутника на орбите.

В общем случае для однозначного определения положения спутника в пространстве необходимо знать шесть параметров.

Для спутников находящихся на круговых орбитах, для однозначного определения типа используемой орбиты достаточно два параметра:

H высота орбиты;

i наклонение орбиты.

В зависимости от значения i орбиты делятся на:

i = (0˚,90˚)прямые орбиты;

i = (90˚, 180˚)обратные;

i = 0˚и 180˚ - экваториальные;

i = 90˚ - полярные.

Геосинхронная орбита – орбита вдоль одной замкнутой трассы на поверхности Земли с некоторым периодом повторяемости:

где — драконический период обращения спутника; — эффективные сутки (промежуток времени между двумя последовательными прохождениями фиксированной точки экватора через восходящий узел орбиты спутника); m число витков ИСЗ; n число эффективных суток в периоде повторяемости трасс спутников; m и n целые взаимно простые числа, совместно определяют кратность геосинхронной орбиты.



Алгоритм решения задачи:

  1. Для характеристики используемой модели движения спутника рассмотрим нормальное гравитационное поле Земли с потенциалом (поле сфероида):

где

— геоцентрический радиус и широта точки;

μ — гравитационная постоянная Земли (μ = 398600 );

— коэффициент, характеризующий сжатие Земли ( = 0.0010827);

— экваториальный радиус Земли ( = 6378.16 км).

  1. Текущий радиус r почти круговой орбиты спутника в поле (1.1) меняется в соответствии с зависимостью:

где iнаклонение орбиты; uаргумент широты спутника; — радиус круговой гипотетической орбиты, относительно которой происходит колебание положения спутника на витке.

  1. Высота H спутника при его движении по орбите определяется как разность:

где r — геоцентрический радиус спутника; — радиус земного сфероида.

, с высокой точностью (~40м) вычисляется по формуле:

α – полярное сжатие Земли ().

  1. Откажемся от точного вычисления значения высоты Н по формуле (3.1), и будем характеризовать ее средним значением на витке, определяемым выражением:

где

— средний радиус орбиты; — средний радиус Земли.

Интегрируя выражения (2.1) и (3.2), получим:

таким образом

Использование в качестве высоты ее среднего значения (4.6) приводит к погрешностям максимальное значение которого равно 10.7 км.

  1. Рассмотрим каким образом определяется высота номинальной геосинхронной орбиты по заданным значениям ее кратности и наклонения i.

Из анализа формул (4.6) следует, что для этого достаточно найти радиус номинальной орбиты спутника.

Для определения воспользуемся зависимостью между кратностью орбиты , драконическим периодом обращения спутника и эффективным периодом вращения Земли :

Продолжительность эффективных суток может быть так же выражена через угловую скорость вращения Земли и угловое смещение δΩ восходящего узла орбиты за один виток:

Приравнивая правые части (5.1) и (5.2), получим следующее уравнение относительно неизвестной :

где и — функции от среднего радиуса орбиты спутника, соответствующие физическому смыслу величин и .

Для орбит с малым эксцентриситетом в гравитационном поле (1.1) драконический период и величина прецессии восходящего узла орбиты за виток вычисляется по формулам:

Тогда, подставив уравнения (5.4) и (5.5) в (5.3), получим:

  1. Преобразуем полученное уравнение к стандартному виду. Для этого введем переменную

, т.е.

и подставим в уравнение (5.6):

Умножим уравнение на , перенесем всё в правую часть:

Или:

где

  1. Т.к. , то . Покажем, что при любом наклонении i уравнение (6.4) имеет на интервале (0;1) один корень. Это будет обозначать, что параметры , i и соотношения (6.1), (6.4), (6.5) определяют средний радиус орбиты однозначно.

Для доказательства данного положения достаточно рассмотреть изменение левой части уравнения (6.4)

Доказательство

Условия локального экстремума функции двух переменных:

Необходимое условие:

Достаточное условие:

Найдем наибольшее значение функции . Обозначим , .

Условие экстремума для функции двух переменных имеет вид:

Тогда можно записать:

Решим систему уравнений. Возможны следующие случаи:

, тогда или .

При () из второго уравнения получаем .

При () из второго уравнения получаем . Точка , т.е. не является критической точкой функции .

, тогда из второй системы уравнений получаем , .

При и получаем

Из первого уравнения . Подставим это выражение во второе уравнение системы: Получаем , следовательно корней нет.

Таким образом, получено 2 критические точки: и .

При мы получим: A = 19,55 > 0; B = 0; C = 0,17; D = 3,34 > 0 , т.е точка минимума.

При мы получим: A = B = C = D = 0, т.е необходимы дополнительные исследования.

Следовательно, функция принимает наибольшее значение либо в указанных критических точках, либо на концах интервала . Найдем это наибольшее значение:

Наибольшее значение . Тогда наибольшее значение производной будет равно , при n/m = 2/32, т.е

значит что, функция убывает при

Таким образом, функция на интервале непрерывно убывает и меняет знак плюс на знак минус. А это означает, что имеет на данном интервале единственный действительный корень.


  1. Для определения корня уравнения



воспользуемся одним из численных методов. Наиболее распространенными из них являются, Метод простой итерации , Двоичныйпоиск , Метод дихотомии .Метод секущих ,Метод хорд ,метод Чеьышева

Рассмотрим  метод Ньтона

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.

Пусть  — определённая на отрезке и дифференцируемая на нём действительнозначная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:
где α — угол наклона касательной в точке .

Следовательно искомое выражение для имеет вид:
Итерационный процесс начинается с некоего начального приближения x0 (чем ближе к нулю, тем лучше, но если предположения о нахождении решения отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях).

Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция , нуль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения ). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближение лучше предыдущего .

Алгоритм :

  1. Задаются начальным приближением x0.

  2. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение: .



Результаты

В результате работы было сделано следующее:

Ознакомление с параметрами и свойствами круговых геосинхронных орбит ИСЗ, а так же изучены основные расчетные формулы;

Изучен метод решения уравнений численным методом Ньютона;

Разработан алгоритм и написана программа на языке программирования Delphi результаты работы, которой:

Вывод графика высоты в зависимости от кратности .

Вывод графика высоты в зависимости от кратности .


Скачать файл (908.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации