Реферат - Конформное отображение в многомерных евклидовых пространствах
скачать (426.5 kb.)
Доступные файлы (1):
1.doc | 427kb. | 15.11.2011 20:05 | ![]() |
содержание
- Смотрите также:
- Конспект лекции по нелинейной динамике [ лекция ]
- Каратеодори К. Конформное отображение [ документ ]
- 1 Экстремальные задачи. Выпуклый анализ Экстремальные задачи в евклидовых пространствах. Выпуклые задачи на минимум. Математическое программирование, линейное прогр [ документ ]
- Зубов Л.М., Карякин М.И. Элементы тензорного исчисления [ документ ]
- Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды [ документ ]
- Вычисление многомерных интегралов методом статистических испытаний (Монте-Карло) [ документ ]
- по функцианальному анализу [ лекция ]
- Математическая статистика. Специальные главы прикладной математики [ документ ]
- Евклидовы кольца [ документ ]
- Фгбоу впо [ документ ]
- Рост объемов кустового наклонно – направленного бурения, обусловленного экономической эффективностью бурения скважин на обширных пространствах Западной Сибири в усл [ документ ]
- Методичка по лабораторной работе №4 [ документ ]
1.doc
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(ГОУВПО «АмГУ»)
кафедра математического анализа и моделирования
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ
на тему: конформное отображение в многомерных евклидовых пространствах
по дисциплине: теория функций комплексного переменного
Исполнитель
Студент 551группы
Руководитель
(ассистент) _____________
Нормоконтроль
(ассистент) _____________
Благовещенск 2007
РЕФЕРАТ
Работа 30с., 4 рис., 5 источников.
Конформное отображение, дробно линейная функция, цилиндрические системы координат, комплексная часть, необходимые условия, отображение, сечение, формула Эйлера, функция Жуковского.
Развитие идей о конформных отображениях принадлежат Бернхарду Риману(1826-1866),он первый обосновал геометрические вопросы теории и их приложения. Особый вклад внес так же Леонард Эйлер. В этой работе будут рассмотрены основные виды конформных отображений и их свойства. Будет рассмотрена функция Жуковского и ее реализация в пространстве.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Понятие конформного отображения в пространстве 5
2 Элементарные функции 7
2.1 Дробная функция 7
2.2 Степенные функции 9
2.3 Показательная функция 13
2.4 Логарифмическая функция 15
2.5 Элементарные тригонометрические функции 17
2.6 Тригонометрические и гиперболические функции в пространстве 18
2.7 Дробно-линейная функция 19
Отображение шара в шар 22
Функция Жуковского 25
Профили Жуковского в пространстве 28
Заключение 29
Библиографический список 30
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе я рассмотрю конформные отображения, реализованные в многомерных евклидовых пространствах. Изложение я начну с введения понятие конформного отображения представленного виде теоремы, рассмотрю элементарные функции, заданные в пространстве и затем изложу основной принцип отображение шара в шар.
^
Введем понятие конформного отображения виде теоремы.
Теорема 1. Пусть функция W=f() имеет в точке 0 производную f '( 0), отличную от нуля и от корней из нуля, то есть j f '( 0)


Доказательство. Пусть в некоторой области пространства ( )

задана функция W=f(), дифференцируемая в точке 0 f '( 0)

Рассмотрим уравнение гладкой кривой в пространстве в виде =S(t), где t - параметр, меняющийся вдоль этой кривой, проходящий через точку
0




тогда




Тогда из соотношения производной для сложной функции имеем


Величину

Из если f '( 0)



3амечание 1. Единственность касательной к гладкой пространственной кривой известна из дифференциальной геометрии.
Замечание 2. В случае если

Замечание 3. Постоянство коэффициента растяжения в точке доказывается стандартным образом, как и в случае z-плоскости. Он равен

^
В теории функций комплексной переменной при рассмотрении конформного отображения очень важную роль играют, элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них:
^
Функция вида

В трехмерном пространстве цилиндрической системы координат запишем:

Выделение комплексных частей дает:

Проверяем условия дифференцируемости функции:






Необходимые условия выполняются. Определим производную функции





Таким образом, и для этой функции остается без изменения вид табличной производной:

Определим функцию


Выделение комплексных частей дает:


Нетрудно проверить, что комплексные части W, R удовлетворяют условиям дифференцирования. Не останавливаясь на элементарных выкладках, определим производную в этом пространстве




Таким образом, вид производной от функции


2.2 Степенные функции
Функции вида


откуда

где величина и соответственно могут быть комплексными.
Можно воспользоваться формулой (1.6), тогда

и соотношения запишутся в виде:

где все параметры действительны.
Отображение, осуществляемое функцией n, сводится к повороту всех углов , , на угол (n-1) arg и растяжению радиуса вектора


В трехмерном пространстве можно записать

Докажем, что функция n аналитична в пространстве ( ). Раскроем предел

Таким образом, для любого существует предел и функция аналитична. Проверим условия дифференцирования функции на ее частном виде 2.
В цилиндрических координатах трехмерного пространства имеем

откуда

Проверяем условия дифференцирования:




Определяем производную

Таким образом, табличная производная осталась без изменения.
В цилиндрических координатах четырехмерного пространства проверяем условия дифференцируемости:

Отделение комплексных частей дает:

Имеем:

Определяем производную:

Таким образом, табличная производная осталась в силе.
Функция n определена на выколотой оси, то есть в дискретных точках делителей нуля

Если



Функция




Соотношения, определяющие отображения, имеет вид:

Для однозначных ветвей для функции


Функция


При операциях с такими комплексами необходимо следить за порядком нуля n коэффициентом перед изолированным аргументом.
2.3 Показательная функция
Показательная функция



Модуль комплекса равен 1.
Рассмотрим также функцию от элементов делителей нуля

Определим комплексные части функции при условии, что элемент определен в трехмерном комплексном пространстве цилиндрических координат:

Для проверки необходимых условий дифференцируемости определим шесть производных:






Следовательно, функция является аналитической.
Определим производную от этой функции


Таким образом, табличная производная для экспоненциальной функции осталась в силе

Аналогично обстоит дело и в четырехмерном пространстве.
2.4 Логарифмическая функция
Логарифмическая функция имеет вид ln(

Если




Проверяем необходимые условия дифференцирования функции:





Необходимые условия дифференцирования выполняются.
Определим производную

Таким образом,

Проведем операции в четырехмерном пространстве

Выделение комплексных частей дает выражения:

Следовательно, для доказательства необходимых условий дифференцирования, вычислим восемь производных от функций W и R по переменным , r, , и сопоставим:








Легко проверяется, что необходимые условия для дифференцирования функции в пространстве выполняются.
Определим производную в четырехмерном пространстве



Таким образом, и в четырехмерном пространстве табличная производная осталась в силе

2.5 Элементарные тригонометрические функции
Определим функции sin() и cos() через экспоненциальные функции e:

Оба выражения являются распространением формул (z) -плоскости в пространство (). Складывая и вычитая выражения, друг с другом, получим


Так как табличная производная от экспоненциальной функции осталась без изменения, то производные от sin() и cos() определяют:


Вид табличных производных остался без изменения. Остаются в силе и тригонометрические зависимости:


2.6 Тригонометрические и гиперболические функции в пространстве
В плоскости комплексного переменного z тригонометрические функции определяются через функции sin(z), cos(z), которые выражены формулами









Гиперболические функции выражаются через тригонометрические



Функция вида

где a, b, c, d - комплексные пространственные переменные, причем






существует при



и функция определена в пространстве ().
В точке



Функцию


Рассмотрим отображение, которое является основой

где , , - действительные числа. Тогда



Тогда и 2 будет иметь вид

Проведем преобразования

Знаменатель

где


Таким образом,

где - комплексное.
Итак, если


Таким образом лучи в пространстве ( ), идущие под углами , , поворачиваются и проходят под углами - , - .Отображение обладает свойством инверсии (рис. 1.)

Для доказательства можно рассмотреть сечения плоскостями =const и проекцию на плоскость (z).

Рис. 1. Инверсия точек в комплексном пространстве.
^
Рассмотрим дробно-линейную функцию следующего вида:

где a, - действительные числа.
Если a=z+j , то

Рассмотрим "сечения":
a) =0, =0, a=a1,
тогда

б) при a=0, =0, a=a2, имеем

Замечание. Подмножество дробно-линейных преобразований дающих отображение шара на себя, является множеством движений пространства Лобачевского (если шар с выколотой осью назвать пространством Лобачевского).
Проведем выкладки, связанные с этим отображением, более детально:




Распишем числитель этого выражения



а также знаменатель


Отображение верхнего полупространства на единичный шар. Функция (рис.2)

где

отображает верхнее полупространство на внутреннюю область, ограниченную единичной сферой, причем точка переходит на плоскости в точку


Рис. 2. Отображение верхнего полупространства в полное пространство
Доказательство. Достаточно показать, что всякая точка плоскости (z) переходит при указанном отображении на поверхность единичной сферы. В самом деле

В общем виде отображение записывается в виде

где a, - любые действительные числа.
^
Рассмотрим функцию

и определим области однолистности этого отображения в пространстве. Как обычно, положим

- комплексное. Предположим, что 1 и 2 переходят в одну точку в пространстве ()

Таким образом, область однолистности пространства () не должна содержать точек, связанных соотношением

В пространстве () - это точки, лежащие внутри или вне сферы




Проведем преобразование комплексных частей




Применим формулу Эйлера:


Проведем последовательно сечения сферы плоскостями, параллельными плоскости (z). Это плоскости =const. Сначала положим =0, тогда

Это прежняя функция Жуковского в плоскости (z). На рис.3 представлено отображение, осуществляемое этой функцией. Поверхность сферы сжимается в круг с двойной границей, который по диаметру перерезает выколотая ось. Покажем, что кривые C1, C2, C3, Ci при своем отображении не имеют, точек пересечения в круге радиуса R= получим, комплекс

Преобразуем его по формуле Эйлера


Рис. 3. Отображение внешнего пространства сферы в пространство круга радиуса, равного радиусу сферы толщиной.
Если R2=R1, то одновременно должны выполняться два условия:


которые вытекали бы из равенства модулей комплексов. Но это невыполнимо. Аналогичная ситуация возникает, если предположить, что F1=F2 для этих кривых.
Таким образом, отображение плоскостей, секущих сферу, является однолистным. Выколотая ось также однозначно отображается в выколотую ось j .Окружности радиуса корня из нуля отображаются в отрезки, дважды проходимые по линии Г4 (рис. 3).
^
Рассмотрим в пространстве () два касающихся изнутри в точке x=a шара (рис. 4). Функция Жуковского отображает поверхность большого шара на поверхность, напоминающую тело дельфина или фюзеляж самолета


Рис. 4. Отображение пространства, заключенного между двумя сферами, в пространственный объем типа "Капля"
Плоскость Q=0 переводит функцию в z - плоскость, так что получаем отображение контура

Если рассматривать отображение плоскости, заданной углами =0, = , то получим контур С. Система этих контуров и задает отображение (рис. 4).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной курсовой работе я рассмотрела конформные отображения, реализованные в многомерных евклидовых пространствах. Дала определение конформного отображения представленного виде теоремы, рассмотрела элементарные функции, заданные в пространстве и затем изложила основной принцип отображение шара в шар.
^
Гурвиц А.В Теория функций /Р.А.Курант.- М.: Наука,1968.- 648.
Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / В.В. Шабат.- М.: Научный мир, 1978.- 456с.
Леонтьева Т.А. Лекции по теории функций комплексного переменного / Т.А. Леонтьева. – М.: Научный мир, 2004.- 120с.
Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного / М.В. Федорюк. – М.: Наука, 1989. – 480с.
Скачать файл (426.5 kb.)