Реферат - Конформное отображение в многомерных евклидовых пространствах

Реферат - Конформное отображение в многомерных евклидовых пространствах
скачать (426.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc

427kb.

15.11.2011 20:05

скачать

содержание

1.doc

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ГОУВПО «АмГУ»)

кафедра математического анализа и моделирования

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

на тему: конформное отображение в многомерных евклидовых пространствах

по дисциплине: теория функций комплексного переменного

Исполнитель

Студент 551группы

Руководитель

(ассистент) _____________

Нормоконтроль

(ассистент) _____________

Благовещенск 2007

РЕФЕРАТ

Работа 30с., 4 рис., 5 источников.

Конформное отображение, дробно линейная функция, цилиндрические системы координат, комплексная часть, необходимые условия, отображение, сечение, формула Эйлера, функция Жуковского.

Развитие идей о конформных отображениях принадлежат Бернхарду Риману(1826-1866),он первый обосновал геометрические вопросы теории и их приложения. Особый вклад внес так же Леонард Эйлер. В этой работе будут рассмотрены основные виды конформных отображений и их свойства. Будет рассмотрена функция Жуковского и ее реализация в пространстве.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Понятие конформного отображения в пространстве 5

2 Элементарные функции 7

2.1 Дробная функция 7
2.2 Степенные функции 9
2.3 Показательная функция 13
2.4 Логарифмическая функция 15
2.5 Элементарные тригонометрические функции 17
2.6 Тригонометрические и гиперболические функции в пространстве 18
2.7 Дробно-линейная функция 19

Отображение шара в шар 22
Функция Жуковского 25
Профили Жуковского в пространстве 28

Заключение 29

Библиографический список 30

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе я рассмотрю конформные отображения, реализованные в многомерных евклидовых пространствах. Изложение я начну с введения понятие конформного отображения представленного виде теоремы, рассмотрю элементарные функции, заданные в пространстве и затем изложу основной принцип отображение шара в шар.

^ 1 ПОНЯТИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Введем понятие конформного отображения виде теоремы.

Теорема 1. Пусть функция W=f() имеет в точке  ₀ производную f '( ₀), отличную от нуля и от корней из нуля, то есть j f '( ₀)

. Тогда эта функция реализует в точке конформные отображения. Это значит, что при переходе из пространства () в пространство (W) касательная к любой гладкой кривой в фиксированной точке  ₀ поворачивается на один и тот же угол в пространстве и имеет один и тот же коэффициент растяжения.

Доказательство. Пусть в некоторой области пространства ( )

(1)

задана функция W=f(), дифференцируемая в точке  ₀f '( ₀)

, и (неравна корням из нуля).

Рассмотрим уравнение гладкой кривой  в пространстве в виде  =S(t), где t - параметр, меняющийся вдоль этой кривой, проходящий через точку

 _{0 0} -

. Проведем касательную к этой кривой в точке  ₀. Положение касательной в пространстве (ее наклоны к координатным плоскостям) характеризуется углами  ₀,  ₀.Пусть  ’ – образ этой кривой, полученный при отображении W=f(), иными словами W=f(S(t)). Дифференцируем сложную функцию W'(

по условию

тогда

обозначим

. Пусть

ίθ'+Jβ,

ίθ+Jβ.

Тогда из соотношения производной для сложной функции имеем

θ'+

β'=arg f '( ₀)+ ίθ+Jβ (2)

Величину

условимся называть комплексным углом поворота кривой  в точке  ₀ при отображении W=f().

Из если f '( ₀)

. то угол поворота в точке  ₀ не зависит от кривой и равен

иначе говоря, все гладкие кривые, проходящие через точку ₀ поворачиваются при отображении на один и тот же угол, равный аргументу производной в этой точке.

3амечание 1. Единственность касательной к гладкой пространственной кривой известна из дифференциальной геометрии.

Замечание 2. В случае если

то имеем дело с четырехмерным пространством, доказательство в котором аналогично.

Замечание 3. Постоянство коэффициента растяжения в точке доказывается стандартным образом, как и в случае z-плоскости. Он равен

. Таким образом, здесь речь идет о подлинном отображении, конформном в трехмерном и более высокого числа измерений пространстве.

^ 2 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

В теории функций комплексной переменной при рассмотрении конформного отображения очень важную роль играют, элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них:

^ Дробная функция

Функция вида

, называется дробно линейной.

В трехмерном пространстве цилиндрической системы координат запишем:

(3)

Выделение комплексных частей дает:

(4)

Проверяем условия дифференцируемости функции:

Необходимые условия выполняются. Определим производную функции

Таким образом, и для этой функции остается без изменения вид табличной производной:

(5)

Определим функцию

в пространстве четырех переменных в цилиндрических координатах

Выделение комплексных частей дает:

(6)

(7)

Нетрудно проверить, что комплексные части W, R удовлетворяют условиям дифференцирования. Не останавливаясь на элементарных выкладках, определим производную в этом пространстве

Таким образом, вид производной от функции

, определенной в четырехмерном пространстве, соответствует табличному виду производной от функции, определенной как в плоскости комплексного переменного (z), так и действительной области,

.

2.2 Степенные функции

Функции вида

, называются степенными, здесь n - любое целое положительное число. Функция  ⁿ в пространстве () за вычетом  - туннеля дискретных точек представима в следующих выражениях:

откуда

, (8)

где величина  и соответственно  могут быть комплексными.

Можно воспользоваться формулой (1.6), тогда

(9)

и соотношения запишутся в виде:

(10)

где все параметры действительны.

Отображение, осуществляемое функцией  ⁿ, сводится к повороту всех углов  ,  ,  на угол (n-1) arg и растяжению радиуса вектора

раз.

В трехмерном пространстве можно записать

(11)

Докажем, что функция  ⁿ аналитична в пространстве ( ). Раскроем предел

Таким образом, для любого  существует предел и функция аналитична. Проверим условия дифференцирования функции на ее частном виде  ².

В цилиндрических координатах трехмерного пространства имеем

откуда

Проверяем условия дифференцирования:

Определяем производную

Таким образом, табличная производная осталась без изменения.

В цилиндрических координатах четырехмерного пространства проверяем условия дифференцируемости:

(12)

Отделение комплексных частей дает:

Имеем:

Определяем производную:

Таким образом, табличная производная осталась в силе.

Функция  ⁿ определена на выколотой оси, то есть в дискретных точках делителей нуля

Если

, то

. По-прежнему имеем

Функция

является обратной функции  ⁿ. Если

, то

Соотношения, определяющие отображения, имеет вид:

(13)

Для однозначных ветвей для функции

существует табличная производная

Функция

определена и в делителях нуля. Формально можно провести операции

При операциях с такими комплексами необходимо следить за порядком нуля n коэффициентом перед изолированным аргументом.

2.3 Показательная функция

Показательная функция

определена во всем пространстве (

) , включая элементы делителей нуля и им эквивалентные числа. Нигде функция не обращается нуль

(14)

Модуль комплекса равен 1.

Рассмотрим также функцию от элементов делителей нуля

Определим комплексные части функции при условии, что элемент  определен в трехмерном комплексном пространстве цилиндрических координат:

Для проверки необходимых условий дифференцируемости определим шесть производных:

Следовательно, функция является аналитической.

Определим производную от этой функции

Таким образом, табличная производная для экспоненциальной функции осталась в силе

Аналогично обстоит дело и в четырехмерном пространстве.

2.4 Логарифмическая функция

Логарифмическая функция имеет вид ln(

). Проведем операции в трехмерном пространстве.

Если

, то

Проверяем необходимые условия дифференцирования функции:

Необходимые условия дифференцирования выполняются.

Определим производную

Таким образом,

.

Проведем операции в четырехмерном пространстве

Выделение комплексных частей дает выражения:

Следовательно, для доказательства необходимых условий дифференцирования, вычислим восемь производных от функций W и R по переменным  , r,  ,  и сопоставим:

(15)

(16)

Легко проверяется, что необходимые условия для дифференцирования функции в пространстве выполняются.

Определим производную в четырехмерном пространстве

Таким образом, и в четырехмерном пространстве табличная производная осталась в силе

2.5 Элементарные тригонометрические функции

Определим функции sin() и cos() через экспоненциальные функции e^:

(18)

Оба выражения являются распространением формул (z) -плоскости в пространство (). Складывая и вычитая выражения, друг с другом, получим

(19)

(20)

Так как табличная производная от экспоненциальной функции осталась без изменения, то производные от sin() и cos() определяют:

;

Вид табличных производных остался без изменения. Остаются в силе и тригонометрические зависимости:

(21)

(22)

2.6 Тригонометрические и гиперболические функции в пространстве

В плоскости комплексного переменного z тригонометрические функции определяются через функции sin(z), cos(z), которые выражены формулами

, которые являются следствием формулы Эйлера. Мнимая единица j отличается от мнимой единицы i только обозначением. В пространстве эта единица фиксирует третье координатное направление. Алгебра этой единицы совпадает с алгеброй мнимой единицы i. Поэтому в силе остаются и формулы

. Далее формулы распространяются в пространство.

. При переходе от

получаем гиперболические функции в пространстве Y.

(23)

(24)

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические

2.7 Дробно-линейная функция

Функция вида

, (25)

где a, b, c, d - комплексные пространственные переменные, причем

при

. Если

, то

существует при

.Уравнение однозначно разрешимо относительно :

и функция определена в пространстве ().

В точке

функция равна

, а в точке,

. Таким образом, дробно-линейная функция осуществляет отображение пространства  на пространство .

Функцию

можно представить в виде

(26)

Рассмотрим отображение, которое является основой

где , ,  - действительные числа. Тогда

. Если  - комплексное, то

где

Тогда и  ₂ будет иметь вид

Проведем преобразования

Знаменатель

где

Таким образом,

где  - комплексное.

Итак, если

, то

Таким образом лучи в пространстве ( ), идущие под углами , , поворачиваются и проходят под углами - , - .Отображение обладает свойством инверсии (рис. 1.)

(27)

Для доказательства можно рассмотреть сечения плоскостями  =const и проекцию на плоскость (z).

Рис. 1. Инверсия точек в комплексном пространстве.

^ 3 ОТОБРАЖЕНИЕ ШАРА В ШАР

Рассмотрим дробно-линейную функцию следующего вида:

(28)

где a,  - действительные числа.

Если a=z+j , то

Рассмотрим "сечения":

a)  =0,  =0, a=a₁,

тогда

то есть имеем круг в соответствующем сечении;

б) при a=0,  =0, a=a₂, имеем

это снова круг.

Замечание. Подмножество дробно-линейных преобразований дающих отображение шара на себя, является множеством движений пространства Лобачевского (если шар с выколотой осью назвать пространством Лобачевского).

Проведем выкладки, связанные с этим отображением, более детально:

Распишем числитель этого выражения

а также знаменатель

(29)

Отображение верхнего полупространства на единичный шар. Функция (рис.2)

(30)

где

отображает верхнее полупространство на внутреннюю область, ограниченную единичной сферой, причем точка  переходит на плоскости в точку

Рис. 2. Отображение верхнего полупространства в полное пространство

Доказательство. Достаточно показать, что всякая точка плоскости (z) переходит при указанном отображении на поверхность единичной сферы. В самом деле

(31)

В общем виде отображение записывается в виде

(32)

где a,  - любые действительные числа.

^ 4 ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО

Рассмотрим функцию

(33)

и определим области однолистности этого отображения в пространстве. Как обычно, положим

, где  ,  действительные числа;

 - комплексное. Предположим, что  ₁ и  ₂ переходят в одну точку в пространстве ()

(34)

Таким образом, область однолистности пространства () не должна содержать точек, связанных соотношением

(35)

В пространстве () - это точки, лежащие внутри или вне сферы

с выколотой осью. Исследуем отображение при соблюдении этих ограничений

Проведем преобразование комплексных частей

Применим формулу Эйлера:

(36)

(37)

Проведем последовательно сечения сферы плоскостями, параллельными плоскости (z). Это плоскости  =const. Сначала положим  =0, тогда

(38)

Это прежняя функция Жуковского в плоскости (z). На рис.3 представлено отображение, осуществляемое этой функцией. Поверхность сферы сжимается в круг с двойной границей, который по диаметру перерезает выколотая ось. Покажем, что кривые C₁, C₂, C₃, C_i при своем отображении не имеют, точек пересечения в круге радиуса R= получим, комплекс

Преобразуем его по формуле Эйлера

Рис. 3. Отображение внешнего пространства сферы в пространство круга радиуса, равного радиусу сферы толщиной.

Если R₂=R₁, то одновременно должны выполняться два условия:

которые вытекали бы из равенства модулей комплексов. Но это невыполнимо. Аналогичная ситуация возникает, если предположить, что F₁=F₂ для этих кривых.

Таким образом, отображение плоскостей, секущих сферу, является однолистным. Выколотая ось также однозначно отображается в выколотую ось j .Окружности радиуса корня из нуля отображаются в отрезки, дважды проходимые по линии Г₄ (рис. 3).

^ 5 ПРОФИЛИ ЖУКОВСКОГО В ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим в пространстве () два касающихся изнутри в точке x=a шара (рис. 4). Функция Жуковского отображает поверхность большого шара на поверхность, напоминающую тело дельфина или фюзеляж самолета

Рис. 4. Отображение пространства, заключенного между двумя сферами, в пространственный объем типа "Капля"

Плоскость Q=0 переводит функцию в z - плоскость, так что получаем отображение контура

в контур С₁, также лежащей в z -плоскости.

Если рассматривать отображение плоскости, заданной углами  =0,  = , то получим контур С. Система этих контуров и задает отображение (рис. 4).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе я рассмотрела конформные отображения, реализованные в многомерных евклидовых пространствах. Дала определение конформного отображения представленного виде теоремы, рассмотрела элементарные функции, заданные в пространстве и затем изложила основной принцип отображение шара в шар.

^ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Гурвиц А.В Теория функций /Р.А.Курант.- М.: Наука,1968.- 648.
Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / В.В. Шабат.- М.: Научный мир, 1978.- 456с.
Леонтьева Т.А. Лекции по теории функций комплексного переменного / Т.А. Леонтьева. – М.: Научный мир, 2004.- 120с.
Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного / М.В. Федорюк. – М.: Наука, 1989. – 480с.

Скачать файл (426.5 kb.)

Реферат - Конформное отображение в многомерных евклидовых пространствах - файл 1.doc

Доступные файлы (1):

1.doc