Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Справочник по математике - файл Краткий справочник1.doc


Справочник по математике
скачать (182.1 kb.)

Доступные файлы (1):

Краткий справочник1.doc862kb.04.04.2002 21:29скачать

содержание
Загрузка...

Краткий справочник1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Министерство образования РФ

Костромской государственный технологический университет


Кафедра высшей математики


Краткий справочник

по математике для специальностей инженерно-технического профиля


Кострома

2002 г


Глава I. Элементы линейной алгебры. 3

§1.1. Определители. 3

§1.2. Матрицы и линейные операции над ними. 3

Глава II. Векторная алгебра. 4

§2.1 Основные понятия. 4

§2.2. Операции над векторами. 4

§ 2.3. Переход к новому базису. 4

^ ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 4

§ 3.1. Представление комплексных чисел. 4

§ 3.2. Действия над комплексными числами 5

ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 5

^ ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. 6

ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА. 6

ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. 6

§ 7.1. Преобразования графиков функций. 6

§ 7.2. Корень уравнения. 7

^ ГЛАВА VIII. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 7

ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 8

ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 9

§ 10.1. Неопределенный интеграл. 9

§ 10.2. Определенный интеграл. 9

§ 10.3. Двойной интеграл. 10

^ ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 10

ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. 11

§ 12.1. Числовые ряды. 11

§ 12.2. Функциональные ряды. 12

ГЛАВА XIII. Аналитическая геометрия. 12

§ 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости. 12

§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве. 12

^ ГЛАВА XIV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 13

§ 14.1. Случайные события. 13

§ 14.2. Случайные величины. 13

ГЛАВА XV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. 14



^

Глава I. Элементы линейной алгебры.

§1.1. Определители.


Определение: Матрицей называется таблица чисел, в которой m строк и n столбцов

, где

– элементы матрицы, – номер строки, – номер столбца


Только для квадратных матриц введено понятие определителя.

Теорема: Определитель матрицы или определитель n-го порядка – это число, равное сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения. Например для второй строки:

,

где – алгебраическое дополнение к элементу ;


Определение: Минором элемента называется определитель, получаемый из данного после вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

В частных случаях:





или схематический (метод треугольников):



^

§1.2. Матрицы и линейные операции над ними.



, ,

, справедливо:



^

Глава II. Векторная алгебра.

§2.1 Основные понятия.


Если , где ; ; – координаты вектора ,

, , – вектора базиса; то модуль или длина вектора определяется по формуле:



Если вектора и коллинеарны, то


^

§2.2. Операции над векторами.


Пусть , .

Тогда



  1. Скалярное произведение векторов и :

  2. В пространстве последняя формула примет вид: , где , .
^

§ 2.3. Переход к новому базису.


В некотором базисе даны вектора: , , .

Требуется найти координаты вектора в новом базисе, образованном векторами и , т.е. решить векторное уравнение:

, ,

которое сводится к системе линейных уравнений:



^

ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

§ 3.1. Представление комплексных чисел.


1. Алгебраическая форма комплексного числа:

, , – мнимая единица,

– действительная часть комплексного числа, обозначается ,

– коэффициент при мнимой части комплексного числа, обозначается .

Каждому комплексному числу соответствует единственная точка плоскости (обратное справедливо).


2. Тригонометрическая форма комплексного числа:

, где


модуль комплексного числа ,



– аргумент комплексного числа ,

, .

– главное значение аргумента комплексного числа ;

.

Распределение знака по четвертям:




3. Показательная форма комплексного числа:


^

§ 3.2. Действия над комплексными числами










Комплексное число называется сопряженным к комплексному числу





Степени мнимой единицы:







,

В частных случаях:




^

ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.



Если каждому элементу множества некоторым способом поставлен в соответствие один элемент множества , то говорят, что задано отображение множества в множество . Записывают:

или

и
изображают с помощью диаграмм Венна:

Пример:







^

ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.



& – знак конъюнкции, логического умножения;

 – знак дизъюнкции, логического сложения;

  1. , ;

  2. , ;

  3. , ;

  4. , ;

  5. ;

  6. , , , ;

  7. , ;







^

ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА.



Сочетания: (порядок элементов внутри выборки не важен)

Размещения: (порядок элементов внутри выборки важен)

Перестановки:
^

ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА.

§ 7.1. Преобразования графиков функций.






^

§ 7.2. Корень уравнения.


Если уравнение имеет единственный корень при , то уравнение так же имеет корень при .

^

ГЛАВА VIII. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.



Правила вычисления пределов.

Если и , то

;

;

, при ;

, .


Первый замечательный предел.


.

Следствия: ,

,

,


Второй замечательный предел.

.


Основные неопределенности.

, , , , .


Основные эквивалентные бесконечно малые величины.


, , , , при .

^

ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.



Правила дифференцирования.

Если , – дифференцируемые функции,

то








Формулы дифференцирования:




,

,

,





Следствие: ,


Формула Лапиталя.




Дифференциал функции.



Применение дифференциального исчисления в исследовании функции

  1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на отрезке , то .

  2. Если дважды дифференцируемая функция выпукла (вогнута) на отрезке , то .


Замечание: 1. Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, полагая, что все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, являются константами.

2. Градиент функции определяется по формуле:

^

ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

§ 10.1. Неопределенный интеграл.



Таблица интегралов.













Некоторые тригонометрические формулы, применяемые при интегрировании:


, , ,


Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:




, т.е. дробь правильная

^

§ 10.2. Определенный интеграл.







§ 10.3. Двойной интеграл.









^

ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.



Уравнение, содержащее кроме неизвестной функции и её производные называется дифференциальным.


Например: – дифференциальное уравнение 1го порядка.

– начальное условие.

Функция является частным решением дифференциального уравнения 1го порядка, если выполняется:




Простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка являются уравнения с разделяющимися переменными:

, где

и



Эти уравнения решаются путем деления на и последующего интегрирования уравнения.


– дифференциальное уравнение 2го порядка,

; – начальные условия.

Частным случаем дифференциальных уравнений второго порядка являются линейные

неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:



Решение уравнений ищется в виде:

, где – общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному,

– частное решение исходного уравнения.

строится в зависимости от корней характеристического уравнения:



Если , то

При ,

При ,

^

ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.

§ 12.1. Числовые ряды.


Выражение вида:

, где

называется числовым рядом. Если , то ряд называется знакопеременным.

Сумма первых членов ряда называется частичной суммой: .

Ряд называется сходящимся, если существует , в противном случае – расходящимся. Ряды чаще всего исследуются на сходимость с помощью признаков сходимости.

Для знакопеременных рядов наиболее применимы следующие:

  1. необходимый признак сходимости ряда:

если , то ряд расходится, при – ответ дать нельзя;

2. признак Даламбера:



3. признаки сравнения;

4. признак Коши: Если сходится, то и ряд сходится; если интеграл расходится, то и ряд расходится. Функция строится по формуле – общего члена ряда:

, , … , , …

Замечание: 1. Ряд вида называется гармоническим. При ряд сходится, при – расходится.

2. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится при , и расходится, если .

^

§ 12.2. Функциональные ряды.


Ряд Тейлора для функции :



^

ГЛАВА XIII. Аналитическая геометрия.

§ 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости.


Любая линия на плоскости задается уравнением . Для нахождения точек пересечения её с осью Ох надо решить уравнение , аналогично с осью Оу: . Если какое-либо из уравнений решений не имеет, то точек пересечения с соответствующей осью нет.

Для нахождения точек пересечения двух линий и необходимо решить систему из уравнений, т.е.



Универсальным способом задания прямой на плоскости является общее уравнение прямой на плоскости: , где , одновременно не обращаются в ноль. Для описания не вертикальных прямых часто используется уравнение прямой с угловым коэффициентом: , . Если две прямые заданы уравнениями в этой форме, т.е. и , то они параллельны, если , и перпендикулярны при .

Любое алгебраическое уравнение второй степени относительно и описывает на плоскости кривую второго порядка.


К основным из них относятся:

  1. окружность: ,

  2. эллипс: ,

  3. гипербола: , или развернутая, когда асимптотами являются оси координат: ,

  4. парабола: или , .
^

§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве.


Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору :

.

Уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору :




Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и , не лежащие на одной прямой:



Уравнения координатных плоскостей:

плоскость XOY ~ ; плоскость XOZ ~ ; плоскость YOZ ~ .

^

ГЛАВА XIV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

§ 14.1. Случайные события.


Классическое определение вероятности:

Вероятностью события называется отношения числа благоприятных исходов событию к общему числу равновозможных событий, образующих полную группу, т.е.

, при этом очевидно: .

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.

События называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

Теоремы сложения и умножения вероятностей:


– для независимых событий и .

– для зависимых событий и .

– для несовместных событий и .

– для совместных событий и .
^

§ 14.2. Случайные величины.


Полной характеристикой случайной величины является её функция распределения . Для дискретной случайной величины более удобной формой задания является ряд распределения:
























– возможные значения случайной величины ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение


В ряде задач бывает достаточно иметь не полную информацию о случайной величине, а только её основные числовые характеристики:

– математическое ожидание; – дисперсия; – среднеквадратическое отклонение.

Формулы для вычисления:







Для непрерывной случайной величины эти характеристики определяются через функцию плотности распределения



;

Для равномерно распределённой случайной величины функция плотности распределения имеет вид:












Для нормально распределённой случайной величины числовые характеристики являются параметрами плотности распределения:

; ,

Для случайной величины распределенной по показательному закону (Пуассона):

; .

Свойства числовых характеристик:

1. , 1. ,

2. 2.

3. 3.

независимы

^

ГЛАВА XV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.



Если над случайной величиной произведено независимых опытов, в результате которых получены значения , то их среднее значение является несмещенной оценкой , т.е. .

Степень связи между двумя случайными величинами по серии из испытаний над каждой оценивают по коэффициенту корреляции:

, где

,


Скачать файл (182.1 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации