Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки - файл 1.doc


Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки
скачать (465 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc465kb.24.11.2011 08:35скачать

Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра Теоретической механики


Расчетно-графическая работа№3


«Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил »
1064.03.16.05.000
Выполнил:

Проверил:

Уфа 2008.

Камень скользит в течение τ с по участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость υа. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость υв, камень через Т с ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Дано: α =30°; υа=1м/c; l=3м; f=0,2; d=2,5м.

Определить: h и Т.

Решение.



(рис.1)

1. Рассмотрим движение камня по участку АВ. Принимая камень за материальную точку, покажу действующие на него силы, а именно: Силу тяжести G, силу реакции опоры N и силу трения скольжения Fтр.

1.1Составлю дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ.

Fтр = f N а, N = Gcosα; таким образом дифференциальное уравнение движения камня принимает вид mx= Gsinα – f Gcosα или если сократить на массу камня, можно получить: x= g∙(sinα – f cosα). Интегрируя полученное дифференциальное уравнение дважды, получаем

x= g∙(sinα – f ∙cosα)t + C1 (1)

x= (g∙(sinα – f ∙cosα)/2)t² + C1t +C2 (2)

для определения констант интегрирования воспользуюсь начальными условиями задачи: при t0=0с; x0=0м; υA =1м/c. Подставляя данные начальных условий в уравнения нахожу константы:

C1= 1, а C2=0.

Тогда уравнения (1) и (2) принимают вид:

x= g∙(sinα – f ∙cosα)t + 1 (1)

x= (g∙(sinα – f ∙cosα)/2)t² + t (2)

    1. Для момента τ, когда камень покидает участок АВ,

х= υв; х = l; т.е.

υв = g∙(sinα – f ∙cosα) τ + 1 (1)

l = (g∙(sinα – f ∙cosα)/2) τ ² + τ (2)

Откуда найду τ и υв:

Из (2):

6,7 τ ² + τ –3 =0

Получаю положительный корень:

τ = 0,74 с.

Тогда из (1):

υв=10,2/2 +1=6,1 (м/с)

Рассмотрим движение камня от точки В до точки С.

Показав силу тяжести G, действующую на камень, составлю дифференциальные уравнения его движения:

mx=0 my=G

Начальные условия задачи: при t=0

х0=0; y0=0;

x0= υв∙cosα; y0= υвsinα;

Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:

х=С3; y=gt + C4;

x= C3t + С5; y= gt²/ 2 + C4t +C6;

Запишу полученные уравнения для t=0:

х0= С3; y0= C4;

x0= С5; y0= C6;

Отсюда найду, что

С3= υв∙cosα; C4= υвsinα;

С5=0; C6=0.

Получаю следующие уравнения проекций скорости камня:

x= υв∙cosα; y= gt + υвsinα;

и уравнения его движения:

x= υв∙cosα∙t; y= gt²/ 2 + υвsinα∙t;

Уравнение движение камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:

y =gx ²/(2 υв² ∙cos²α ) + x ∙tgα

В момент падения y=h, x=d.

h =g d ²/(2 υв² ∙cos²α ) + d ∙tgα

h=1,12+ 1,47=2,59 (м)

Используя уравнения движения камня x= υв∙cosα∙t, найдем время Т движения камня от точки В до точки С:

Т=d/ υв∙cosα

T=0,47c.

Ответ h=2,59м и T=0,47c


Скачать файл (465 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации