Лекции по УРиРТС
скачать (1664.3 kb.)
Доступные файлы (6):
Лекции 11-15F.doc | 661kb. | 21.06.2005 14:07 | ![]() |
Лекции-1-5F.doc | 499kb. | 23.06.2005 15:29 | ![]() |
Лекции 16-20F.doc | 699kb. | 07.02.2005 16:23 | ![]() |
Лекции 21-25F.doc | 467kb. | 07.02.2005 16:31 | ![]() |
Лекции 6-10F.doc | 1012kb. | 21.06.2005 14:03 | ![]() |
Лекция 26-30F.doc | скачать |
содержание
- Смотрите также:
- Общее языкознание и теория межкультурной культурной коммуникации [ лекция ]
- Электронные лекции по истории древнего мира [ лекция ]
- по природопользованию [ лекция ]
- по социальной работе [ документ ]
- по Буровзрывным работам (для получения ЕКВ) [ лекция ]
- по энергосбережению [ документ ]
- Автомобили (конструкция) [ документ ]
- Процессы открытых горных работ [ лекция ]
- Экономическая география [ лекция ]
- по международному маркетингу [ лекция ]
- Лекции: Реализация моделей безопасности в ос на базе ядра Linux. Базовые принципы работы системы безопасности selinux. Тема Режимы и логгирование (лекции и практиче [ документ ]
- по вычислительной математике [ лекция ]
Лекции 11-15F.doc
ЛЕКЦИЯ 11
Уравнения Ньютона-Эйлера
В предыдущих лекциях с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения манипулятора. С вычислительной точки зрения применение этих уравнений представляет большие трудности при решении задачи в реальном времени. Для обеспечения управления в реальном времени была разработана модель динамики движения манипулятора, не учитывающая кориолисовы и центробежные силы. При быстром движении манипулятора ошибки в реализуемых силах и моментах, обусловленные неучетом центробежных и кариолисовых сил, не удается компенсировать за счёт управления с обратной связью из-за слишком больших величин требуемых для этого корректирующих моментов.
Для упрощения вычислений пользуются формулой Ньютона-Эйлера, в основе которых лежит второй закон Ньютона.
Для вывода этих уравнений обратимся к подвижной системе координат.
Вращающиеся системы координат

Рисунок 11.1. Вращающаяся система координат
Рассмотрим две системы координат (рис. 11.1):








Пусть







Найдём скорость точки r. Поскольку обе системы координат взаимно вращаются, скорость точки r(t) будут различны в этих системах. Примем, что



координат

Тогда из выражения (11-1) получаем скорость точки r(t) в системе координат


Дифференцируя равенство (11-2), получаем скорость точки r(t) в системе координат


(11-6)
С учетом равенств (11-2) и (11-6) получим следующее выражение для скорости точки r(t) в системе координат


(11-7)
Здесь трудно вычислить производные



Чтобы найти соотношения между скоростями точки r в неподвижной и вращающейся системах координат, предположим, что система


Угловая скорость вращения системы



Рисунок 11.2. Скорость во вращающейся системе координат
Скорость точки, положение которой задаётся вектором s в системе координат


Поскольку производная вектора определяется равенством:

справедливость выражения (7-8) можно доказать, убедившись, что:

Поскольку равенство векторов обеспечивается совпадением их длин и направлений, векторы в левой и правой частях равенства (11-10) одинаковы по величине и их направления совпадают. Длина вектора


Если величина


Следовательно, длина векторов в левой и правой частях равенства (11-10) равны. В соответствии с определением векторного произведения вектор

Применив формулу (11-8) к единичным векторам


Это основное соотношение, определяющие связь между скоростями одной и той же точки во вращающейся и неподвижной системах координат. Продифференцировав левую и правую части равенства (11-13), получим:

Равенство (11-14) представляет собой теорему Кориолиса. Первое слагаемое в правой части – ускорение точки в системе

Лекция 12
Подвижные системы координат
Подвижные системы координат могут участвовать как во вращательном, так и в поступательном движениях относительно некоторой неподвижной инерциальной системы координат. На рис. 12.1 изображена подвижная система координат






Рисунок 12.1. Подвижная система координат
Соотношения между векторами r и r* даётся выражением (см. рис. 12.1):

Если система координат



где






С учетом равенства (11-13) выражение (12-2) представим:

Аналогично ускорение точки р в системе координат


где







С учетом (11-14) равенство (12-4) можно представить в виде:

Полученные соотношения для подвижных систем координат применима к системам координат звеньев манипулятора.
^
Выведем уравнения, основывающиеся на полученных ранее соотношениях для подвижной системы координат и описывающие кинематику звеньев манипулятора в базовой системе координат.
Известно, что ортонормированная система координат


Рисунок 12.2. Взаимосвязь систем координат,
имеющих начала в точках 0, 0* и 0'
Системы координат




Предположим, что система координат













где







Пользуясь равенством (11-13), находим угловое ускорение системы координат



В результате равенство (12-9) можно представить в следующем виде:

Как уже говорилось, системы координат









Таким образом,

Здесь



С учетом равенств (12-12) и (12-13) формулы (12-7) и (12-11) могут быть представлены в следующем виде:


С учетом равенства (11-8) линейные скорость и ускорение i-го звена относительно



(12-17)
Используя равенства (12-16) и (12-7), выражение (12-6) для линейной скорости i-го звена относительно базовой системы координат можно представить в виде:

Выражение (12-8) для линейного ускорения i-го звена относительно базовой системы координат с учетом следующих свойств векторного произведения:


и равенств (12-12) – (12-17) преобразуется к виду:

Заметим, что

Лекция 13
Рекуррентные уравнения динамики манипулятора

[Рекурретный (recurrens) – возвращающийся]. Рекуррентные уравнения – уравнения приведения, сводящие вычисления n-го члена последовательности к вычислению нескольких предыдущих ее членов.
Основываясь на полученных выше кинематических соотношениях, воспользуемся принципом Д'Аламбера для вывода уравнений динамики движения манипулятора. Принцип Д'Аламбера позволяет применить известные условия статического равновесия к задачам динамики за счет рассмотрения (наряду с внешними действующими на механическую систему силами) сил инерции, препятствующих движению. Принцип Д'Аламбера выполняется для механической системы в любой момент времени. По сути это несколько модифицированный второй закон Ньютона, формулируемый следующим образом:
«Алгебраическая сумма внешних сил и сил инерции, действующих на тело в любом направлении, равна нулю».
Рассмотрим i-е звено (рис. 8.1). Пусть точка О' совпадает с центром масс этого звена. Устанавливая соответствие между рис. 11.4 и 13.1, введем следующие обозначения (все векторы заданы в базовой системе координат):

Рисунок 13.1. Силы и моменты, действующие на i-е звено



системы координат


начала




i-го звена;

звену;

масс в базовой системе координат



системе координат



звено в системе координат

Пренебрегая силами трения в сочленениях, применив принцип Д'Аламбера к i-му звену, получаем:


Входящие в эти формулы линейные скорость и ускорение центра масс i-го звена в соответствии с равенствами (12-32) и (12-35) определяются выражениями:


Суммарная сила






Эти уравнения можно представить в рекуррентной форме, воспользовавшись тем, что:


Полученными уравнениями, имеющими рекуррентную форму, можно воспользоваться для вычисления сил и моментов















где

Если основание манипулятора закреплено на платформе и 0-е звено неподвижно, то




Таким образом, для исследователя существует возможность выбора одной из трех следующих форм представления уравнений движения манипулятора:
удобная для анализа, но неэффективная в вычислительном плане форма Лагранжа-Эйлера;
эффективная с вычислительной точки зрения, но малопригодной для анализа форма Ньютона-Эйлера;
достаточно удобные для анализа при умеренных вычислительных затратах обобщенные уравнения Д'Аламбера.
Лекция 14
Планирование траекторий манипулятора
Планирование траекторий движения манипулятора – это задача выбора закона управления, обеспечивающего движение манипулятора вдоль некоторой заданной траектории. Перед началом движения манипулятора важно знать:
существуют ли на его пути какие-либо препятствия;
накладываются ли какие-либо ограничения на траекторию схвата.
В зависимости от ответов на эти вопросы выбирается один из четырех типов управления манипулятором (табл. 14.1).
Таблица 14.1. Типы управления манипулятором
| ^ | ||
Присутствуют | Отсутствуют | ||
^ | Присутствуют | I. Автономное планирование траектории, обеспечиваю-щее обход препятствий, плюс регулирование дви-жения вдоль выбранной траектории в процессе работы манипулятора | II. Автономное плани-рование траектории плюс регулирование движения вдоль выб-ранной траектории в процессе работы манипулятора |
Отсутствуют | III. Позиционное управление плюс обнаружение и обход препятствий в процессе движения | IV. Позиционное управление |
Рассмотрим планирование траектории манипулятора при отсутствии препятствий (II и IV тип). Задача состоит в разработке математического аппарата для выбора и описания желаемого движения манипулятора между начальной и конечной точками траектории.
При планировании траекторий обычно применяется один из двух подходов:
Задается точный набор ограничений (например, непрерывность и гладкость) на положение, скорость и ускорение обобщенных координат манипулятора в некоторых (называемых узловыми) точках траектории. Планировщик траекторий после этого выбирает из некоторого класса функций (как правило, среди многочленов, степень которых не превышает некоторое заданное n) функцию, проходящую через узловые точки и удовлетворяющую в них заданным ограничениям. Определение ограничений и планирование траектории производится в присоединенных координатах.
Задается желаемая траектория манипулятора в виде некоторой аналитически описываемой функции, как, например, прямолинейную траекторию в декартовых координатах. Планировщик производит аппроксимацию заданной траектории в присоединенных или декартовых координатах.
Планирование в присоединенных переменных обладает тремя преимуществами:
задается поведение переменных, непосредственно управляемых в процессе движения манипулятора;
планирование траектории может осуществляться в реальном времени;
траектории в присоединенных переменных легче планировать.
Должны быть сведены к минимуму бесполезные движения типа «блуждания».

Рисунок 14.1. Блок-схема планировщика траекторий
Недостаток – сложность определения положения звеньев и схвата в процессе движения. Это необходимо для предотвращения столкновения с препятствием.
В общем случае основной алгоритм формирования узловых точек траектории в пространстве присоединенных переменных весьма прост:

цикл: ждать следующего момента коррекции;


в момент времени

Если

Выполнить цикл.
Здесь

Из алгоритма видно, что все вычисления производятся для определения траекторной функции

На планируемую траекторию накладывается четыре ограничения:
Узловые точки должны легко вычисляться нерекуррентным способом.
Промежуточные положения должны определяться однозначно.
Должна быть обеспечена непрерывность присоединенных координат и их двух первых производных, чтобы планируемая траектория в пространстве присоединенных переменных была гладкой.
Перечисленным ограничениям удовлетворяют траектории, описываемые последовательностями полиномов.
В общем случае планирование траекторий в декартовых координатах состоит из двух последовательных шагов:
формирование последовательности узловых точек в декартовом пространстве, расположенных вдоль планируемой траектории схвата;
выбор некоторого класса функций, аппроксимирующих участки траектории между узловыми точками в соответствии с некоторым критерием (например, прямые, дуги круга, параболы и т.п.).
Первый подход позволяет обеспечить высокую точность движения вдоль заданной траектории. Однако, при отсутствии датчиков положения схвата в декартовых координатах, для перевода декартовых координат в присоединенные требуется большое количество вычислений, что замедляет время движения манипулятора. Поэтому используется второй подход – декартовы координаты узловых точек преобразуются в соответствующие присоединенные координаты с последующим проведением интерполяции в пространстве присоединенных переменных полиномами низкой степени. Это сокращает вычисления и позволяет учесть ограничения динамики манипулятора. Но точность движения снижается.
^
присоединенных переменных
Планирование сглаженных траекторий в пространстве присоединенных переменных следует проводить с учетом следующих соображений:
В момент поднятия объекта манипулирования движение схвата должно быть направлено от объекта;
Допустимое движение ухода задается на нормали к поверхности, на которой расположен объект, траектория схвата должна проходить через эту точку.
Для участка подхода к заданному конечному положению: схват должен пройти через точку подхода, расположенную на нормали к поверхности, на которую должен быть помещен объект манипулирования.
Траектория движения манипулятора должна проходить через четыре заданные точки: начальную точку, точку ухода, точку подхода и конечную точку (рис. 9.2).
На траекторию накладываются условия:
начальная точка: заданы скорость и ускорение (обычно нулевые);
точки ухода: непрерывность положения, скорости и ускорения;
точка подхода: непрерывность положения, скорости и ускорения;
конечная точка: заданы скорость и ускорение (обычно нулевые).
Значения присоединенных координат должны лежать в пределах физических и геометрических ограничений каждого из сочленений манипулятора.
При определении времени движения необходимо учесть:
время прохождения начального и конечного участков траектории выбираются с учетом требуемой скорости подхода и ухода схвата, и представляет собой некоторую константу, зависящую от характеристик силовых приводов сочленений
время движения по среднему участку траектории определяется максимальными значениями присоединенных скоростей и ускорений каждого сочленения.

Рисунок 14.2. Ограничения по положению для траектории в пространстве присоединенных переменных
Для проведения интерполяции траектории по заданным узловым точкам нужно выбрать полиномную функцию степени не выше n.
Например, описание i–го сочленения полиномом седьмой степени:

в котором неизвестные коэффициенты

Например, траектория изменения каждой присоединенной переменной разбивается на три участка (4-3-4). Первый участок, задающий движение между начальной точкой и точкой ухода, описывается полиномом четвертой степени. Второй (средний) участок – между точкой ухода и точкой подхода – описывается полиномом третьей степени. Последний участок – полиномом четвертой степени.
^
Для определения N траекторий присоединенных переменных для каждого участка траектории, воспользуемся нормированием времени

Обозначения:
t– нормированное время,




прохождение i–го участка траектории;



Траектория движения j–й присоединенной переменной задается в виде последовательности полиномов




где i–й коэффициент j–го участка траектории рассматриваемой присоединенной переменной.
Граничные условия выбранной системы полиномов:
Начальное положение =.
Значение начальной скорости =(обычно нулевое).
Значение реального ускорения =(обычно нулевое)
Положение в точке ухода =.
Непрерывность по положению в момент, т.е.
.
Непрерывность по скорости в момент, т.е.
.
Непрерывность по ускорению в момент, т.е.
.
Положение в точке =.
Непрерывность по положению в момент, т.е.
.
Непрерывность по скорости в момент, т.е.
.
Непрерывность по ускорению в момент, т.е.
.
Конечное положение =
Значение конечной скорости =(обычно нулевое).
Значение конечного ускорения =(обычно нулевое).
Лекция 15
Граничные условия для 4-3-4-траекторий
Граничные условия для 4-3-4-траекторий показаны на рис. 15.1.

Рисунок 15.1. Граничные условия для 4-3-4-траектории в пространстве присоединенных переменных
Первую и вторую производные рассматриваемых полиномов относительно реального времени можно представить в следующем виде:




Для писания первого участка траектории используется полином четвертой степени:




Для t=0 (начальная точка данного участка траектории). Из граничных условий в этой точке следует:



Отсюда имеем


что позволяет получить

Подставляя найденные значения коэффициентов в равенство (15-3), получим:


2. Для t=1 (конечная точка данного участка траектории). На этом участке действует условие непрерывности по скорости и ускорению, т.е. скорость и ускорение в конце первого участка траектории должны совпадать со скоростью и ускорением в начале второго участка. В конце первого участка скорость и ускорение соответственно равны:


Для описания второго участка траектории используется полином третьей степени:


Для t=0 (точка ухода). Пользуясь равенствами (9-5) и (9-6) в этой точке, имеем:


Отсюда следует


и, следовательно,

Поскольку скорость и ускорение в этой точке должны совпадать соответственно со скоростью и ускорением в конечной точке предыдущего участка траектории, то должны выполняться равенства:


которые соответственно приводят к следующим условиям:

или

и

или

Для t=1 (точка подхода). В этой точке скорость и ускорение должны совпасть со скоростью и ускорением в начальной точке следующего участка траектории. Для рассматриваемой точки имеем:



Для описания последнего участка траектории используется полином четвертой степени:


Если в этом равенстве заменить t на







Пользуясь равенствами (10-1) и (10-2), найдем скорость и ускорение на последнем участке:


Для(конечная точка рассматриваемого участка траектории). В соответствии с граничными условиями в этой точке имеем:


Отсюда следует:

Далее,

и, следовательно

Для(начальная точка последнего участка траектории). Условия непрерывности скорости и ускорения в точке подхода записываются следующим образом:


или

и

Приращение присоединенной переменной на каждом участке траектории можно найти по следующим формулам:



Все неизвестные коэффициенты в полиномах, описывающих изменение присоединенной переменной, могут быть определены путем совместного решения уравнений (15-35), (15-18), (15-20), (15-37), (15-33) и (15-38). Подставляя эту систему уравнений в матричной форме получим:

где



Таким образом, задача планирования траектории (для каждой присоединенной переменной) сводится к решению векторного уравнения (10-39):

или

Структура матрицы С позволяет легко найти неизвестные коэффициенты. После определения коэффициентов производим обратную замену, состоящую в подстановке



Скачать файл (1664.3 kb.)