Лекции по УРиРТС - файл Лекции 11-15F.doc

Лекции по УРиРТС
скачать (1664.3 kb.)

Доступные файлы (6):

Лекции 11-15F.doc	661kb.	21.06.2005 14:07	скачать
Лекции-1-5F.doc	499kb.	23.06.2005 15:29	скачать
Лекции 16-20F.doc	699kb.	07.02.2005 16:23	скачать
Лекции 21-25F.doc	467kb.	07.02.2005 16:31	скачать
Лекции 6-10F.doc	1012kb.	21.06.2005 14:03	скачать
Лекция 26-30F.doc			скачать

содержание

---

Смотрите также:
• Общее языкознание и теория межкультурной культурной коммуникации [ лекция ]
• Электронные лекции по истории древнего мира [ лекция ]
• по природопользованию [ лекция ]
• по социальной работе [ документ ]
• по Буровзрывным работам (для получения ЕКВ) [ лекция ]
• по энергосбережению [ документ ]
• Автомобили (конструкция) [ документ ]
• Процессы открытых горных работ [ лекция ]
• Экономическая география [ лекция ]
• по международному маркетингу [ лекция ]
• Лекции: Реализация моделей безопасности в ос на базе ядра Linux. Базовые принципы работы системы безопасности selinux. Тема Режимы и логгирование (лекции и практиче [ документ ]
• по вычислительной математике [ лекция ]

Лекции 11-15F.doc

ЛЕКЦИЯ 11


Уравнения Ньютона-Эйлера


В предыдущих лекциях с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения манипулятора. С вычислительной точки зрения применение этих уравнений представляет большие трудности при решении задачи в реальном времени. Для обеспечения управления в реальном времени была разработана модель динамики движения манипулятора, не учитывающая кориолисовы и центробежные силы. При быстром движении манипулятора ошибки в реализуемых силах и моментах, обусловленные неучетом центробежных и кариолисовых сил, не удается компенсировать за счёт управления с обратной связью из-за слишком больших величин требуемых для этого корректирующих моментов.

Для упрощения вычислений пользуются формулой Ньютона-Эйлера, в основе которых лежит второй закон Ньютона.

Для вывода этих уравнений обратимся к подвижной системе координат.


Вращающиеся системы координат



Рисунок 11.1. Вращающаяся система координат


Рассмотрим две системы координат (рис. 11.1): - неподвижная инерционная система координат, - вращающаяся система координат. Начала этих координат совпадают и расположены в точке О, а оси , , вращаются относительно осей , , .

Пусть и - тройки единичных векторов, направленных вдоль основных осей систем и соответственно. Положение точки r, неподвижной относительно системы координат , можно описать следующими двумя способами:

, (11-1)


. (11-2)


Найдём скорость точки r. Поскольку обе системы координат взаимно вращаются, скорость точки r(t) будут различны в этих системах. Примем, что - скорость в неподвижной системе координат ; (11-3)


- скорость в подвижной вращающейся системе

координат . (11-4)


Тогда из выражения (11-1) получаем скорость точки r(t) в системе координат :

. (11-5)


Дифференцируя равенство (11-2), получаем скорость точки r(t) в системе координат :

.

(11-6)


С учетом равенств (11-2) и (11-6) получим следующее выражение для скорости точки r(t) в системе координат :

.

(11-7)


Здесь трудно вычислить производные , в связи с тем что векторы вращаются относительно векторов .

Чтобы найти соотношения между скоростями точки r в неподвижной и вращающейся системах координат, предположим, что система вращается вокруг некоторой оси OQ, проходящей через точку О с угловой скоростью (рис. 11.2).

Угловая скорость вращения системы представляет собой по определению вектор длины , направленный вдоль оси OQ в соответствии с правилом правой руки.



Рисунок 11.2. Скорость во вращающейся системе координат


Скорость точки, положение которой задаётся вектором s в системе координат равна:

. (11-8)

Поскольку производная вектора определяется равенством:

, (11-9)

справедливость выражения (7-8) можно доказать, убедившись, что:

. (11-10)

Поскольку равенство векторов обеспечивается совпадением их длин и направлений, векторы в левой и правой частях равенства (11-10) одинаковы по величине и их направления совпадают. Длина вектора равна:

. (11-11)

Если величина достаточно мала, то из рис. 11.2 очевидно, что:

. (11-12)

Следовательно, длина векторов в левой и правой частях равенства (11-10) равны. В соответствии с определением векторного произведения вектор перпендикулярен вектору s и лежит в плоскости окружности (рис. 11.2).

Применив формулу (11-8) к единичным векторам из равенства (11-7), получаем:

. (11-13)


Это основное соотношение, определяющие связь между скоростями одной и той же точки во вращающейся и неподвижной системах координат. Продифференцировав левую и правую части равенства (11-13), получим:

(11-14)

Равенство (11-14) представляет собой теорему Кориолиса. Первое слагаемое в правой части – ускорение точки в системе . Второе слагаемое описывает кориолисово ускорение. Третье слагаемое – центростремительное ускорение, направленное к оси вращения и перпендикулярное ей. Четвёртое слагаемое исчезает при постоянной угловой скорости.

Лекция 12


Подвижные системы координат


Подвижные системы координат могут участвовать как во вращательном, так и в поступательном движениях относительно некоторой неподвижной инерциальной системы координат. На рис. 12.1 изображена подвижная система координат , которая совершает вращательное и поступательное движения относительно инерциальной системы координат . Положение материальной точки р, обладающей масcой m, относительно систем координат и задается векторами r и r^* соответственно. Положение точки О^* в системе координат определяется вектором h.



Рисунок 12.1. Подвижная система координат


Соотношения между векторами r и r^* даётся выражением (см. рис. 12.1):

. (12-1)

Если система координат движется относительно системы , то:

, (12-2)

где и - скорости точки р в системах координат и соответственно, а - скорость точки 0^* в системе координат .

С учетом равенства (11-13) выражение (12-2) представим:

. (12-3)

Аналогично ускорение точки р в системе координат :

, (12-4)

где и - ускорения точки р в системах координат и соответственно, а - ускорение системы координат в инерциальной системе координат .

С учетом (11-14) равенство (12-4) можно представить в виде:

. (12-5)

Полученные соотношения для подвижных систем координат применима к системам координат звеньев манипулятора.


^ Кинематика звеньев


Выведем уравнения, основывающиеся на полученных ранее соотношениях для подвижной системы координат и описывающие кинематику звеньев манипулятора в базовой системе координат.

Известно, что ортонормированная система координат связана с осью i-го сочленения (рис. 12.2).



Рисунок 12.2. Взаимосвязь систем координат,

имеющих начала в точках 0, 0^* и 0'


Системы координат и связаны с -м и i-м звеньями и имеют начала в точках 0^* и 0' соответственно. Положение точек 0' и 0^* в базовой системе координат определяется векторами р_i и р_i-1 соответственно. Относительное положение точек 0' и 0^* характеризуется в базовой системе координат вектором .

Предположим, что система координат имеет относительно базовой системы координат линейную скорость и угловую скорость . Пусть и - угловые скорости точки 0' в системах координат и соответственно. Тогда линейная скорость и угловая скорость координат относительно базовой системы координат с учетом равенства (12-3) определяются выражениями:

, (12-6)

, (12-7)

где означает скорость в движущейся системе координат . Линейное ускорение и угловое ускорение системы координат относительно базовой системы координат с учетом равенства (12-5) определяются выражениями:

(12-8)

(12-9)

Пользуясь равенством (11-13), находим угловое ускорение системы координат относительно системы координат :

. (12-10)

В результате равенство (12-9) можно представить в следующем виде:

. (12-11)

Как уже говорилось, системы координат и в соответствии с алгоритмом формирования систем координат звеньев манипулятора связаны с -м и i-м звеньями соответственно. Если i-е сочленение – поступательное, то i-е звено совершает поступательное движение вдоль оси со скоростью относительно -го звена. Если i-е сочленение – вращательное, то i-е звено вращается вокруг оси с угловой скоростью относительно -го звена.

Таким образом,

. (12-12)

Здесь - величина угловой скорости вращения i-го звена относительно системы координат . Аналогично:

. (12-13)

С учетом равенств (12-12) и (12-13) формулы (12-7) и (12-11) могут быть представлены в следующем виде:

; (12-14)

.(12-15)

С учетом равенства (11-8) линейные скорость и ускорение i-го звена относительно -го можно представить в следующем виде:

. (12-16)

.

(12-17)

Используя равенства (12-16) и (12-7), выражение (12-6) для линейной скорости i-го звена относительно базовой системы координат можно представить в виде:

.(12-18)

Выражение (12-8) для линейного ускорения i-го звена относительно базовой системы координат с учетом следующих свойств векторного произведения:

, (12-19)

(12-20)

и равенств (12-12) – (12-17) преобразуется к виду:

(12-35)

Заметим, что , если i-е сочленение – поступательное. Равенства (12-14), (12-15), (12-18) и (12-21), описывающие кинематику движения i-го звена, потребуется нам при выводе уравнений динамики манипулятора.


Лекция 13


Рекуррентные уравнения динамики манипулятора




[Рекурретный (recurrens) – возвращающийся]. Рекуррентные уравнения – уравнения приведения, сводящие вычисления n-го члена последовательности к вычислению нескольких предыдущих ее членов.


Основываясь на полученных выше кинематических соотношениях, воспользуемся принципом Д'Аламбера для вывода уравнений динамики движения манипулятора. Принцип Д'Аламбера позволяет применить известные условия статического равновесия к задачам динамики за счет рассмотрения (наряду с внешними действующими на механическую систему силами) сил инерции, препятствующих движению. Принцип Д'Аламбера выполняется для механической системы в любой момент времени. По сути это несколько модифицированный второй закон Ньютона, формулируемый следующим образом:

«Алгебраическая сумма внешних сил и сил инерции, действующих на тело в любом направлении, равна нулю».

Рассмотрим i-е звено (рис. 8.1). Пусть точка О' совпадает с центром масс этого звена. Устанавливая соответствие между рис. 11.4 и 13.1, введем следующие обозначения (все векторы заданы в базовой системе координат):



Рисунок 13.1. Силы и моменты, действующие на i-е звено


- масса i-го звена;

- положение центра масс i-го звена в базовой системе координат;

- положение центра масс i-го звена относительно начала

системы координат ;

- положение начала i-й системы координат относительно

начала -й системы координат;

- линейная скорость центра масс i-го звена;

- линейное ускорение центра масс i-го звена;

-суммарная внешняя сила, приложенная к центру масс

i-го звена;

-суммарный момент внешних сил, приложенных к i-му

звену;

- матрица инерции i-го звена относительно его центра

масс в базовой системе координат;

- сила, с которой -е звено действует на i-е звено в

системе координат ;

- момент, вызванный действием -го звена на i-е

звено в системе координат .

Пренебрегая силами трения в сочленениях, применив принцип Д'Аламбера к i-му звену, получаем:

, (13-1)

. (13-2)

Входящие в эти формулы линейные скорость и ускорение центра масс i-го звена в соответствии с равенствами (12-32) и (12-35) определяются выражениями:

, (13-3)

. (13-4)

Суммарная сила и момент , приложенные к i-му звену, обусловлены действием на него силы тяжести, а также сил со стороны соседних -го и -го звеньев. Таким образом:

, (13-5)

(13-6)

Эти уравнения можно представить в рекуррентной форме, воспользовавшись тем, что:

, (13-7)

. (13-8)

Полученными уравнениями, имеющими рекуррентную форму, можно воспользоваться для вычисления сил и моментов , действующих на звенья n-звенного манипулятора. Для этого достаточно учесть, что и представляют собой соответственно силу и момент, с которыми объект манипулирования действует на схват манипулятора. Момент, создаваемый приводом i-го сочленения, должен быть равен сумме проекции момента на ось и момента вязкого трения в i-м сочленении (если сочленение – вращательное). Если же i-е сочленение – поступательное, оно реализует смещение на единиц длины относительно системы координат вдоль оси . В этом случае сила , создаваемая в этом сочленении, должна быть равна в системе координат сумме проекции силы на ось и силы вязкого трения. Таким образом, момент (сила) , создаваемый приводом i-го сочленения, определяется формулой:


, (13-9)

где - коэффициент вязкого трения в i-м сочленении.

Если основание манипулятора закреплено на платформе и 0-е звено неподвижно, то , , и с учетом силы тяжести:

, где . (13-10)

Таким образом, для исследователя существует возможность выбора одной из трех следующих форм представления уравнений движения манипулятора:

1. 
   удобная для анализа, но неэффективная в вычислительном плане форма Лагранжа-Эйлера;
   
2. 
   эффективная с вычислительной точки зрения, но малопригодной для анализа форма Ньютона-Эйлера;
   
3. 
   достаточно удобные для анализа при умеренных вычислительных затратах обобщенные уравнения Д'Аламбера.
   

Лекция 14


Планирование траекторий манипулятора


Планирование траекторий движения манипулятора – это задача выбора закона управления, обеспечивающего движение манипулятора вдоль некоторой заданной траектории. Перед началом движения манипулятора важно знать:

1. 
   существуют ли на его пути какие-либо препятствия;
   
2. 
   накладываются ли какие-либо ограничения на траекторию схвата.
   

В зависимости от ответов на эти вопросы выбирается один из четырех типов управления манипулятором (табл. 14.1).


Таблица 14.1. Типы управления манипулятором

		^ Препятствия на пути манипулятора
		Присутствуют	Отсутствуют
^ Ограничения на траекторию манипулятора	Присутствуют	I. Автономное планирование траектории, обеспечиваю-щее обход препятствий, плюс регулирование дви-жения вдоль выбранной траектории в процессе работы манипулятора	II. Автономное плани-рование траектории плюс регулирование движения вдоль выб-ранной траектории в процессе работы манипулятора
	Отсутствуют	III. Позиционное управление плюс обнаружение и обход препятствий в процессе движения	IV. Позиционное управление

Рассмотрим планирование траектории манипулятора при отсутствии препятствий (II и IV тип). Задача состоит в разработке математического аппарата для выбора и описания желаемого движения манипулятора между начальной и конечной точками траектории.

При планировании траекторий обычно применяется один из двух подходов:

1. 
   Задается точный набор ограничений (например, непрерывность и гладкость) на положение, скорость и ускорение обобщенных координат манипулятора в некоторых (называемых узловыми) точках траектории. Планировщик траекторий после этого выбирает из некоторого класса функций (как правило, среди многочленов, степень которых не превышает некоторое заданное n) функцию, проходящую через узловые точки и удовлетворяющую в них заданным ограничениям. Определение ограничений и планирование траектории производится в присоединенных координатах.
   
2. 
   Задается желаемая траектория манипулятора в виде некоторой аналитически описываемой функции, как, например, прямолинейную траекторию в декартовых координатах. Планировщик производит аппроксимацию заданной траектории в присоединенных или декартовых координатах.
   

Планирование в присоединенных переменных обладает тремя преимуществами:

1. 
   задается поведение переменных, непосредственно управляемых в процессе движения манипулятора;
   
2. 
   планирование траектории может осуществляться в реальном времени;
   
3. 
   траектории в присоединенных переменных легче планировать.
   
4. 
   Должны быть сведены к минимуму бесполезные движения типа «блуждания».
   

Рисунок 14.1. Блок-схема планировщика траекторий


Недостаток – сложность определения положения звеньев и схвата в процессе движения. Это необходимо для предотвращения столкновения с препятствием.

В общем случае основной алгоритм формирования узловых точек траектории в пространстве присоединенных переменных весьма прост:

;

цикл: ждать следующего момента коррекции;

;

=заданное положение манипулятора в пространстве присоединенных переменных

в момент времени ;

Если , выйти из процедуры;

Выполнить цикл.

Здесь – интервал времени между двумя последовательными моментами коррекции параметров движения манипулятора.

Из алгоритма видно, что все вычисления производятся для определения траекторной функции , которая должна обновляться в каждой точке коррекции параметров движения манипулятора.

На планируемую траекторию накладывается четыре ограничения:

1. 
   Узловые точки должны легко вычисляться нерекуррентным способом.
   
2. 
   Промежуточные положения должны определяться однозначно.
   
3. 
   Должна быть обеспечена непрерывность присоединенных координат и их двух первых производных, чтобы планируемая траектория в пространстве присоединенных переменных была гладкой.
   
4. 
   
   

Перечисленным ограничениям удовлетворяют траектории, описываемые последовательностями полиномов.

В общем случае планирование траекторий в декартовых координатах состоит из двух последовательных шагов:

1. 
   формирование последовательности узловых точек в декартовом пространстве, расположенных вдоль планируемой траектории схвата;
   
2. 
   выбор некоторого класса функций, аппроксимирующих участки траектории между узловыми точками в соответствии с некоторым критерием (например, прямые, дуги круга, параболы и т.п.).
   

Первый подход позволяет обеспечить высокую точность движения вдоль заданной траектории. Однако, при отсутствии датчиков положения схвата в декартовых координатах, для перевода декартовых координат в присоединенные требуется большое количество вычислений, что замедляет время движения манипулятора. Поэтому используется второй подход – декартовы координаты узловых точек преобразуются в соответствующие присоединенные координаты с последующим проведением интерполяции в пространстве присоединенных переменных полиномами низкой степени. Это сокращает вычисления и позволяет учесть ограничения динамики манипулятора. Но точность движения снижается.


^ Сглаженные траектории в пространстве

присоединенных переменных


Планирование сглаженных траекторий в пространстве присоединенных переменных следует проводить с учетом следующих соображений:

1. 
   В момент поднятия объекта манипулирования движение схвата должно быть направлено от объекта;
   
2. 
   Допустимое движение ухода задается на нормали к поверхности, на которой расположен объект, траектория схвата должна проходить через эту точку.
   
3. 
   Для участка подхода к заданному конечному положению: схват должен пройти через точку подхода, расположенную на нормали к поверхности, на которую должен быть помещен объект манипулирования.
   
4. 
   Траектория движения манипулятора должна проходить через четыре заданные точки: начальную точку, точку ухода, точку подхода и конечную точку (рис. 9.2).
   
5. 
   На траекторию накладываются условия:
   
   1. 
      начальная точка: заданы скорость и ускорение (обычно нулевые);
      
   2. 
      точки ухода: непрерывность положения, скорости и ускорения;
      
   3. 
      точка подхода: непрерывность положения, скорости и ускорения;
      
   4. 
      конечная точка: заданы скорость и ускорение (обычно нулевые).
      
6. 
   Значения присоединенных координат должны лежать в пределах физических и геометрических ограничений каждого из сочленений манипулятора.
   
7. 
   При определении времени движения необходимо учесть:
   
   1. 
      время прохождения начального и конечного участков траектории выбираются с учетом требуемой скорости подхода и ухода схвата, и представляет собой некоторую константу, зависящую от характеристик силовых приводов сочленений
      
   2. 
      время движения по среднему участку траектории определяется максимальными значениями присоединенных скоростей и ускорений каждого сочленения.
      

Рисунок 14.2. Ограничения по положению для траектории в пространстве присоединенных переменных


Для проведения интерполяции траектории по заданным узловым точкам нужно выбрать полиномную функцию степени не выше n.

Например, описание i–го сочленения полиномом седьмой степени:

, (14-1)


в котором неизвестные коэффициенты определяются из заданных граничных условий и условий непрерывности. Однако полином такой высокой степени трудно вычислить. Нужно разбить траекторию движения на несколько участков и интерполировать каждый участок полиномом низкой степени.

Например, траектория изменения каждой присоединенной переменной разбивается на три участка (4-3-4). Первый участок, задающий движение между начальной точкой и точкой ухода, описывается полиномом четвертой степени. Второй (средний) участок – между точкой ухода и точкой подхода – описывается полиномом третьей степени. Последний участок – полиномом четвертой степени.


^ Расчет 4-3-4 - траектории


Для определения N траекторий присоединенных переменных для каждого участка траектории, воспользуемся нормированием времени . Нормированное время изменяется от t=0 (начальный момент каждого участка) до t=1 (конечный момент каждого участка).

Обозначения:

t– нормированное время, ;

- реальное время (сек);

- момент окончания i–го участка траектории;

-интервал реального времени, затраченного на

прохождение i–го участка траектории;

.

Траектория движения j–й присоединенной переменной задается в виде последовательности полиномов :

(1-й участок), (14-2)

(2-й участок) (14-3)

(последний участок), (14-4)

где i–й коэффициент j–го участка траектории рассматриваемой присоединенной переменной.

Граничные условия выбранной системы полиномов:

1. 
   Начальное положение = .
   
2. 
   Значение начальной скорости = (обычно нулевое).
   
3. 
   Значение реального ускорения = (обычно нулевое)
   
4. 
   Положение в точке ухода = .
   
5. 
   Непрерывность по положению в момент, т.е. .
   
6. 
   Непрерывность по скорости в момент , т.е. .
   
7. 
   Непрерывность по ускорению в момент , т.е. .
   
8. 
   Положение в точке = .
   
9. 
   Непрерывность по положению в момент , т.е. .
   
10. 
    Непрерывность по скорости в момент , т.е. .
    
11. 
    Непрерывность по ускорению в момент , т.е. .
    
12. 
    Конечное положение =
    
13. 
    Значение конечной скорости = (обычно нулевое).
    
14. 
    Значение конечного ускорения = (обычно нулевое).
    

Лекция 15


Граничные условия для 4-3-4-траекторий


Граничные условия для 4-3-4-траекторий показаны на рис. 15.1.



Рисунок 15.1. Граничные условия для 4-3-4-траектории в пространстве присоединенных переменных


Первую и вторую производные рассматриваемых полиномов относительно реального времени можно представить в следующем виде:

(15-1)

;

, (15-2)


.


Для писания первого участка траектории используется полином четвертой степени:

, . (15-3)

. (15-4)

. (15-5)

1. 
   Для t=0 (начальная точка данного участка траектории). Из граничных условий в этой точке следует:
   

, (15-6)

. (15-7)

Отсюда имеем и

, (15-8)

что позволяет получить .

Подставляя найденные значения коэффициентов в равенство (15-3), получим:

, . (15-9)

2. Для t=1 (конечная точка данного участка траектории). На этом участке действует условие непрерывности по скорости и ускорению, т.е. скорость и ускорение в конце первого участка траектории должны совпадать со скоростью и ускорением в начале второго участка. В конце первого участка скорость и ускорение соответственно равны:

, (15-10)

. (15-11)


Для описания второго участка траектории используется полином третьей степени:

, . (15-12)

1. 
   Для t=0 (точка ухода). Пользуясь равенствами (9-5) и (9-6) в этой точке, имеем:
   

, (15-13)

. (15-14)

Отсюда следует ,

(15-15)

и, следовательно, .

Поскольку скорость и ускорение в этой точке должны совпадать соответственно со скоростью и ускорением в конечной точке предыдущего участка траектории, то должны выполняться равенства:

и , (15-16)

которые соответственно приводят к следующим условиям:

, (15-17)

или

(15-18)

и , (15-20)

или . (15-21)

2. 
   Для t=1 (точка подхода). В этой точке скорость и ускорение должны совпасть со скоростью и ускорением в начальной точке следующего участка траектории. Для рассматриваемой точки имеем:
   

, (15-22)

, (15-23)

. (15-24)


Для описания последнего участка траектории используется полином четвертой степени:


, . (15-25)


Если в этом равенстве заменить t на и рассматривать зависимость от новой переменной , тем самым мы произведем сдвиг по нормированному времени: если переменная t изменяется на интервале , то переменная изменяется на интервале . Равенство (10-25) при этом примет вид:

, . (15-26)


Пользуясь равенствами (10-1) и (10-2), найдем скорость и ускорение на последнем участке:

, (15-27)


. (15-28)

1. 
   Для (конечная точка рассматриваемого участка траектории). В соответствии с граничными условиями в этой точке имеем:
   

, (15-29)

. (15-30)

Отсюда следует:

.

Далее,

(15-31)

и, следовательно

.

2. 
   Для (начальная точка последнего участка траектории). Условия непрерывности скорости и ускорения в точке подхода записываются следующим образом:
   

и , (15-32)

или

(15-33)

и

. (15-34)


Приращение присоединенной переменной на каждом участке траектории можно найти по следующим формулам:

, (15-35)

, (15-37)

. (15-38)

Все неизвестные коэффициенты в полиномах, описывающих изменение присоединенной переменной, могут быть определены путем совместного решения уравнений (15-35), (15-18), (15-20), (15-37), (15-33) и (15-38). Подставляя эту систему уравнений в матричной форме получим:


, (15-39)

где

(15-40)

, (15-41)

. (15-42)


Таким образом, задача планирования траектории (для каждой присоединенной переменной) сводится к решению векторного уравнения (10-39):

(15-43)

или

. (15-44)

Структура матрицы С позволяет легко найти неизвестные коэффициенты. После определения коэффициентов производим обратную замену, состоящую в подстановке в равенстве (15-26). Тогда получим:

(15-45)

.

---

Скачать файл (1664.3 kb.)

Поиск по сайту:  

---