Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по УРиРТС - файл Лекции 6-10F.doc


Загрузка...
Лекции по УРиРТС
скачать (1664.3 kb.)

Доступные файлы (6):

Лекции 11-15F.doc661kb.21.06.2005 14:07скачать
Лекции-1-5F.doc499kb.23.06.2005 15:29скачать
Лекции 16-20F.doc699kb.07.02.2005 16:23скачать
Лекции 21-25F.doc467kb.07.02.2005 16:31скачать
Лекции 6-10F.doc1012kb.21.06.2005 14:03скачать
Лекция 26-30F.docскачать

Лекции 6-10F.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...




Лекция 6

Уравнения кинематики манипулятора





Рисунок 6.1. Система координат схватa

Однородная матрица , определяющая положение i-й системы координат относительно базовой системы координат, представляет собой произведение последовательности однородных матриц преобразования i-1Ai и имеет вид:

0Ti= 0Ai 1Ai i-1Ai===для i=1, 2, …, n,

где - матрица, определяющая ориентацию i-й системы координат, связанной с i-м звеном, по отношению к базовой системе координат. Это верхняя левая подматрица , имеющая размерность 3×3.

рi- вектор, соединяющий начало базовой системы координат с началом i-й системы координат. Это верхняя правая подматрица матрицы , имеющая размерность 3×1. В частности, при i=6 мы получаем матрицу , которая задает положение и ориентацию схвата манипулятора относительно базовой системы координат. Эта матрица часто используется при описании кинематики манипулятора. Ее называют «матрицей манипулятора».

Положим, что матрица Т имеет следующий вид:

T====,

где n – вектор нормали к схвату. В случае плоскопараллельного движения пальцев этот вектор перпендикулярен пальцам манипулятора;

s – касательный вектор схвата. Он лежит в плоскости движения пальцев и указывает направление движения пальцев во время открытия или закрытия схвата;

a - вектор подхода схвата. Он направлен по нормали к ладони схвата, (т.е. перпендикулярно плоскости крепления инструмента в схвате);

p - вектор положения схвата. Этот вектор направлен из начала базовой системы координат к началу системы координат схвата, которое, как правило, расположено в точке, являющейся геометрическим центром полностью сжатых пальцев.

Если положение манипулятора в абсолютном пространстве определяется матрицей ^ B, а в схвате манипулятора зафиксирован инструмент, положение которого в системе координат схвата определяется матрицей H, то положение рабочего узла инструмента относительно абсолютной системы координат дается произведением матриц В, 0Т0 и Н, т.е.:

. (6-1)

При этом H, B.

Решение прямой задачи кинематики для шестизвенного манипулятора является вычислением T=0A6 с помощью последовательного перемножения шести матриц i-1Ai. Решение этой задачи приводит к единственной матрице Т при заданных и фиксированных системах координат, где для вращательного сочленения и для поступательного сочленения. Ограничения определяются только физическими пределами изменения для каждого сочленения манипулятора.

Матрица ^ T манипулятора Пума имеет вид:

T = 0A11A22A33A44A55A6=, (6-2)

где ;

; ; (6-3) ;

;

; (6-4)

;

;

; (6-5)

;

;

. (6-6)

Например, при имеем

T=,

что согласуется с выбором системы координат на рис. 5.4.

Из равенств (6-3) – (6-6) видно, что вычисление матрицы манипулятора Т требует обращения к программам вычисления 12 трансцендентных функций, выполнения 40 умножений и 20 сложений в том случае, если производится только вычисление правой подматрицы Т, имеющей размерность 3×3, а вектор n определяется как векторное произведение векторов s и a(n=s×a). Если объединить d6 с длиной рабочего инструмента, то d6=0, а длина инструмента увеличивается на d6 единиц. Это сокращает объем вычислений до 12 бращений и программ вычисления трансцендентных функций, 35 операций умножения и 16 операций сложения.

^

Классификация манипуляторов



Манипулятор состоит из последовательности твердых тел (или звеньев), первое из которых соединено с опорной стойкой, а последнее снабжено рабочим инструментом. Каждое звено соединено не более чем с двумя другими так, чтобы не образовывалось замкнутых цепей. Соединение двух звеньев – сочленение – имеет только одну степень свободы. С учетом этого ограничения интерес представляет два типа сочленений: вращательное и поступательное. Вращательное сочленение допускает только вращение вокруг некоторой оси; поступательное сочленение обеспечивает поступательное движение вдоль некоторой оси при отсутствии вращения (поступательное движение с вращением имеет место в винтовых сочленениях). Звенья манипулятора участвуют в относительном движении, в результате которого достигается определенное положение и ориентация схвата или инструмента.

Следовательно, рассматривая манипуляторы как некоторые последовательности сочленений и звеньев, их можно классифицировать по типу используемых сочленений и последовательности их расположения в направлении от опорной стойки к схвату. При таком подходе манипулятор Пума следует отнести к классу 6В, а манипулятор «Электроника» - к классу 2П-В-П-В. Здесь «В» обозначает вращательное, а «П» – поступательное сочленение.


^ Обратная задача кинематики

В этом разделе рассматривается обратная задача кинематики шестизвенного манипулятора. Необходимо по заданной матрице 0T6 положения и ориентации схвата шестизвенного манипулятора и известным параметрам его звеньев и сочленений определить присоединенные параметры манипулятора, обеспечивающие заданное положение схвата.

Для того, чтобы решение обратной задачи кинематики было получено в явном виде, необходимо, чтобы конструкция робота удовлетворяла одному из двух условий:

  1. Оси трех смежных сочленений пересекаются в одной точке.

  2. Оси трех смежных сочленений параллельны между собой.

Из равенства (4-2) следует вид матрицы манипулятора T:

T6==0A1 1A2 2A3 3A4 4A5 5A6. (6-7)

Из равенства (4-7) видно, что матрица T является функцией синусов и косинусов углов Приравнивая элементы матриц в левой и правой частях матричного уравнения (4-7), получаем, например, для манипулятора Пума двенадцать уравнений (4-3) – (4-6) относительно шести неизвестных (присоединенных углов). Поскольку число уравнений превышает число переменных, можно сразу сделать вывод о том, что решение обратной задачи кинематики для манипулятора Пума не единственно. Мы рассмотрим два метода решения обратной задачи кинематики: метод обратных преобразований в эйлеровых координатах и геометрический подход, выгодно отличающийся наглядностью.

^ Метод обратных преобразований

Задача состоит в том, чтобы, зная трехмерную матрицу поворота и учитывая равенство (2-2), представляющее собой выражение этой матрицы через углы Эйлера:

=

, (6-8)

где и ,

определить соответствующие значения углов Записывая это матричное уравнение в форме уравнений для отдельных элементов, получим:

; (6-9а)

; (6-9б)

; (6-9в)

; (6-9г)

; (6-9д)

; (6-9е)

; (6-9ж)

; (6-9з)

. (6-9и)

Из уравнений (6-9и), (6-9е) и (6-9з) получаем, что решение всей системы уравнений (6-9а) – (6-9и) имеет следующий вид:

, (6-10)

, (6-11)

. (6-12)

Полученное решение неустойчиво и плохо обусловлено по следующим причинам:

  1. Функция arccos неудобна тем, что точность вычисления ее значения зависит от этого значения.

  2. В точках, где sin () принимает близкие к нулю значения, т.е. при 0 или при 180, равенства (6-11) и (6-12) либо не определены, либо дают низкую точность вычислений.

Более устойчивый способ определения углов Эйлера для вычисления угла , значения которого лежат в пределах -, использует функции арктангенса ATAN2(y,x), вычисляющий значение arctg(y/x) с учетом принадлежности аргумента соответствующему квадранту:

(6-13)

Применяя такую обратную тригонометрическую функцию двух аргументов, рассмотрим общее решение.

Элементы матрицы в левой части матричного уравнения (6-8) заданы, а элементы матриц, стоящих в правой части этого уравнения, неизвестны и зависят от Умножая слева матричное уравнение (6-8) на , переносим неизвестную в левую часть, оставляя в правой неизвестные и , и тем самым получаем:

,

или

.

(6-14)

Из равенства элементов (1, 3) (элементов, находящихся на пересечении 1-й строки и 3-го столбца матрицы) в правой и левой частях уравнения (6-14) имеем:

, (6-15)

что в свою очередь дает

. (6-16)

Из равенства элементов (1, 1), (1, 2) в правой и левой частях следует:

, (6-17а)

, (6-17б)

что позволяет найти :

(6-18)

Приравнивая элементы (2, 3), (3, 3) матриц в левой и правой частях уравнения, получаем:

,

, (6-19)

что позволяет найти :

. (6-20)


Таким образом, рассмотренный способ состоит в умножении исходного уравнения слева и справа на неизвестную матрицу обратного преобразования. Этот способ дает общий подход к решению обратной задачи кинематики. Но не дает точного ответа, каким образом выбрать из нескольких существующих решений одно, соответствующее требуемой конфигурации манипулятора. В этом вопросе приходится полагаться на интуицию исследователя. Для нахождения решения обратной задачи кинематики по заданной матрице манипулятора более пригодным является геометрический подход, дающий также и способ выбора единственного решения для конкретной конфигурации манипулятора.


Лекция 7

Геометрический подход

В этом разделе излагается геометрический подход к решению обратной задачи кинематики шестизвенного манипулятора с вращательными сочленениями типа Пума.

По аналогии с геометрией человеческой руки и в соответствии с расположением систем координат звеньев различные конфигурации манипулятора Пума определяются с помощью трех индикаторов конфигурации (РУКА, ЛОКОТЬ, ЗАПЯСТЬЕ). Два индикатора характеризуют взаимное расположение первых трех сочленений, а третий – расположение последних трех. Для шестиосных манипуляторов типа Пума существуют четыре различных решения обратной задачи кинематики первых трех сочленений и каждому из этих четырех решений соответствует по два допустимых решения для последних трех сочленений.

Решение производится в два этапа.

I этап. Cначала вычисляется вектор, направленный от плеча к запястью. Проекции этого вектора на плоскость xi-1yi-1 используются при нахождении присоединенного угла i-го сочленения (i=1, 2, 3) для первых трех сочленений.

II этап. Использование предыдущего решения для решения последних трех сочленений, подматрицы поворота матриц 0Т и i-1Ai (i=4, 5, 6) и проекции систем координат звеньев на плоскость xi-1yi-1.

Если задана матрица , то, умножив эту матрицу слева и справа на и соответственно, можно вычислить и затем, воспользовавшись указанным способом, получить:

=. (7-1)


^ Определение различных конфигураций манипулятора

Для манипуляторов типа Пума и других манипуляторов с вращательными сочленениями возможны различные типы конфигурации, которые определяются по аналогии с геометрией руки человека. Типы конфигурации манипулятора устанавливаются следующим образом (рис. 4.2):



Рисунок 7.1. Определение различных конфигураций манипулятора


ПРАВАЯ РУКА: При неподвижном 3-м сочленении увеличение угла приводит к увеличению координаты запястья по оси z0.

ЛЕВАЯ РУКА: При неподвижном 3-м сочленении увеличение угла приводит к уменьшению координаты запястья по оси z0.

ВЕРХНЯЯ (локоть выше запястья) РУКА: Положение запястья {ПРАВОЙ/ЛЕВОЙ} руки по отношению к системе координат плеча характеризуется {отрицательным/положительным} значением координаты по оси y2.

НИЖНЯЯ (локоть ниже запястья) РУКА: Положение запястья {ПРАВОЙ/ЛЕВОЙ} руки по отношению к системе координат плеча характеризуется {положительным/отрицательным} значением координаты по оси y2.

КИСТЬ ВНИЗ: Скалярное произведение единичного вектора s системы координат схвата и единичного вектора y5 системы координат (х5, у5, z5) положительно.

КИСТЬ ВЕРХ: Скалярное произведение единичного вектора s системы координат схвата и единичного вектора y5 системы координат (х5, у5, z5) отрицательно.

Каждый из трех индикаторов конфигурации звеньев может быть определен следующим образом:

РУКА= (7-2)

ЛОКОТЬ= (7-3)

ЗАПЯСТЬЕ= (7-4)

В дополнение к этим индикаторам существует ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ:

ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ=

(7-5)

Значения индикаторов и переключателя задаются исследователем до начала решения обратной задачи кинематики.


^ Решение обратной задачи кинематики для первых трех сочленений

Вектор p, выходящий из начала системы координат плеча (x0, y0, z0) и заканчивающийся на пересечении в точке пересечения осей трех последних сочленений, определяется выражением:

, (7-6)

что соответствует вектору положения матрицы :

=. (7-7)


Решение для первого сочленения


Проецируя, как показано на рис. 7.1, вектор р на плоскость x0, y0, получаем следующие уравнения для определения угла :


, , (7-8)

, , (7-9)

, , (7-10)

, , (7-11)

где индексы L и R означают ЛЕВУЮ и ПРАВУЮ конфигурацию манипулятора.



Рисунок 7.1. Решение для 1-го сочленения


Из уравнений (7-8) – (7-11) получаем значения функций синуса и косинуса угла для ЛЕВОЙ/ПРАВОЙ конфигурации манипулятора:

, (7-12)

, (7-13)

, (7-14)

. (7-15)

Объединив равенства (7-12) – (7-15) и используя индикатор РУКА для учета ЛЕВОЙ/ПРАВОЙ конфигурации манипулятора, получаем значения функций синуса и косинуса угла в следующем виде:

, (7-16)

. (7-17)

В этих равенствах используется положительное значение квадратного корня, а индикатор РУКА определен равенством (7-2). Для вычисления , лежащего в пределах , воспользуемся функцией арктангенса, определенной равенством (6-13). Из равенств (7-16) и (7-17) с учетом равенства (6-13) получаем следующую формулу для определения :

. (7-18)


Решение для второго сочленения


Чтобы найти , спроектируем вектор p на плоскость x1, y1, как показано на рис. 7.2.



Рисунок 7.2. Решение для 2-го сочленения


В соответствии с этим рисунком возможны четыре различных конфигурации манипулятора. Каждой конфигурации соответствует свое значение угла при и (табл. 7.1):

Таблица 7.1. Угол при различных конфигурациях манипулятора

Конфигурация

манипулятора



РУКА

ЛОКОТЬ

РУКА·

ЛОКОТЬ

ЛЕВАЯ ВЕРХНЯЯ рука



-1

+1

-1

ЛЕВАЯ НИЖНЯЯ рука



-1

-1

+1

ПРАВАЯ ВЕРХНЯЯ рука



+1

+1

+1

ПРАВАЯ НИЖНЯЯ рука



+1

-1

-1

Как следует из табл. 7.1, используя индикаторы конфигурации РУКА и ЛОКОТЬ, для можно записать единое для всех возможных конфигураций манипулятора выражение:

, (7-18)

где составной индикатор конфигурации определяет соответствующий знак угла , а точкой обозначена операция умножения индикаторов. Геометрия манипулятора, отраженная в схеме 7.2, позволяет записать следующие соотношения::

, , (7-19)

, (7-20)

, (7-21)

,

(7-22)

. (7-23)

Из равенств (7-18) – (7-23) можно определить значение функций синуса и косинуса угла :

, (7-24)

. (7-25)

Равенства (7-24) и (7-25) позволяют найти значение :

. (7-26)


Лекция 8

Решение для третьего сочленения

Для определения спроецируем вектор p на плоскость x2, y2 (рис.8.1).

Таблица 8.1. Угол при различных конфигурациях манипулятора

Конфигурация

манипулятора





РУКА

ЛОКОТЬ

РУКА∙

ЛОКОТЬ

ЛЕВАЯ ВЕРХНЯЯ рука





-1

+1

-1

ЛЕВАЯ НИЖНЯЯ рука





-1

-1

+1

ПРАВАЯ ВЕРХНЯЯ рука





+1

+1

+1

ПРАВАЯ НИЖНЯЯ рука





+1

-1

-1

В соответствии с рис. 8.1, как и в предыдущем случае, возможны четыре различные конфигурации манипулятора. Как показано в табл. 8.1, каждой конфигурации соответствует свое выражение .



Рисунок 8.1. Решение для 3-го сочленения

Параметр представляет собой y-ю компоненту вектора, выходящего из начала системы координат (x2, y2, z2) и заканчивающегося в точке пересечения осей последних трех сочленений.

Из рис. 8.1 получаем следующие равенства, позволяющие определить :

, (8-1)

, (8-2)

,

, . (8-3)

В соответствии с табл. 8.1 значение можно представить формулой, единой для всех конфигураций манипулятора:

. (8-4)

Из равенства (8-4) получаем следующие выражения для функций синуса и косинуса угла .

, (8-5)

. (8-6)

Из равенств (8-5) и (8-6) с использованием равенств (8-1) – (8-3) находим решение для :

. (8-7)
  1   2   3



Скачать файл (1664.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации