Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Ответы на экзаменационные вопросы - файл Вопросы по ТВиМС (15-21).doc


Ответы на экзаменационные вопросы
скачать (627.8 kb.)

Доступные файлы (7):

Вопросы по ТВиМС (15-21).doc473kb.12.01.2005 06:58скачать
Вопросы по ТВиМС [1-7].doc231kb.12.01.2005 06:49скачать
Вопросы по ТВиМС (22-25).doc87kb.11.01.2005 06:01скачать
Вопросы по ТВиМС [26-31].doc461kb.12.01.2005 07:01скачать
Вопросы по ТВиМС (32-38].doc393kb.12.01.2005 06:01скачать
Вопросы по ТВиМС (39-45).doc279kb.11.01.2005 04:02скачать
Вопросы по ТВиМС [8-14].doc327kb.12.01.2005 07:51скачать

содержание
Загрузка...

Вопросы по ТВиМС (15-21).doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
15. Теорема Лемана. Минимаксность выборочного среднего, как оценки мат. ожидания нормального распределения.
Теорема.

Пусть - последовательность байесовских оценок по отношению к априорным распределениям {Qk} соответственно;

Если

Тогда - минимаксна.

Док-во


Оценка называется минимаксной, если она минимизирует максимальный риск, т.е.

:

Пусть - произвольная оценка. Тогда, поскольку Qk – вероятностная мера и поскольку - байесовская:



Переходим к пределу

- минимаксна.
Пример.

Пусть Х1 ,…,Хn – выборка из N(,) c известным и надо оценить .

Предположим, что параметр имеет нормальное расперделение: ~ N(0,k), kN

Получаем последовательность байесовских оценок:



и соответствующую последовательность байесовских рисков:






, где
,

т.е.

-оценка



- минимаксна

16.Метод моментов построения статистических оценок. Примеры.
Пусть Х1,…,Хn –выборка из распеределения с начальными r моментами i порядка:

Они являются функциями от неизвестных параметров .

Начальные выборочные моменты i порядка.

Тогда метод моменов состоит в приравнивании выборочных и теоретических моментов одного порядка:

, где r – выбирается сообразно тому, сколько нбх уравнений для существования и единственности решения,

обычно
Примеры.
1) распределение Бернулли



- теоретич. момент

- выборочный момент

Уравнение методом моментов:

- оценка методом моментов (ММ)
2) распределение Лапласа DE(a,b)





теор. момент 1 порядка

теор момент 2 порядка
выбор. моменты 1 и 2 порядка

Уравнение ММ:



Оценки ММ:


17.Метод максимального правдоподобия. Примеры.
Понятие правдоподобия позволяет сравнивать вероятносные шансы тех или иных исходов эксперимента при различных значениях параметра .

В рез-те эксперимента поступает более точная информация, тогда прикаждом фикс. Значении естественно сравнивать достоверности исходов через значение плотности ( или производной Радона-Никодима) относительно некоторой домин. меры.

Пусть - семейство вероятностных мер, доминирующих некоторой мерой .

(если величины имеют абс. непрер. распределение, то мера Лебега,

если дискретное – можно выбрать считающую меру на мн-ве возможных значений результата эксперимента)

- плотность распределения.

Функция правдоподобия является плотностью распределения случайного вектора :



Опр-е

Оценка - называется оценкой правдоподобия, если для каждого из выборочного пространства


Пусть Х1,…,Хn - выборка из одномерного семейства <<

- плотность

Выбираем , т.е.

и

функция правдоподобия

Идея метода макс. правдоподобия состоит в отыскании значения , максимизирующее правдоподобие, т.е.

В силу монотонности логарифма задача сводиться к максимизации логарифма правдоподобия.

И далее нахождения max:



Примеры.

1) распределение Бернулли

Х1,…,Хn ~ Bi(1,p)

- считающая мера на Z

Функция правд-я








- оценка макс. правдоподобия
2)нормальное распределение

Х1,…,Хn ~ N(a,b),

решаем уравнение


- ОМП

^ 18.Достаточные статистики. Примеры.
Пусть (P), где - статистический эксперимент.

Т()- статистика. Статистика Т называется достаточной для семейства Р, если условное распределение вектора при условии Т не зависит от значения параметра , т.е



Знание того, где находиться на поверхности , не несет никакой дополнительной информации о теоретическом распределении, а следовательно, вся информация об исходном распределении содержится в Т().

Примеры.

1) Х1,…, Хn – выборка из функции распределения F, а F- любая функция распределения.

Можно показать, что НОРВС набор порядковых статистик в этом семействе

(1), …,х(n)) – достаточная статистика.

Действительно,

Пусть , , тогда

Если перестановки i1,…,in:





(окружить хi таким множеством, что в нем только tj и нет других)

(для домин. семейств это следует из определения)

2) Х1,…, Хn -выборка из распределения Бернулли, т.е.

(последовательность испытаний Бернулли)

Покажем, что - достаточная статистика



не зависит от пар-ра - достаточная статистика для сем-ва распр-я Бернулли

20.Теорема факторизации Неймана-Фишера.
^

Лемма Хэлмоша-Сэвиджа


-конечна, то



такой, что Р доминируется линейной комбинацией :

Теорема


Р<<, -конечна

Для того чтобы статистика Т()была достаточной для , необходимо и достаточно, чтобы функция правдоподобия имела вид:



Док-во

а) не зависит от

, где

- плотность относительно меры

- плотность относительно меры

т.к. - доминирование мерой существует плотность по т.Радона-Никодима

в дальнейшем покажем: ,

б)Докажем, что



?

Т- измер. случ.величина



в силу единств. усл. мат. ожид. мы получаем:



в)рассмотрим сужение

тогда , (если на большой доминированна, то на маленькой и тем более)

(мы ее так опред)

Покажем, что на всякой сигма-алгебре F

Для этого надо показать, что



(известно, что )



тогда по теореме Радона-Никодимаполучаем (единст-ть):

на F

возвращаясь к началу, мы получаем



не зависит от

доказали в одну сторону

Обратное утверждение:

Пусть



т.е.





Пусть , тогда

г)Покажем, что

, т.е

- не зависит от Т- дост. статистика
Рассмотрим



В силу единственности условного мат.ожид


(доказали).


^ 21.Примеры нахождения достаточных статистик.
По теореме факторизации

1.

a)Пусть Х1,…,Хn – выборка из нормального распределения N(a,)

данная мера - мера Лебега в Rn

Плотность совместного распределения



b) известно




2.Распределение Пуассона







Скачать файл (627.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации