Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Статистические методы прогнозирования в экономике - файл 1.doc


Лекции - Статистические методы прогнозирования в экономике
скачать (1037.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1038kb.16.11.2011 04:42скачать

1.doc

1   2   3   4


Кр=1-


Ответ: так как Кр ближе к 0, то рост тренда устойчив.


Расчет индекса корреляции

t

Yt



Yt* t´

t2

yтеор

Yt-y

(yt-y)2

(yt-yтеор)2

1

12,0

-5

-60

25

16,25

-9

81

18,06

2

18,8

-4

-75,2

16

17,2

-2,2

4,84

2,56

3

11,0

-3

-33

9

18,15

-10

100

51,12

4

29,0

-2

-58

4

19,1

+8

64

98,01

5

17,5

-1

-17,5

1

20,05

3,5

12,25

6,5

6

23,4

1

23,4

1

21,91

2,4

5,76

2,2

7

35,6

2

71,2

4

22,9

11,6

134,56

161,29

8

15,4

3

46,2

9

23,85

5,6

31,36

71,4

9

26,1

4

104,4

16

24,8

5,1

26,01

1,69

10

20,7

5

103,5

25

25,75

0,3

0,09

25,5

Итого










110







459,87

438,33

Утеор=а0+а1t

а0= а1=

I =


a0=


a1=


Утеор=21+0.95t

Y=21.04

I=

Ответ. Так как I=0,216, т.е. близок к «0», то рост тренда неустойчив.


Тема 6. Анализ периодических колебаний во временных рядах


Временной ряд содержит, как правило, 2 основных элемента:

  • тенденцию динамики;

  • колеблемость.

Эти составляющие в разных временных рядах находятся в неодинаковом соотношении. А в крайних случаях остается один элемент, т.е. ряд без колебаний представляет собой тренд в чистом виде; а ряд без тенденции динамики, но с колебаниями уровней около постоянной средней величины – это стационарный временной ряд.

Колеблемость представляет собой важный предмет статистического исследования временного ряда и позволяет выдвинуть гипотезы о причинах колебаний, о путях влияния на них. Кроме того, на основе параметров колеблемости, ее можно прогнозировать или учитывать как факторы ошибки прогноза (рассчитывать резервы, т.е. страховой запас, необходимый для преодоления вредных последствий колебаний уровней).

Изучение колебаний целесообразно начать с графического изображения.

Все многообразие встречаемых во временных рядах колебаний обычно сводят к 3 основным типам:

  1. пилообразные (маятниковые);

  2. долгопериодические циклы колебаний;

  3. случайно распределенная во времени колеблемость.

Графическое изображение каждого из этих типов и описание основных свойств каждого типа колеблемости, во-первых, помогают по виду фактического ряда определить, какой тип колебаний является преобладающим в нем, и, во-вторых, помогают понять, какие последствия могут иметь колебания и как их устранить.

Характерной чертой пилообразной колеблемости является правильное регулярное чередование отклонений от тренда вверх и вниз, т.е. положительных по знаку и отрицательных через одно.

Свойства пилообразной колеблемости таковы:

- из-за частой смены знака отклонения от тренда не происходит аккумуляции ни положительных, ни отрицательных отклонений, следовательно, нет необходимости создавать для их компенсации значительный страховой запас;

- регулярность чередования отклонений обеспечивает их надежное прогнозирование, причем число положительных отклонений при достаточно большой длине ряда = числу отрицательных отклонений, а общее количество локальных экстремумов = числу уровней.

Распознать наличие пилообразных колебаний можно подсчетом числа локальных экстремумов в ряду отклонений от тренда. Чем ближе это число к числу уровней ряда, тем большую роль играют пилообразные колебания.

Кроме того, существует еще один способ распознавания пилообразных колебаний по знаку и величине коэффициента автокорреляции отклонений от тренда 1-го порядка (зависимость уровней ряда между собой). В рядах динамики экономических процессов может существовать взаимосвязь между уровнями. Это явление называется автокорреляцией. Измеряют автокорреляцию при помощи коэффициента автокорреляции, который может рассчитываться не только между соседними уровнями, т.е. сдвинутыми на 1 период, но и между сдвинутыми на любое число единиц времени. Этот сдвиг называется временным лагом. Он определяет порядок коэффициента автокорреляции.

Коэффициент автокорреляционных отклонений от тренда

1-го порядка рассчитывается по следующей формуле:

Ча =

Если значение последнего уровня ряда не значительно отличается от первого, то сдвинутый ряд можно условно дополнить, заменяя 1-й уровень последним. Тогда формула для расчета коэффициента автокорреляции будет иметь следующий вид:

Ча =

Чем ближе коэффициент автокорреляции (Ча) к – «1», тем большую роль играет пилообразная колеблемость.

При Ча превышающим «-0,3» считают пилообразную составляющую несуществующей.

Характерной чертой долгопериодичной циклической колеблимости является наличие нескольких подряд отклонений одного знака, затем сменяющихся примерно таким же количеством отклонений противоположного знака подряд, затем весь цикл вновь повторяется, причем, как правило, длина всех циклов одинакова. Если равенство отдельных циклов существенно нарушается, говорят о квазицикличной колеблемости.

Свойства долгопериодической циклической колеблемости:

    1. Отклонения одного и того же знака следуют подряд в течение примерно половины длины цикла (е), поэтому эти отклонения аккумулируются и для их компенсации нужен большой страховой запас.

    2. Для прогнозирования долгопериодическая циклическая колеблемость благоприятна, особенно, если длина цикла строго постоянна. Прогноз на любой будущий период состоит из прогноза тренда и циклического отклонения от него, соответствующего фазе цикла в прогнозируемый период.

Обычно за цикл наблюдаются 2 экстремума отклонений от тренда: 1 – мах и 1 min. Поэтому, за период, состоящий из n уровней насчитывается К=2*количество экстремумов.

Распознать долгопериодическую циклическую колеблемость можно по виду графика подсчетом числа экстремумов в ряду отклонений от тренда и по коэффициенту автокорреляционных отклонений 1-го порядка.

Если число локальных экстремумов в ряду отклонений мало, то можно предположить наличие циклической колеблемости.

Коэффициент автокорреляционных отклонений 1-го порядка при циклической колеблемости величина положительная, стремящаяся к «+1».

При наличии фактического коэффициента автокорреляции больше, чем «+0,3», принято считать, что в общей колеблемости временного ряда есть существенная циклическая составляющая. При Ча > 0,7 циклическая составляющая является главной.

Характерной чертой случайно распределенной во времени колеблемости является хаотичность последовательности отклонений от тренда.

Случайно распределенная во времени колеблемость – интерференция колебаний.

Свойства случайно распределенной во времени колеблемости

    1. Из-за хаотичного чередования знаков отклонений от тренда, их взаимопогашение наступает только на достаточно длительном периоде, а на коротких отрезках отклонения могут аккумулироваться, поэтому необходимы довольно значительные резервы.

    2. Случайно распределенная во времени колеблемость неблагоприятна для прогнозирования. Причиной случайно распределенных колебаний служит наличие большого числа независимых или слабо связанных между собой факторов, влияющих на уровни изучаемого явления.

Коэффициент автокорреляционных отклонений от тренда (Ча) при случайно распределенной колеблемости стремится к «0». Если ряд состоит менее чем из 20 уровней, Ча 1-го порядка не превышающие 0,3 по абсолютной величине свидетельствуют о преобладании случайной компоненты в общем комплексе колебаний.

Показатели силы и интенсивности колебаний аналогичны по построению и форме показателям вариации признаков совокупности.

К показателям абсолютной величины колебаний относятся следующие:

1) амплитуда колебаний – разность между наибольшим и наименьшим отклонениями от тренда;

2) среднее по модулю отклонение от тренда:

а(t)=

3) среднее квадратическое отклонение:



4) коэффициент колеблемости:

V(t)=

Пример.

Рассчитать Ча по следующим исходным данным

t

Yt

Yt+1

Yt*yt+1

Yt2

1

1,3

1,4

1,82

1,69

2

1,4

1,5

2,1

1,96

3

1,5

1,7

2,55

2,25

4

1,7

2,1

3,57

2,89

5

2,1

2,2

4,62

4,41

6

2,2

2,5

5,5

4,84

7

2,5

2,7

6,75

6,25

8

2,7

3,0

8,1

7,29

9

3,0

3,3

9,9

9,0

10

3,3

1,3

4,29

10,89

Итого

21,7

21,7

49,2

51,47


Yt*yt+1=

Yt=

yt2-(yt)2=5.15-4.71=0.44

Ча=




Условное время t

t

Yt

Yt*t

T2

Yтеор

Yt- Yтеор

(Yt- Yтеор)2

1 год

-8

I

56

-448

64

55,6

0,4

0,16

-7

II

54,5

-381,5

49

55,89

1,39

1,93

-6

III

55,2

-331,2

36

56,18

-0,98

0,96

-5

IV



















2 год

-4

I

57,2

-228,8

16

56,76

0,44

0,19

-3

II

55,6

-166,8

9

57,05

-1,45

2,1

-2

III

56,2

-112,4

4

57,34

-1,14

1,3

-1

IV

60,4

-60,4

1

57,63

2,77

7,67

3 год

1

I

58,4

58,4

1

58,21

0,19

0,04

2

II

56,9

113,8

4

58,5

-1,6

2,56

3

III

57,1

171,3

9

58,79

-1,66

2,76

4

IV

61,5

246

16

59,08

2,42

5,86

4 год

5

I

59,3

296,5

25

59,37

-0,07

0,0049

6

II

58,2

349,2

36

59,66

-1,36

1,85

7

III

58,3

408,1

49

59,95

-1,65

2,72

8

IV

62,6

500,8

64

60,24

1,96

3,84

0

Итого

926,7

118,5

408

926,72

22,31

41,95


1) У теор=а0+а1t У теор=57,92+0,29t

2) а0= а1=

3) а0= а1=


4) мах

- -

Min

Амплитуда колебаний 2,76


5) а(t)=


6) =1.62

7) V(t)==

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживается определенные постоянно повторяющиеся колебания. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, а так же общих экономических факторов.

Периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период равный годовому промежутку времени называются сезонными колебаниями. Они характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности.

Для вычисления индексов сезонности применяют различные методы. Выбор метода зависит от характера общей тенденции ряда динамики.

Для анализа рядов внутригодовой динамики, в которых наблюдается стабильность годовых уровней, или имеет место незначительная тенденция развития, изучение сезонности основано на методах постоянной средней.

Is=

Yi- средние месячные уровни ряда по одноименным месяцам за несколько лет;

Yо – общий средний уровень ряда.

Для анализа рядов внутригодовой динамики, в которой наблюдается тенденция роста, изучение сезонности основано на методе переменной средней. Для расчета индекса сезонности в таких ситуациях применяют формулу:

Is=

К – число лет.

Уmmео – выровненные уровни ряда (по уравнению прямой).

Пример: Метод переменной средней

У1=

У2=56,3

У3=56,7

У4=60,95

У0=57,92

Is=

Is=

Is=

Is=

Метод постоянной средней

Yt

yтеор

Yt/ yтеор

Is

56

55.6

100.7

100.425

54.5

55.89

97.5

97.475

55.2

56.18

98.3

97.65

59.3

54.47

105

104.45













57.2

56.76

100.8




55.6

57.05

97.5




56.2

57.34

98




60.4

57.63

104.8
















58.4

58.21

100.3




59.6

58.5

97.3




57.1

58.79

97.1




61.5

59.08

104.1
















59.3

59.37

99.9




58.2

59.66

97.55




58.3

59.95

97.24




62.6

60.24

103.9





Для выполнения и измерения периодичных колебаний во временном ряду можно использовать гармонический анализ. Французский математик Фурье предложил метод преобразования периодических функций в ряд тригонометрических уравнений, называемых гармониками. Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно представить бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных функций.

Нахождение конечной суммы уровней с использованием функций синусов и косинусов времени называется гармоничным анализом. Иначе говоря, гармонический анализ представляет собой операцию по выравниванию заданной периодической функции в виде ряда Фурье по гармоникам разных порядков. При этом каждый уровень ряда представляет собой слагаемое постоянной величины с функцией синуса и косинуса определенного порядка.

С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой функции времени:

Yt=a0+.

К – определяет гармонику ряда Фурье и может быть выражена целым числом (чаще всего от 1 до 4).

а0, ак, вк – параметры уравнения, которое находят, применяя метод наименьших квадратов.

а0 =

ак=

вк=

Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением или приростом, равным

Для изучения сезонности n=12 время t выражается в радиальной мере или в градусах.

Тогда ряд динамики записываются следующим образом:

Yt

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7

Y8

Y9

Y10

Y11

Y12

радиальная мера

0























градусы

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

320


При К=1 уравнение будет иметь следующий вид:

Yt=а0+а1cost+b1sint

a0=

a1=

b1=

при К=2 имеет ряд Фурье с 2 гармониками

Yt=а0+а1cost+b1sint+ а2+а1cos2t+b2sin2t

а2=

b2=

Пример: Рассчитать 1-ю гармонику по следующим исходным данным

t

yt

cost

ytcost

sint

ytsint

yтеор

1

30

1

30

1

30

49,99

2

40

0,866

34,64

0,5

20

43,45

3

43

0,5

21,5

0,866

37,24

49,64

4

54

0

0

1

54

53

5

67

-0,5

-33,5

0,866

58,02

52,64

6

29

-0,866

-22,516

0,5

14,5

48,66

7

35

-1

-35

0

0

42,1

8

34

-0,866

-29,44

-0,5

-17

34,76

9

45

-0,5

-22,5

-0,866

-38,97

28,57

10

35

0

0

0

-35

17,6

11

29

0,5

14,5

-0,866

-25,1

17,2

12

28

0,866

24,248

-0,866

-14

21,55

Итого

469




-18,07




83,69

459,1


а0=

а1=

в1=

yt=39.1-3.01cost+13.9sint


Далее можно аналогично рассчитать вторую гармонику. Таким образом, будем иметь 2 ряда: 1-я гармоника, 2-я гармоника. Рассчитав дисперсии для обоих рядов можно сделать вывод, какая гармоника ряда Фурье наиболее близка к фактическим уровням:




^ Тема 7: Прогнозирование с помощью моделей кривых роста


Применение моделей кривых роста в прогнозировании.

Удобным средством описания одномерных временных рядов является их выравнивание с помощью тех или иных функций времени (кривых роста). Кривая роста позволяет получить выравненные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

  1. Выбор одного или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временных рядов.

  2. Оценка параметров выбранных кривых.

  3. Проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста.

  4. Расчет точечного и интервального прогнозов.

  5. Оценка прогноза.

Кривые роста могут быть разделены на 3 класса. К первому классу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста. Ко 2 классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. Эти функции называются кривыми насыщения.

Если кривые насыщения имеют точку перегиба, то они относятся к 3 классу - к S-образным кривым. Эти кривые описывают как бы два последовательных процесса, когда прирост зависит уже от достигнутого уровня. Причем один развивается с ускорением, другой - с замедлением.

Среди кривых роста 1-го класса выделяют класс полиномов:

Yt=a0+a1t+a2t+…aptp

ao…p – параметры (коэффициенты) полинома.

t – время.

Параметры полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в зависимости от содержания временного ряда. Например, параметр а0 - это начальный уровень ряда при t=0. Параметр а1 можно трактовать как скорость роста, а2 как ускорение роста.

Полином первой степени - это прямая:

Yt=a0+a1t

Основные свойства тренда в форме прямой:

  1. равные изменения за равные промежутки времени (цепные приросты = изменению);

  2. если средний абсолютный прирост – положительная величина, то относительные приросты (темпы прироста) постепенно уменьшаются;

  3. если средние абсолютные изменения – отрицательная величина, то относительные изменения постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;

  4. если имеется тенденция к сокращению уровней, а изучаемая величина является по определению положительной, то среднее значение параметра а1 не может быть больше среднего уровня (т.е. «а0»);

  5. при линейном тренде ускорение (т.е. разность абсолютных значений за последовательные периоды)=0

Полином 2-ой степени:

Yt=a0+a1t+a2t2

Парабола применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно.

Параболический тренд обладает следующими свойствами:

  1. неравные, но равномерно возрастающие или убывающие абсолютные изменения за равные промежутки времени;

  2. поскольку а0 как правило величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров а1 и а2.

При а1>0 и а2>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию с ускоренному росту уровней.

При а1<0 и а2<0 имеем нисходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному сокращению уровней.

При а1>0 и а2<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляющимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, если их по существу можно считать единым процессом.

При а1<0 и а2>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляющимся сокращением уровней, либо обе ветви, если их можно считать единым процессом.

  1. В зависимости от соотношения между параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время увеличиваться. Но при достаточно длительном периоде темпы роста начинают изменяться, а темпы сокращения уровней начинают возрастать.

Полином 3-й степени:

Yt=a0+a1t+a2t2+a3t3

У этого полинома знак прироста ординат может изменяться 1 или 2 раза.

Отличительная черта полиномов – отсутствие в явном виде зависимости приростов от значений ординат.

Нахождение параметров полиномов определяется методом наименьших квадратов. С учетом переноса начала координат в середину ряда параметры для уравнения прямой определяются по следующему алгоритму:

а0= а1=

Для параболы:

а0=-


а1=


а2=

К первому классу кривых роста относятся также экспоненциальные кривые. Для них характерным является зависимость приростов от величины самой функции..

Наиболее часто применяется простая экспоненциальная кривая, которая имеет вид yt=abt

Если b>1, то кривая растет вместе с ростом t.

Если b<1, то тренд отражает замедляющиеся неравномерно уменьшение уровней.

Для нахождения параметров экспоненты данное выражение логарифмируют.

Существует другая разновидность экспоненциальных кривых – логарифмическая парабола:

Yt= abtct

Ко второму классу кривых относят модифицированную экспоненту:

yt=к+abt

Она описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор (асимптота).

При решении экономических задач значение асимптоты можно определить исходя из свойств прогнозируемого явления. Иногда значение асимптоты задается экспертным путем.

Наиболее часто применяемыми кривыми 3-го класса является кривая Гомперца:

yt=к+abt

Логистическая кривая:

к+abt

У=




Пример.

Определить параметры параболического тренда

t

yt



t2

Yt* t2

t4

1

14,9

-5

25

372,5

625

2

12,6

-4

16

201,6

256

3

15,2

-3

9

136,8

81

4

15,9

-2

4

63,9

16

5

14,9

-1

1

14,9

1

6

16,2

1

1

16,2

1

7

18,0

2

4

72

16

8

18,3

3

9

164,7

81

9

17,0

4

16

272

256

10

18,8

5

25

470

625

Итого:

161,8




110

1784,6

1938


а0=


а1=

а2=


Ответ: а0=16,11; а1=16,22; а2=0,0066

1   2   3   4



Скачать файл (1037.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации