Лекции - ТМО и ТСПскачать (3128 kb.)
Доступные файлы (6):
содержание
ГЛАВА 2.doc
Глава 2. Случайные последовательности.§ 1 Основные определения.1.1. Пусть

– измеримое пространство, кроме того, положим, что на

выделено семейство

алгебр {
n}
n>0 , обладающих свойствами:
а) для любого


;
б)

для любых

и

;
в)
Определение. Семейство

алгебр

на

, обладающих свойствами а), б), в) будем называть
потоком
алгебр или фильтрацией. Измеримое пространство (

,

) с выделенной фильтрацией

будем называть
фильтрованным измеримым пространством и обозначать через (

,

,

).
Определение. Фильтрованным вероятностным пространством или стохастическим базисом называется четверка (

,

,

,
Р), где
Р – вероятностная мера на фильтрованном измеримом пространстве, причем

– пополнена множествами нулевой меры
Р.
Замечание. Напомним,

– пополнена множествами нулевой меры
Р. Пусть любой элемент В

, N
p 
{
A
F:
P(
A) = 0} и к В добавим N
p, т.е.

. С помощью множеств

построим новую

алгебру, обозначаемую

. Ясно, что

содержит

-

алгебра, её называют
пополнением 
относительно меры
Р.
Определение. Будем говорить, что последовательность {

со значениями в измеримом пространстве
согласована с фильтрацией

, если при каждом
n она

- измерима , т.е. {


для любого В
E, и для нее будем использовать обозначение (

,

)
n>1.
1.2. Пусть на стохастическом базисе (

,

,

,
Р) задана согласованная последовательность {

. Введем обозначения: а)

=

алгебру, порожденную

,
б)

=

, в)

=

эту

алгебру называют обычно
хвостовой.Очевидно, что

-

- измерима.
1.3. Определение. Последовательность (

,

)
n>0 называется
марковской, если
Р - п. н. для любого
Р(В|

) =
P(B|

), (1)
где


.
1.3.1 Замечание. В силу теоремы 11 главы 1 (теоремы Бореля) существуют для


борелевские функции

, где

и

такие, что
Р - п. н.
Р(В|

) =

,
P(B|

) =

. Поэтому (1) можно переписать в виде
Р - п. н.

.
1.4. Определение. Пусть
Р:


, обозначаемая через
P(
s,
,t,B),
s<t, называемая переходной вероятностью (вероятностью перехода) если :
1) при фиксированных
s,t,B
P(


- измеримая функция;
2) при фиксированных
s,t,x P(

вероятностная мера на

.
Определение. Будем говорить, что {
Р(
s,
,t,B)}-
семейство переходных вероятностей марковского процесса (

,

)
t>0 ,если
Р(
s,
,t,B)

=
P

)
Р - п. н. для любых
s,t,B.
Теорема 1 (Чепмен-Колмогоров). Пусть (

,

)
t>0 – марковская последовательность, а {
Р(
s,
,t,B)} – соответствующее ей семейство переходных вероятностей. Тогда для любых

справедливо равенство
Р(
s,
,t,B) =

. (2)
Доказательство. Пусть

, тогда
Р -п.н.
Р(
s,

,
t,B) =
P

) =
P(


) =
M(


)=
M[
M(


)|

]=
M[
P(


)|

]= =
M[
P

]=


)
P
Доказательство закончено.
§ 2 Существование случайных последовательностей.2.1. Чтобы построить случайную последовательность, надо сконструировать вероятностную меру на его траекториях. Существует два подхода к решению этой проблемы:
1) основанный на переходных вероятностях;
2) основанный на непосредственном задании случайного процесса.
2.2. В данном пункте мы построим марковский процесс (с дискретным временем) с помощью переходных вероятностей. Без ограничения общности, можно считать, что

= (

).
Пусть задано семейство переходных вероятностей {
Р(
s,
t,B)} и справедливо соотношение Чепмена – Колмогорова. Предположим еще, что задана также вероятностная мера

на

. Тогда существует вероятностное пространство

и случайная последовательность (

,

)
t>0 на нем такие, что для любых

.
Таким образом определенный марковский процесс (

,

)
t>0 называют
марковским процессом с начальным распределением
и семейством переходных вероятностей {
Р(
s,
t,B)}. Это построение обобщает следующая теорема о существовании случайной последовательности.
Теорема 2. (Ионеску-Тулчи). Пусть

- произвольные измеримые пространства и

, а

. Пусть на (

) задана вероятностная мера
Р1 и для каждого набора

на

заданы вероятностные меры
Р
, которые для каждого В

являются борелевскими функциями от

), причем для любых

.
Тогда на

существуют: 1) единственная вероятностная мера
Р такая, что для любого

(3)
2) случайная последовательность
Х=

такая, что

(4)
Доказательство этого утверждения читатель может найти в ряде известных руководств [1,3].
Пример: Пусть

={1,2,…},
Рк(
x,y) – семейство неотрицательных функций

,
x,y
, таких, что

Пусть

распределение вероятностей на

(


). Тогда существуют

и семейство
случайных величин Х={

на нем таких, что
P(
В качестве элементов
Ω можно взять

. Такая последовательность случайных величин
Х={

называется
марковской цепью со счетным множеством состояний 
и матрицей переходных вероятностей {
Рк(
x,y)}, и начальным распределением
2.3. В данном пункте мы приведем методику непосредственного задания марковской случайной последовательности.
Пусть Ф:

измеримая по Борелю функция, обозначаемая через Ф(
t,x,y), где

и

– полные, сепарабельные, метрические пространства. Последовательность {
Xt}
t>0 со значениями

определим с помощью рекуррентного соотношения

,

, (5)
где (

последовательность случайных элементов, принимающая значения в

. Соотношение (5) называется
процессом, определенным рекуррентно. Положим, что

- нормированное пространство с нормой

. Возникают два вопроса:
1) является ли
Xt для любого
t 
измеримым;
2)

|
Р - п. н.
Определение. Под сильным
решением процесса, определенного рекуррентно, будем понимать последовательность

измеримую относительно

алгебры

такую, что : а)
Р(

|

)=1; б) она обращает (5) в тождество с вероятностью 1.
Определение. Будем говорить, что (5) имеет
единственное сильное решение, если из того что существуют
i=1,2 – два сильных решения соотношения (5), причем

(т.е. они начинаются из одной точки), то
Р(

для любого
Теорема 3. Пусть Ф:

, где

– линейное нормированное пространство, удовлетворяющее условиям:
1) ||Ф(
t,x,y) – Ф(
t,z,y)||
2) ||Ф(
t,0,y)||

.
Тогда: а) если выполнено 1), то решение (5) единственно; б) если выполнены 1) и 2) и
Р - п. н.

, то существует сильное решение (5).
Замечание 1. Поясним смысл условий теоремы 3. Очевидны неравенства:
||Ф(
t,x,y)||

= ||Ф(
t,0,y)+ Ф(
t,x,y)- Ф(
t,
0,
y)||


||Ф(
t,
0,
y)||

+ ||Ф(
t,x,y) - Ф(
t,
0,
y)||
L+
L||
x||

=
L(1+||
x||

) ( т.е. допустим рост по
х не быстрее, чем линейный).
Доказательство. а) Пусть имеются два сильных решения, начинающихся на одной точке

, имеем
Р - п. н.





Значит,
Р - п. н. для

.
б) Заметим,

Следовательно, если
^ - п. н. – конечно, то
Р-п. н.
Замечания. 1) Пусть

удовлетворяет (5), и

Если (5) имеет единственное сильное решение, то справедливо
Р - п. н.

для
2) Обозначим
Р(
s,
,t,B)

=
P(
t,
,B) – переходную вероятность за один шаг. Из соотношения Чепмена-Колмогорова следует, чтобы построить переходную вероятность за
t шагов, достаточно знать переходную вероятность за один шаг.
2.4. Установим условия, выполнение которых гарантирует, что процесс, определенный рекуррентно, является марковским.
Теорема 4. Пусть выполняются условия: 1) рекуррентное соотношение (5) имеет единственное сильное решение, 2)

последовательность независимых в совокупности случайных величин (со значениями в

), 3)

не зависит от

. Тогда 1) последовательность

-

-измерима при каждом
t и

- марковская, 2) переходная вероятность за один шаг имеет вид
Доказательство. Нам надо доказать, что
Р - п. н.


.
Рассмотрим сначала левую часть этого равенства в силу замечания 1.3.1
Р-п.н.

=

.
Так как

- сильное решение (5), то

-измеримо, то по теореме Бореля для каждого
t существуют функции

такие, что
Р - п. н.

. Поэтому, в силу условий 2), 3) имеем
Р - п. н.

=

=

=
=

=

.
Отсюда следует, что

Доказательство закончено.
2.5. Примеры процессов, определенных рекуррентно.
1) Пусть


=0, где

-последовательность независимых (в совокупности) величин. В силу теоремы 4

является марковской последовательностью.
2) Дискретная модель диффузии. Рассмотрим рекуррентное соотношение:

, (6)
где

- измеримые по Борелю функции,

- последовательность независимых в совокупности случайных величин, причем

. (6) имеет единственное сильное решение, если выполнены условия:
а)
б)
Пусть

, а

В этом случае

удовлетворяет рекуррентному соотношению


,

. (7)
Покажем, что

, причем

,

;
Действительно. Обозначим

, из рекуррентного соотношения (7) следует
М[

]=

=

.
Ясно, что

.
Из определения дисперсии имеем

. Получили рекуррентное соотношение для

. Рассмотрим разность

, имеем из (7):

=


=
Возведем в квадрат левую и правую части последнего равенства, а затем возьмем математическое ожидание от левой и правой частей, имеем из получившегося равенства:

=
Так как

, то отсюда следует, что

.
Покажем, что

- гауссовская последовательность. Доказательство проведём по индукции. Пусть

- гауссовская случайная величина. Очевидно, что

тоже гауссовская. Действительно, так как сумма двух гауссовских величин есть гауссовская величина, то

гауссовская случайная величина. Таким образом основной шаг индукции установлен, а с ним доказано утверждение.
Скачать файл (3128 kb.)