Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по ЭММиМ - файл 3модели производства.doc


Лекции по ЭММиМ
скачать (327.4 kb.)

Доступные файлы (7):

1. Модели и моделирование.doc34kb.15.06.2008 17:22скачать
2модели потребительского выбораd.doc321kb.19.06.2008 21:49скачать
3модели производства.doc147kb.19.06.2008 23:36скачать
4 модели несовершенной конкуренции.doc210kb.23.06.2008 03:18скачать
список.doc24kb.24.06.2008 01:10скачать
Тема 5. Модели общего рыночного равновесия.doc120kb.23.06.2008 23:28скачать
Тема 6. Математические модели макроэкономики.doc99kb.30.06.2008 01:27скачать

3модели производства.doc

3.1 Введение

Производством называют процесс взаимодействия экономических факторов (факторов производства), завершаемый выпуском какой либо продукции. Правила, предписывающие определенный порядок взаимодействия экономических факторов составляют технологию производства. Производство является основной областью деятельности фирмы

Фирма - это организация, осуществляющая затраты экономических ресурсов (факторов производства) для изготовления продукции и услуг, которые она продает потребителям или другим фирмам.

Производство можно представить как систему “затраты-выпуск”, в которой выпуском является то, что фактически произведено, а затратами - то что потребляется для осуществления выпуска (капитал, труд, энергия, сырье). Формально можно сказать, что производство - это функция, которая определенному набору затрат и заданной технологии производства ставит в соответствие определенный объем выпуска. Конечной целью фирмы является получение наибольшей прибыли от реализации своей продукции. Прибыль представляет собой разность выручки от реализации произведенной продукции и издержек производства. Издержки представляют собой общий объем выплат за все виды затрат и (в общем случае) складываются из двух составляющих: постоянных издержек и переменных издержек.

Постоянные издержки представляют собой издержки, которые фирма несет независимо от объема выпуска (расходы на приобретение оборудования, различные регистрационные сборы и т. д.), т.е. расходы связанные с началом производства продукции.

Переменные издержки касаются использования имеющихся в распоряжении фирмы факторов производства и изменяются в соответствии с объемом выпуска продукции.

^ Задача фирмы сводится к поиску такого сочетания между затратами факторов производства и выпуском продукции, который обеспечил бы ей наибольшую прибыль. Двойственной к этой задаче является задача минимизации издержек фирмы при сохранении заданного объема выпуска продукции. Таким образом, основными факторами, которые должны быть учтены при решении задачи фирмы являются: выпуск продукции, затраты факторов производства, цены выпуска, цены затрат факторов производства, существующая технология производства продукции.
^ 3.2 Пространство затрат. Производственная функция

Будем предполагать, что фирма производит n различных видов продукции. Обозначим через q = (q1, q2,…, qn)T вектор выпуска, компонентами которого являются выпуски каждого конкретного вида продукции. Предположим, что для осуществления выпуска используется m видов факторов производства. Обозначим через X=(x1,x2,…,xn)T вектор затрат факторов производства, компонентами которого являются объемы потребления каждого конкретного фактора.

Множество векторов выпуска продукции образуют, так называемое пространство выпуска



Множество векторов затрат факторов производства образуют так называемое пространство затрат



Технологическая связь между затратами факторов производства и объемом выпуска продукции описывается с помощью производственной функции

. Функция, q=f(x), которая каждому вектору затрат из пространства затрат ставит в соответствие максимальный выпуск, который может быть произведен при данных затратах факторов производства, называется производственной функцией фирмы.

В общем случае производственную функцию можно записать в неявной форме

F(x,q,A) = 0 ,где Aпредставляет собой технологическую матрицу размерами nxm.

Производственная функцию можно интерпретировать двояко

Если в качестве независимых аргументов рассматриваются затраты, то производственную функцию называют функцией выпуска.

Если в качестве независимых аргументов рассматриваются объемы выпуска, то производственную функцию называют функцией затрат.

В дальнейшем, для простоты выкладок мы будем предполагать, что фирма выпускает только один вид продукции.

С понятием производственной функции связано понятие предельного продукта.

Предельным продуктом i-го фактора производства ( MPi- marginal product (англ.)) называют дополнительный объем выпуска продукции, который будет получен при увеличении потребления каждой дополнительной единицы данного фактора производства



Производственная функция обладает следующими свойствами:

1. C увеличением потребления какого либо фактора производства выпуск продукции возрастает:



2. C увеличением объема потребления какого либо фактора скорость выпуска продукции убывает:



3. Производственная функция является однородной функцией своих аргументов, т.е. если объем потребления всех факторов производства увеличится в одинаковых пропорциях , то выпуск продукции не должен упасть:

,

где представляет собой степень однородности.

Рассмотрим основные виды производственных функций:

1. Неоклассическая производственная функция (ПФ Кобба-Дугласа):



Здесь величины a1,a2,…,am представляют эластичности выпуска к изменению объема соответствующего фактора производства, А - масштабирующий множитель или коэффициент отдачи от масштаба.

Чтобы учесть технологический прогресс функция Кобба-Дугласа записывается следующим образом.

f(x1, x2,…, xm) = Aevt

t – время, v – константа характеризующая темп технологического прогресса

2. Производственная функция “затраты-выпуск” (функция Леонтьева):



Эта функция задает пропорции, в которых осуществляется потребление затрат факторов производства для осуществления выпуска одной единицы продукции. Величины a1,a2,…,am представляют собой пропорции объемов потребления соответствующих факторов производства.

3. Линейная производственная функция:



Данное семейство функций полезности описывает ситуацию, когда факторы производства являются полностью взаимозаменяемыми. Коэффициенты a1,a2,…,am представляют собой пропорции, в которых один фактор может быть заменен другим.

^ 3.3 Модель совершенной конкуренции

Модель совершенной конкуренции предполагает, наличие на рынке большого числа фирм, производящих данную продукцию и потребляющих одинаковые факторы производства. Это означает, что ни один из участников рынка не может за счет выбранной им стратегии повлиять ни на цену единицы выпуска, ни на цены факторов производства, т.о. модель СК предполагает, что цена единицы выпуска и цена факторов производства являются const (постоянными величинами)

Задача производителя может рассматриваться как в условиях краткосрочного периода, так и в условиях долгосрочного периода.

. Краткосрочный период предполагает, что период производства продукции является недостаточно длительным, для того чтобы фирма могла полностью задействовать все ресурсы производства продукции и, следовательно, фирма ограничена в потреблении того или иного фактора производства, кроме того в этом периоде следует учитывать постоянные издержки производства.

Долгосрочный период предполагает, что производство осуществляется в течение достаточно длительного промежутка времени, что позволяет фирме не быть ограниченной в объемах потребления того или иного фактора производства. Кроме того, в долгосрочном периоде отсутствуют фиксированные издержки, связанные с началом производства продукции.


^ 3.4 Решение задачи производителя в долгосрочном периоде

Пусть p- цена единицы продукции, выпускаемой фирмой, и wj - цена единицы затрат j-го фактора производства, так что w=(w1,w2,…,wn)T - вектор цен факторов производства, X=(x1,x2,…,xn)T - издержки производства данного выпуска. Предполагается, что цель фирмы заключается в максимизации прибыли путём выбора объема выпуска продукции, а также выбора объема потребления производственных рес. При этом цены факторов производства и выпускаемой продукции предполагаются равными const.

Математически задачу производителя в долгосрочном периоде можно записать следующим образом:



Здесь R = pq- выручка от реализации произведенной продукции, –В качестве ограничения выступает существующая технология производства продукции (производственная функция).



Решение задачи производителя осуществляется в два этапа:

  1. Минимизация издержек производства.

  2. Максимизация прибыли

1. Минимизация издержек производства.

На данном этапе необходимо определить с какими минимальными издержками она может осуществить заданный объем выпуска продукции q. Минимизация издержек осуществляется за счет выбора объемов потребления факторов производства.

Задача минимизации издержек может быть записана следующим образом:



Данная задача представляет собой задачу нелинейного программирования.

Для решения этой задачи составим функцию Лагранжа:

L (x1,…..,xm,)=-(f(x1,…..,xm)-q)

и найдем ее точки минимума. Точки, в которых функция Лагранжа достигает своего минимума, находятся среди стационарных точек, удовлетворяющих условиям:



Имеем



Ошибка не лямбда, а 1 делить на лямбда.

Отсюда получаем условия первого порядка минимизации издержек производства: в точке, где издержки производства минимальны, отношение предельных продуктов любых двух факторов производства должно совпадать с отношением цен этих факторов:



Решением данной системы уравнений являются функции спроса на факторы производства и зависят от цен факторов производства и заданного объема выпуска продукции:



Из свойств производственной функции следует, что данные соотношения определяют точку, в которой функция Лагранжа достигает своего минимума, т.е. данные соотношения являются решениями задачи минимизации издержек фирмы и функции спроса позволяют определить объемы потребления факторов производства в зависимости от их цен и объема выпуска продукции.

Функция издержек в этом случае равна совокупной стоимости потребляемых факторов производства:



И она показывает минимальные издержки с которыми производитель может осуществить заданный объем выпуска продукции q.

Введем понятия средних издержек и предельных издержек.

Средними издержками производства AC (average cost) называют издержки приходящиеся, в среднем, на выпуск одной единицы продукции при общем объеме выпуска q.



Предельными издержками производства называют издержки, приходящиеся на выпуск каждой дополнительной единицы продукции при общем объеме выпуска q.



2. Максимизация прибыли производителя

На данном этапе, зная с какими минимальными издержками, он может осуществить выпуск заданного объема продукции, производитель выбирает такой объем выпуска q, который бы обеспечивал ему максимальную прибыль.

Задача максимизации прибыли имеет следующий вид:



Точкой максимума прибыли будет стационарная точка функции П(q), которая определяется из условия:



Отсюда мы получаем, что максимум прибыли производителя обеспечивает такой объем выпуска продукции , при котором цена единицы выпуска совпадает с предельными издержками данного объема выпуска:

.

Данное уравнение называют решением производителя в условиях совершенной конкуренции.

Пример:

Предположим, что для производства продукции используются два фактора и производственная функция имеет вид:



w1, w2 - цены факторов производства, р – цена единицы выпуска

1. минимизация издержек

условия первого порядка (вместо х1 и х2 МР1 и МР2):



В этом случае, предельные продукты факторов производства МР1 = х2, МР2 = х1 и условия минимума издержек производства приобретают следующий вид:



и, следовательно, функции спроса на факторы производства имеют вид:



Отсюда получаем, что функция издержек:



2. максимизация прибыли

Предельные издержки производства:

√ (w1w2/q)

Отсюда определяем оптимальный объем выпуска:

√ (w1w2/q)

Р2 = w1w2/q => q* = w1w2/p2
^ 3.5 Решение задачи производителя в краткосрочном периоде

Вспомним, что в краткосрочном периоде у производителя могут возникнуть ограничения в объеме потребления того или иного фактора производства. Кроме того, при решении задачи производителя в краткосрочном периоде следует учитывать фиксированные издержки, связанные с организацией производства.

В силу изложенного, задача фирмы в условиях краткосрочного периода будет выглядеть следующим образом:



Здесь неравенства представляют собой ограничения на объемы потребления факторов производства. Точно также, как и в долгосрочном периоде решение задачи фирмы разбивается на два этапа:

1. нахождение функции издержек (решение задачи минимизации издержек),

2. нахождение объема выпуска, максимизирующего прибыль производителя.

Следует отметить, что в условиях краткосрочного периода производитель несет большие издержки, чем в долгосрочном периоде (при одинаковых ценах выпуска и факторов производства).


^ 3.6 Изокванты и изокосты

Попытаемся дать (по аналогии с решением задачи потребительского выбора) геометрическую интерпретацию решения задачи производителя. С этой целью введем понятия изокванты и изокосты.

Изоквантой уровня q* для производственной функции q = f(x1,…,xm) называется множество всех векторов затрат факторов производства x = (x1,…,xm)T использование которых приводит к выпуску q* единиц продукции



Предположим, что в производстве продукции задействовано два фактора:

1. х1- количество единиц первого товара,

2. х2- количество единиц второго товара.

Тогда изокванты рассмотренных нами производственных функций выглядят следующим образом:

1. Линейная производственная функция.

Вспомним, что в этом случае производственная функция имеет вид:



Следовательно, уравнение изокванты:







Таким образом, в случае линейной производственной функции изокванты представляют собой прямые линии с отрицательным коэффициентом наклона к положительному направлению оси абсцисс.



2. Производственная функция Кобба-Дугласа.

Вспомним, что производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:



Отсюда получаем уравнение изокванты:





Изокванты представляют собой семейство гипербол, расположенных в первой координатной четверти.



3. Производственная функция Леонтьева.

Как мы знаем, в этом случае функция полезности имеет вид:



Отсюда получаем, что уравнения изоквант имеют следующий вид:



Графически семейство изоквант можно представить следующим образом:



Изокостой уровня C* называется множество всех векторов затрат факторов производства x = (x1,…,xm)T , стоимость которых равна C* (обеспечивается одинаковый уровень издержек производства)



Предположим, что в производстве продукции задействовано два фактора:

1. х1- количество единиц первого товара,

2. х2- количество единиц второго товара.

Тогда уравнение семейства изокост имеет следующий вид:



Следовательно, уравнение изокосты:



Графически семейство изокост можно представить следующим образом:



Семейство изокост представляет собой семейство параллельных прямых которые расположены в 1-й четверти и имеют отрицательный наклон к положительному направлению оси абсцисс.
^ 3.7 Графическая интерпретация решения задачи фирмы

Предположим, что в производстве продукции задействовано два фактора:

х1- количество единиц первого товара, х2- количество единиц второго товара.

Тогда производственная функция имеет следующий вид: q = f(x1, x2). Рассмотрим уравнение изокванты уровня q*:



Продифференцируем по переменной x1 обе части равенства. Используе правило дифференцирования неявной функции получаем:





Величина TRS12 называется технологической нормой замещения факторов производства. Она показывает, в какой пропорции один фактор может быть заменен другим без изменения объема выпуска

Рассмотрим уравнение изокосты C*:



Рассмотрим x2 как неявную функцию от переменной x1. Продифференцируем по переменной x1 обе части равенства. Получаем:





Вспомним, что условия первого порядка для решения задачи минимизации издержек фирмы имеют следующий вид:



Иначе говоря:



Это означает, что в точке, соответствующей минимальной стоимости затрат для производства заданного объема выпуска, наклон касательной к изокванте соответствующего уровня совпадает с наклоном изокосты, т. е. этой точкой является точка касания изокванты и изокосты.

Чем северо-восточней на координатной плоскости находится изокванта, тем большему объему выпуска она соответствует. Поскольку изокванты и изокосты заполняют собой все пространство затрат, то соединив их точки касания, мы получаем непрерывную линию. Данную линию называют долгосрочной линией развития производства. Эта линия показывает, каким образом должно изменяться соотношение потребления факторов производства для увеличения выпуска продукции с минимальными издержками.




Скачать файл (327.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации