Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по ЭММиМ - файл Тема 6. Математические модели макроэкономики.doc


Лекции по ЭММиМ
скачать (327.4 kb.)

Доступные файлы (7):

1. Модели и моделирование.doc34kb.15.06.2008 17:22скачать
2модели потребительского выбораd.doc321kb.19.06.2008 21:49скачать
3модели производства.doc147kb.19.06.2008 23:36скачать
4 модели несовершенной конкуренции.doc210kb.23.06.2008 03:18скачать
список.doc24kb.24.06.2008 01:10скачать
Тема 5. Модели общего рыночного равновесия.doc120kb.23.06.2008 23:28скачать
Тема 6. Математические модели макроэкономики.doc99kb.30.06.2008 01:27скачать

Тема 6. Математические модели макроэкономики.doc

6.1 Введение.


В отличие от микроэкономики и теории общего равновесия макроэкономика рассматривает такие глобальные параметры национальной экономики как валовой внутренний продукт, фискальную политику, занятость, экономический рост.

В отличие от теоретико-игрового подхода, на основе которого строились математические модели микроэкономики и модели общего равновесия, для моделирования макроэкономических систем используется эконометрический подход.

Эконометрический способ построения математических моделей заключается в установлении функциональных связей и зависимостей между экономическими переменными с учетом стохастической (вероятностной) неопределенности и их количественного оценивания на основе наблюдаемых эмпирических данных.
^ 6.2 Статическая модель Леонтьева.

Предположим, что вся экономика состоит из n отраслей, каждая из которых производит свой вид продукции. xi - это общий выпуск i-й отрасли.

Предполагается, что определенная доля выпуска каждой отрасли расходуется, во-первых, в непроизводственной сфере, а, во-вторых, используется в качестве ресурсов производства в других отраслях экономики.

ci – объем потребления продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере,

aij - доля выпуска i-й отрасли потребляемая j-й отраслью.

Из условия рыночного равновесия следует, что спрос на продукцию отрасли должен равняться предложению отрасли. Таким образом, мы имеем следующие n уравнений:



Здесь левая часть отражает выпуск, а правая – затраты и конечный спрос.

Перейдём к векторно-матричным обозначениям.

X = (x1,…,xn)T – вектор выпуска, C = (с1,…,сn)T – вектор потребления в непроизводственной сфере, А = [aij] – технологическая матрица прямых затрат.

Тогда условие равновесия примет вид:

X = AX + C.

Данную систему уравнений называют системой уравнений Леонтьева (статической моделью экономики Леонтьева. При этом следует учитывать, что вектор выпуска и вектор потребления продукции С должны быть неотрицательными величинами.

Предположим, что у нас заданно технологическая матрица и потребление продукции в непроизводственной сфере, тогда:

X – AX = C

(I - A)X = C, I – единичная матрица

Х = (I - A)-1C

Если для любого неотрицательного объема потребления в непроизводственной сфере соответствует неотрицательное значение вектора выпуска Х, то в этом случае говорят о том, что модель Леонтьева является продуктивной.
^ 6.2 Продуктивность модели Леонтьева
Пусть имеется матрица Ynxn . Говорят, что матрица Y является неотрицательно определенной Y≥0 в том случае когда для любого ненулевого вектора z соответствующей размерности z ≠ 0 выполняется следующее соотношение zTYz ≥ 0

Число λ – собственное число матрицы Ynxn, если оно удовлетворяет следующим соотношениям det(Y-Iλ) = 0.

Модель Леонтьева является продуктивной в том случае, когда выполняется хотя бы 1 из следующих условий:

  1. Матрица (I-A)-1 ≥ 0 – является неотрицательно определенной

  2. Бесконечный матричный ряд I+A+A2+….=(I-A)-1 сходится и равняется (I-A)-1

  3. Наибольшее собственное значение матрицы А по модулю < 1 │λmax│< 1

Следовательно из условий матрица А является продуктивной, а следовательно и модель Леонтьева является продуктивной.

^ 6.4 Рыночное равновесие в модели Леонтьева

Точно также как и модель Вальрасо, модель Леонтьева может быть использована для нахождения параметров общего рыночного равновесия. Более того, все состояния равновесия которые будут получены с помощью модели Леонтьева всегда будут экономически значимыми.

Будем предполагать, что экономика включает в себя n различных отраслей и каждая из них производит свой вид продукции.

Обозначим через xj – выпуск j-ой отрасли, xij – количество единиц продукции i-ой отрасли используемых для функционирования j-ой отрасли.

Будем предполагать, что помимо продукции других отраслей для производства в каждой отрасли используются m видов ресурсов производства.

y1,…,ym – первоначальные факторы производства. rij – количество единиц i-го ресурса используемого дл производства продукции в j-ой отрасли.

Обозначим через аij(t) – количество единиц i-ой отрасли необходимый для производства 1 единицы продукции в j-ой отрасли, bij – количество единиц i-го ресурса используемого для выпуска 1 единицы продукции j-ой отрасли.



В этом случае производственная функция экономики принимает следующий вид:
- производственная функция Леонтьева

rij = bijxj

Просуммируем данное равенство по j

- спрос на i-ый фактор производства

Обозначим через r1,…,rm – объем предложения факторов производства.

Поскольку спрос на факторы производства в условиях рыночного равновесия, то спрос на каждый фактор производства не должен превышать его предложение, то должно выполняться следующее соотношение:



Введем векторно-матричное обозначение.

Bx≤r

Bmxn = [bij] – технологическая матрица факторов производства, r – вектор начальных запасов факторов производства, w = (w1,w2,…,wm)T - вектор цен факторов производства, p = (p1,p2,…,pn)T – вектор цен товаров.

Каковы будут издержки которые связаны с выпуском единицы продукции j-ой отрасли.

- предельные издержки которые связаны с выпуском единицы продукции j-ой отрасли.

Мы предполагаем, что экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции. Следовательно предельные издержки связанные с выпуском 1 единицы продукции каждой отрасли не должны превышать рыночную цену единицы продукции отрасли.

Переписав эти выражения в векторно-матричной форме получаем:

PTA + wTB ≥ pT <=> pT(I-A)­-1 ≤ wTB

Таким образом задача поиска общего рыночного равновесия может быть сформулирована следующим образом.



максимизация осуществляется за счет выбора вектора выпуска отрасли Х.

X=(I-A)-1C

C=(I-A)X



Здесь переменными для определения общего рыночного равновесия является объем выпуска отрасли, а цены предполагаются заданными.

Задача нахождения общего рыночного равновесия может быть сформулирована также в двойственной постановке. В этом случае объем выпуска отрасли считается заданным, а переменными по которым осуществляется нахождение общего рыночного равновесия выступают цены.

Предполагается, что критерии оптимальности функционирования экономики является минимизация стоимости первоначальных факторов производства (минимизация национального дохода)



Задача нахождения общего рыночного равновесия в двойственном виде.

При этом все найденные соотношения в результате решения задачи будут иметь экономическую интерпретацию.
^ 6.4 Динамическая модель Леонтьева

Рассмотрим как будет развиваться ситуация с течением времени. Время t измеряется дискретно, с временным лагом равным 1, т.е. t = 0, 1, 2,… Предполагается, что в каждый момент времени t каждая отрасль осуществляет инвестиции в другие отрасли экономики.

Обозначим через Kij(t) – объем инвестиций i-ой отрасли в j-ую в момент времени t.

xj(t) - xj(t-1) – прирост производства j-ой отрасли в момент времени t

- доля инвестиций i-ой отрасли в прирост производства продукции j-ой отрасли.

Обозначим через аij(t) – объем продукции i-ой отрасли необходимый для функционирования j-ой отрасли в момент времени t.

Через сi(t)- потребление продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере в момент времени t.



Введем векторно-матричное обозначение:

X(t) = (x1(t),…,xn(t))T, A(t) = [aij(t)],

X(t) = (x1(t),…,xn(t))T – вектор выпуска в момент времени t, C(t) = (с1(t),…,сn(t))T – вектор потребления в непроизводственной сфере в момент времени t, А(t) = [aij(t)] – технологическая матрица прямых затрат в момент времени t, k(t) = [kij(t)] - вектор долей инвестиций в момент времени t.

X(t) = A(t)X(t)+k(t)(X(t)-X(t-1))+C(t)

X(t)- A(t)X(t) - k(t)X(t) = C(t) - k(t)X(t-1)

X(t)(I- A(t) - k(t)) = C(t) - k(t)X(t-1)

X(t) = (I- A(t) - k(t))-1 (C(t) - k(t)X(t-1))
^ 6.5 Динамическая модель экономики Неймана
Модель экономики Неймана является замкнутой. Все выпуски предыдущего периода становятся затратами следующего периода и наличие первоначальных факторов производства не предполагается. Кроме того, модель Неймана предполагает, что осуществляется сбалансированный рост экономики с течением времени (пропорциональное увеличение объемов выпуска каждой из отраслей).

Предполагается, что экономика производит n видов товара. Производство товаров осуществляется с помощью р отраслей производства. Каждая отрасль способна производить любой из n товаров.

Обозначим ч/з yi(t) – интенсивность функционирования i-ой отрасли в момент времени t.

Обозначим через y(t)= ( y1(t), …yp(t))T – вектор интенсивности – показатель значимости функционирования отрасли в данный момент времени t. Σ yi(t)=1. 1≥yi≥0

Обозначим через вектор p(t)= (p1(t), …pn(t))T- вектор цен товаров.

Предполагаем, что цены являются относительными, т.е.

Технология пр-ва в модели Неймана описывается с помощью 2-х матриц:

А= [аij] n x p – матрица затрат. Где аij – затраты продукции i-го вида, которые используются при функционировании j-ой отрасли с интенсивностью = 1.

В = [bij] n x p - матрица выпуска. Где bij – выпуск i-го вида продукции, которая получится при функционировании j-ой отрасли с интенсивностью = 1.

– общие затраты i-ого вида продукции в момент времени t за счет функционирования j-ой отрасли

А(t) y(t)- общие затраты в экономике в момент времени t

В(t) y(t) – общий выпуск в экономике в момент времени t

Предполагается, что время t измеряется дискретно, с временным лагом равным 1, т.е. t = 0, 1, 2,… Тогда длительность периода производства продукции равна 1 временному циклу.

Поскольку мы предполагаем замкнутость экономики, то общие затраты в каждый следующий момент времени не могут превышать общего выпуска в предшествующий момент времени: А(t +1) y(t +1) ≤ В(t) y(t) =>

Если для какого-либо ресурса выполняется строгое неравенство объем S > объем D, то => рыночная цена на данный ресурс снижается до нуля. Поэтому имеет место следующее соотношение: рT(t +1) А(t +1) y(t +1) = pT(t+1) B(t) y(t)

Мы предполагаем, что в экономике имеет место совершенная конкуренция. В условиях совершенной конкуренции при условии, что в экономике имеет место состояние рыночного равновесия, то ни по какому виду товаров не м.б. получена прибыль, т.е.



Предельная выручка не м. превышать предельных издержек.

Если для какого-либо вида ресурсов выполняется строгое неравенство объем S > объем D, то прибыль становится отрицательной от данной продукции и интенсивность выпуска становится = 0, пр-во прекращается.

pT(t+1) A(t+1) y(t+1) = pT(t+1) B(t) y(t)

Экономика функционирует в состоянии рыночного равновесия => с течением времени не м.б. получена прибыль => должно выполняться следующее соотношение:

pT(t+1) B(t+1) ≤ pT(t+1) А(t)

Интенсивность функционирования отрасли становится равной 0

pT(t+1) B(t+1) y(t+1)= pT(t+1) А(t) y(t+1)

Будем предполагать, что в экономике имеет место сбалансированный рост производства, т.е. интенсивность выпуска всех отраслей возрастает с одинаковым темпом роста λ

y(t+1) = (1+ λ) y(t) = (1+ λ)Т y(0)

В экономике существует % ставка => существует дисконтирование цен:

рi (t+1) = рi (t) / 1+ ро ( ро – норма %)

р(t+1) = рi (t) / 1+ ро = (1+ ро)-tр(0)

A(t+1) y(t+1) ≤ B(t) y(t)





Будем предполагать, что компоненты матрицы выпуска и матрицы затрат не зависят от времени. В этом случае мах темп сбалансированного роста и минимальная норма % будут равны между собой.


Траектория развития экономики, которая соответствует мах тепу экономического роста называется луч Неймана.


Скачать файл (327.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации