Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекция - Численные методы - файл GAUSS10.DOC


Лекция - Численные методы
скачать (3585.3 kb.)

Доступные файлы (16):

240-0664.INF
FILE_ID.DIZ
GAUSS10.DOC206kb.28.05.1997 19:18скачать
GAUSS11.DOC182kb.28.05.1997 19:23скачать
GAUSS12.DOC643kb.28.05.1997 19:30скачать
GAUSS1.DOC108kb.25.05.1997 18:59скачать
GAUSS2.DOC298kb.25.05.1997 19:00скачать
GAUSS3.DOC232kb.01.04.1997 23:07скачать
GAUSS4.DOC71kb.28.05.1997 19:10скачать
GAUSS5.DOC153kb.25.05.1997 19:54скачать
GAUSS5X.DOC178kb.09.04.1997 21:41скачать
GAUSS6.DOC188kb.28.05.1997 19:03скачать
GAUSS7.DOC247kb.28.05.1997 19:15скачать
GAUSS8.DOC420kb.20.04.1997 16:51скачать
GAUSS9.DOC430kb.20.04.1997 11:58скачать
GOOD2.DOC232kb.29.03.1997 16:27скачать

содержание
Загрузка...

GAUSS10.DOC

Реклама MarketGid:
Загрузка...
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .
Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.

Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена



Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.

Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах


Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать



Пусть функция задана в двух точках и ее значения

Посстроим интерполяционный многочлен первой степени



Производная равна



Производную функцию в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена

(1)

Величина называется первой разностной производной.

Пусть задана в трех точках

Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид



Берем производную



В точке она равна



Получаем приближенную формулу

(2)

Величина называется центральной разностной производной.

Наконец, если взять вторую производную

получаем приближенную формулу.

(3)

Величина называется второй разностной производной.

Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.

Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3).

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть произвольные точки, Тогда существует такая точка что



Доказательство. Очевидно неравенство



По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между и Значит существует такая точка что выполняет указанное в лемме равенство.

Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.

Лемма 2.

1.Предположим, что Тогда существует такая точка , что

(4)

  1. Если то существует такая точка , что

(5)

  1. Когда то существует такая, что

(6) Доказательство. По формуле Тейлора



откуда следует (4).

Если то по формуле Тейлора

(7)

где

Подставим (7) в Получаем



Заменяя в соответствии с леммою 1



получаем



Откуда и следует (6).

Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).

Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.

Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):



Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно (или порядка ), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно (или порядка ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок точности.

Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.

^ Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции в каждой точке удовлетворяет неравенству

(8)

Пусть в некоторой окрестности точки производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и удовлетворяют неравенствам

(9)

где - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин

Минимизация по этих величин приводит к следующим значениям :

(12)

при этом

(13)

Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении отрезок не выходит за пределы окрестности точки , в которой выполняется соответствующее неравенство (9), то найденное есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).


Скачать файл (3585.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации