Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Функции комплексной переменной - файл 1.doc


Лекции - Функции комплексной переменной
скачать (268 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc268kb.16.11.2011 08:47скачать

содержание

1.doc

Опорные конспекты лекций.


Тема : Функции комплексной переменной.


Комплексные числа.

Решение алгебраических уравнений – важнейшая задача математики. Стремление сделать разрешимыми уравнения различных типов приводит к необходимости расширения понятия числа.

Вид уравнения Тип числа ____ Множество:


x + a = b отрицательные и 0

a x = b дробные

====== > Q - рациональных чисел

x 2 = 2 иррациональные

=======> R - действительных чисел

x2 + 1 = 0 комплексные

========= > C - комплексных чисел

Корень уравнения х2 = - 1 наз. мнимой единицей и обозначается символом i (Эйлер). Символ i определяется условием i 2 = - 1 .

Опр. Комплексным числом наз. выражение вида а + b i , где а, b R , i - мнимая единица.

Обозначения: a + b i = z , a = Re z - действительная часть КЧ, b i = Im z - мнимая часть КЧ, b - коэффициент мнимой части.

При а = 0 имеем чисто мнимое число, при b = 0 - действительное число. КЧ z = a + b i и z* = a – b i наз. сопряженными , а форма записи КЧ алгебраической.

Пр. Решим уравнение x2 – 2x + 5 = 0 .

x1,2 = ( 2 )/2 = 1 = 1 = 1 = 1 2 i

Таким образом, корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются сопряженные КЧ.


^ Равенство КЧ. a + b i = c + d i означает равенство коэффициентов : a = c, b = d

Сложение КЧ. (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i - означает раздельное сложение вещественных и мнимых частей. (Это два определения.)

Пр. z1 = 2 – 3i , z2 = 1 + 4i , z1 + z2 = 3 + i , z + z* = 2 a


Умножение КЧ. (a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c)

Это обычное перемножение двучленов с учетом i 2 = - 1 .

Пр. z1 z2 = 14 + 5 i , z z* = (a + b i) (a - b i) = a2 + b2

т.е. произведение сопряженных КЧ есть число действительное.


Деление КЧ. Частным от деления двух КЧ z1 / z2 является третье КЧ z3 , произведение которого на делитель дает делимое z3 z2 = z1

Для того чтобы разделить два КЧ необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на КЧ сопряженное знаменателю


a + b i = (a + b i) (c – d i) = (a c + b d) + (b c – a d) i

c + d i (c + d i) (c – d i) c2 + d2



Пр. z1 / z2 = - 10/17 - 11/17 i

Степени i. i1 = i i4 n + 1 = i

i2 = - 1 i4 n + 2 = - 1 Пр. i24 = 1, i59 = i 56+ 3 = - i

i3 = - i i4 n + 3 = - i

i4 = 1 i4 n = 1

Геометрическая интерпретация КЧ.

Действительному числу соответствует точка на числовой оси, а КЧ a + b i соответствует точка M(a;b) на координатной плоскости или её радиус-вектор

Такая плоскость наз. комплексной плоскостью, ось Ох – действительной осью, ось Оу - мнимой осью. Модулем КЧ наз. модуль радиус-вектора .

| z | = r = =

Аргументом КЧ z = a + i b (Arg z) наз. угол между Ох и . Он определяется неоднозначно, с точностью до 2. Главное значение аргумента: arg z = , - < < .

Arg z = arg z + 2 k , k = 1,2,3, . . .

Алгоритм вычисления аргумента:

1) найти острый угол = arctg | b/ a | ; 2) определить квадрант , в котором находится ОМ ; 3) перейти от к по правилу : в 1 четверти = ; во 2 четверти = - ; в 3 четверти = + ; в 4 четверти = 2 -

Пр. Найти аргумент z = 1 – i .

= arctg |- /1| = arctg = / 3 . Вектор OM лежит в 4 четверти , следовательно, Arg z = ( 2 - ) + 2 k = 5/3 + 2 k , k N

Сложение двух КЧ геометрически означает сложение двух радиус-векторов.


Тригонометрическая форма КЧ.

Коэффициенты КЧ (a + b i ) можно выразить через его модуль и аргумент :

{ cos = a/ r , sin = b/ r } { a = r cos , b = r sin }


и записать КЧ в форме z = r [ cos (+ 2 k ) + sin (+ 2 k ) ],

которая наз. тригонометрической формой КЧ


Пр. Записать число z = - - i в тригонометрической форме.

Находим модуль r = [(-)2 + (-1)2 ]1/ 2 = 2. Определяем = arctg 1/ =/6. Вектор в 3 четверти arg z = +/ 6 = 7/ 6, z = - - i = 2( cos7/ 6 + i sin 7/ 6 ).


Пр. Записать число z = 2 (cos 3300 + i sin 3300 ) в алгебраической форме.

cos 3300 = cos (3600 – 300) = cos 300 = /2, sin 3300 = sin (3600 – 300) = - sin 300 = -1/2 ,

тогда a = 2 (/ 2) = , b = 2 (-1/2) = -1 и z = - i .

^

При перемножении и делении двух КЧ в тригонометрической форме


z1 = r1 ( cos 1 + i sin 1 ) , z2 = r2 ( cos 2 + i sin 2 )
^

используют тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и получают


z1 z2 = r1 r2 ( cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2 ) )

z1 / z2 = r1/ r2 ( cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2 ) )

z n = [r ( cos + i sin )] n = r n ( cos n + i sin n )

= [ cos (+ 2 k)/ n + i sin (+ 2 k)/ n ) ] , где k = 0,1,2, . . ., n – 1 .

Умножение КЧ теперь сводится к умножению их модулей и сложению аргументов, а деление КЧ к делению модулей и вычитанию аргументов. Появление n решений при извлечении корня связано с тем, что все значения Arg z = (+ 2 k ) уменьшаются в n раз и самые первые n значений аргумента становятся меньше 3600 , т.е. становятся главными значениями аргумента - arg z . Они различны, но при возведении корней в степень n получаем одинаковый результат.


Пр. Пусть arg z = 400, тогда Arg z = arg z + 2k , где k = 0,1,2, . . . или

z 400 , 4000 , 7600 , 11200 ,… Имеем 1 главное значение аргумента.

z2 800 , 8000 , 15200 , 22400 , … Имеем 1 главное значение аргумента.

z1/2 200 , 2000 , 3800 , 5600 , … Имеем 2 главных значения аргумента.

z1/4 100 , 1000 , 1900 , 2800 , … Имеем 4 главных значения аргумента.


Показательная форма КЧ.

Существует формула Эйлера exp (i ) = cos + i sin , которая приводит к показательной форме КЧ

z = a + i b = r (cos + i sin ) = r exp (i )

( I ) ( II ) ( III )

В алгебраической форме ( I ) КЧ удобно складывать и вычитать, а в тригонометрической форме ( II ) и в показательной ( Ш ) умножать, делить.


= , / =

, , где k = 0,1,2,3, . . . , n - 1 .


Рассмотрим извлечение корней из действительных чисел. Пусть z = a и a > 0 , т.е. перед числом а стоит множитель 1 = (cos 0 + i sin 0) или – 1 = (cos + i sin). Тогда, при z > 0 z1/n = а1/n (cos + i sin), где k = 0,1,2, . . ., n – 1 , а при z < 0 z1/n = а1/n (cos + i sin),

Пр. = (cos 0 + i sin 0)1/4 = cos 2k/4 + i sin 2k/4 ,

где k = 0,1,2, 3. Получаем корни :

z 0 = (cos 0 + i sin 0) = 1, z 1 = (cos /2 + i sin /2) = i ,

z 2 = (cos + i sin) = - 1 , z 3 = (cos 3/2 + i sin3/2) = - i

Проверка : ( 1 )4 = ( i )4 = ( -1 )4 = ( -i )4 = 1 .


Пр. Вычислить ( - 81 )1/.4 . Решение (- 81 )1/ 4 = ( - 1 81 )1/4 = ( cos + i sin )1/ 4

= 3 ( cos (+ 2 k )/ 4 + i sin (+ 2 k )/ 4 ) , k = 0, 1, 2, 3 .

z0 = 3( cos / 4 + i sin /4 ) = 3/( 1 + i )

z1 = 3 ( cos (/4 +/2 ) + i sin(/4 +/2)) = 3/( 1 - i )

z2 = 3 ( cos (/4 + ) + i sin(/4 + ) ) = 3/( -1 - i )

z3 = 3 ( cos (/4 + 3/2) + i sin(/4 + 3/2) ) = 3/( 1 - i )

Решения изображают 4 вектора с r = 3/ и 0= /4, 1 =3/4, 2 =5/4, 3 =7/4


Таблица 1 . 00 300 450 600 900

sin 0 1/2 /2 /2 1

cos 1 /2 /2 ½ 0

^ Таблица 2


900- 900+ 1800- 1800+ 2700 - 2700 + 3600 - .

sin sin cos cos sin - sin - cos - cos - sin

cos cos sin - sin - cos - cos - sin sin cos


Пр. Даны z1 = 12 ( cos 2250 + i sin 2250) , z2 = 3/2 ( cos 750 + i sin 750). Найти z1 z2 , z1 /z2

z1 z2 = 18 ( cos (2250+ 750) + i sin (2250 + 750)) = 18 (cos(3600 – 600) + i sin(3600 – 600)) =

= 18 ( cos 600 - i sin 600 ) = 18 ( ½ - i /2 ) = 9 - 9 i

z1/ z2 = 8 (cos (2250– 750) + i sin(2250 – 750)) = 18 (cos (1800 – 300) + i sin (1800– 300)) =

= 8 (- cos 300 + i sin 300 ) = 8 ( - /2 + i ½ ) = - 4 + 4 i


Ряды с КЧ.

Рассмотрим ряд (a) с общим членом zn = xn + i yn . Он разделяется на два ряда с действительными числами и . Из сходимости этих рядов следует сходимость исходного ряда. Составим ряд (b) из модулей|zn| = Т.к. |xn| < rn , |yn| < rn , то из сходимости ряда (b) по признаку сравнения следует сходи-мость рядов и , что обеспечивает абсолютную сходимость ряда (a). Таким образом, ряд с КЧ абсолютно сходится, если сходится ряд из модулей этих КЧ. !!!

Рассмотрим степенной ряд (с), где an , z - КЧ. Составим ряд из модулей , где An = |an| , r = |z|. По теореме Абеля такой ряд сходится в интервале

-R < r < R . Следовательно, степной ряд (с) сходится для z из круга радиуса R : |z| < R.


Области и линии на комплексной плоскости.

От КЧ z = a + ib перейдем к комплексной переменной величине (КП) z = x + iy , где x, y могут изменяться в определенных пределах.

Опр. - окрестностью точки z0 наз. множество всех точек z , для которых |z – z0| <, > 0 . В проколотой - окрестности исключается сама точка z0. Областью G комплексной плоскости наз. множество точек, каждая из которых имеет свою - окрестность и может быть соединена с другими точками непрерывной кривой. Границей области G наз. множество точек, которые не принадлежат G , но в ближайшей окрестности имеют точки из G.

Область комплексной плоскости, в пределах которой изменяется КП, наз. односвязной, если ее ограничивает непрерывная, замкнутая и не самопересекающаяся линия (кривая Жордана). Если область ограничена несколькими замкнутыми линиями (n), то она наз. многосвязной. В качестве дополнительного контура может быть отдельная точка или линия.



n = 1 n = 2 n = 3

Любую кривую на плоскости F(x,y) = 0 можно представить в комплексной форме. Достаточно сделать замену x = (z + z*)/2 , y = (z – z*)/2i. Тогда уравнения оси Ох и






Скачать файл (268 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации