Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по системному анализу - файл sys6.doc


Загрузка...
Лекции по системному анализу
скачать (655.2 kb.)

Доступные файлы (7):

system an.doc46kb.27.09.2004 14:30скачать
sys1.doc176kb.23.09.2004 14:19скачать
sys2.doc97kb.01.10.2004 18:06скачать
sys3.doc32kb.06.10.2004 17:57скачать
sys4.doc116kb.30.10.2004 01:55скачать
sys5.doc270kb.17.11.2004 11:08скачать
sys6.doc1064kb.30.11.2004 17:25скачать

sys6.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Раскрытие неопределенностей в задачах системного анализа (продолжение)


Использование технических ограничений. Ряд методов раскрытия неопределенностей целей основан на использовании априорной информации о заданных целях. Как ограничения сверху, так и ограничения снизу можно привести к одной из форм. Пусть заданы ограничения вида:

(1)

Для упрощения решения задачи запишем (1) исходя из одного вида ограничений: только ограничение сверху или только ограничению снизу.

Ограничение сверху:



или ограничение снизу:



Положим, что априорно введены ограничения на целевые функции в виде

, (2)

или

, . (3)

При этих ограничениях необходимо обеспечить

, . (4)

Для такой постановки возможны различные варианты раскрытия неопределенностей целей на основе приведения многоцелевой задачи к стандартной однокритериальной.

Вариант 1. Введем для каждого значения функцию,

(5)

и будем определять такие значения , которые соответствуют условию . Здесь - допустимая многомерная область изменения вектора , заданная, например, с помощью конструктивных или технологических ограничений. При такой постановке задачи гарантируется, что в наихудшем случае, который соответствует , обеспечивается максимальное значение . Такая задача обеспечения является максиминной задачей оптимизации.

Вариант 2. Введем для каждого значения функцию

(6)

и будем определять такое значение , при котором функция имеет минимальное значение

(7)

При данной постановке задачи гарантируется, что ее решение в наихудшем случае, который соответствует максимуму возможного отклонения , будет обеспечено минимальное значение . Такая задача обеспечения является минимаксной задачей оптимизации.

Отличие вариантов 1 и 2 состоит в том, что они относятся к разным условиям оптимальности. Вариант 1 обеспечивает максимально возможное отклонение среди всех от их заданных значений , поскольку такое отклонение обеспечивается для наихудшего случая, который характеризуется соотношением

. (8)

Вариант 2 относится к обратной задаче – задаче обеспечения возможного минимального отклонения всех от заданных значений . Такое отклонение достигается для наихудшего случая при условии

. (9)

Пример. Требуется найти область Парето и определить условия

рационального компромисса для заданных целевых функций

(10)

при следующих ограничениях

.


Рис. 1. Определение множества Парето для системы 10

Вначале определим множество Парето на интервале , где выполняются неравенства

,

или

(11)

Аналитическое решение системы неравенств (11) показывает, что искомое множество Парето находится в интервале ( рис. 1.).

Для сужения области Парето и сведения исходной двухкритериальной задачи к однокритериальной воспользуемся техническими ограничениями, основанными на принципах минимакса и максимина . Значения отношений и на интервале с шагом сетки 0.1 приведены в табл. 1.

Таблица 1. Значения отношений и




1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5



1

1.089

1.185

1.288

1.396

1.511



1.25

1.2

1.15

1.1

1.05

1


Из таблицы видно, что в точке =1,2 выполняются условия . Таким образом, в качестве рационального компромисса для двух исследуемых функций следует выбирать стратегию =1,2.


^ Раскрытие неопределенности целей на основе приведения к системе уравнений. Рассмотренные выше приемы раскрытия неопределенности целей основаны на приведении исходной многоцелевой задачи к одно-целевой оптимизационной задаче того же вида, в частности, к задаче минимизации или максимизации одного функционала.

Теперь рассмотрим иной подход, который основан на приведении задачи раскрытия неопределенности целей к оптимизационной задаче, описываемой системой уравнений. Вначале рассмотрим задачу, в которой заданы ограничения вида (2) или (3). Положим, что для каждой цели требуется выполнить соответственно условия

, . (12)

Однако, как следует из рис.2, эти условия для различных функций выполняются не при одинаковых, а при значительно отличающихся значениях . Совокупность исходных ограничений представим в виде системы уравнений

, (13)

В практических задачах представляет собой вектор

,.

Поэтому (21) можно рассматривать как систему из уравнений с неизвестными . Очевидно, что способ решения этой системы зависит от соотношения




Рис. 2. Раскрытие неопределенности между и . Возможны для системы целей следующие случаи:

1) = ; 2) < ; 3) > . Наиболее простой случай = , для которого в ряде случаев можно раскрыть неопределенность цели, решив систему (13) одним из известных методов. При этом будет точно обеспечено условие (8) для каждой i -ой цели. Однако, даже при = не всегда можно найти решение системы (13) в силу противоречий целей. Пример, когда невозможно найти такое значение , при котором одновременно выполняется условие (8) для двух функций от двух переменных, представлен на рис.3. Здесь множество А образовано семейством кривых, для которого каждая кривая соответствует определенному численному значению функции . Множество В образовано семейством кривых, для которого каждая кривая соответствует определенному значению .

Кривые и определяют данные ограничения соответственно для и . Как видно из рис.3. не существует значений и , для которых одновременно выполняются условия =, =, поскольку кривые и не пересекаются.




Рис.3. Решение системы уравнений (13) для

В случае < система (13) является переопределенной, что позволяет произвольно варьировать некоторыми компонентами вектора . В общем случае максимальное число таких компонент может быть равно -. Простейшим приемом для решения задачи при < можно считать априорное задание значений некоторых переменных на основе интуиции и опыта ЛПР или на основе анализа соответствующих показателей известных прототипов изделий и проектов. В результате получаем, что система переходит к рассмотренному выше варианту =.

Третий случая >. При этом система (13) является несовместной, т.е. нельзя найти таких значений , чтобы выполнялись условия (8) для всех . Поэтому принято говорить, что в алгебраическом смысле несовместная система уравнений не имеет решений.

Методы решения несовместных систем управлений типа (13) разработаны в теории приближения функций. Для такой системы вследствие превышения количества уравнений по сравнению с числом переменных принципиально невозможно получить решение, которое обеспечит выполнение условия (13). Поэтому решение системы сводится к минимизации функций:

, .

Качество решения представленной системы характеризуется среднеквадратичным, чебышевским, среднестепенным критерием и рядом других характеристик. При этом, наиболее целесообразным с практической точки зрения является чебышевский критерий приближения функций. Для данного критерия чебышевская задача приближения системы (13) состоит в определении такого , для которого максимальная невязка

, (14)

принимаемая за меру чебышевского приближения системы (13), была бы минимально возможной

. (15)

Выполнение условий (15) означает, что при максимальное отклонение от нулевых значений системы функций будет минимально возможным. Выбор любого значения приведет к тому, что . Величина является аргументом, который обеспечивает минимизацию максимальной невязки, т.е.

.

Решение задачи (14), (15) для системы (13) можно получить с помощью различных методов:

- методов непосредственного решения чебышевской задачи приближения;

- методов приведения чебышевской задачи приближения к задаче линейного или нелинейного математического программирования.

По поводу данного приема следует сделать ряд существенных замечаний:

1. В общем случае, когда являются нелинейными, задача (14), (15) для системы (13) может иметь множество решений, каждое из которых принято называть локальным. При этом, локальное решение, которое обеспечивает минимально возможное среди всех локальных решений, принято называть глобальным. Глобальное решение указанной системы можно записать в виде:

,

где min(.) означает, что определяется минимум среди всех локальных решений, т.е. для любого локального решения имеем

и .

2. Кроме чебышевского можно использовать и другие критерии. В частности, наиболее общим из них является среднестепенной критерий. Обозначим

. (16)

Положим

, (17)

где - соответственно мера невязки и среднестепенной критерий приближения. Здесь является степенью среднестепенного критерия. На практике наиболее распространенным значением является =2 и соответствующий критерий принято называть среднеквадратичным

(18)

При использовании критериев (17), (18) задача приближения для системы (13) состоит в определении такого значения , для которого:

,

.

Нужно обратить внимание на одно принципиальное отличие чебышевского и среднестепенного (при ) критериев. Чебышевский критерий гарантирует, что абсолютное отклонение любой функции от заданного значения при выбранном не будет превышать величины . Среднестепенной критерий гарантирует, что в среднем (для соответствующей степени) отклонение всех функций не будет превышать величины . Но он не гарантирует, что отдельные функции не будут отклоняться на заранее заданную определенную величину . Поэтому, среднестепенной критерий не применим в задачах, где критичным является абсолютное отклонение определенных показателей и характеристик.

Среднестепенной критерий является наиболее общим в том смысле, что при среднестепенной критерий совпадает по величине с чебышевским критерием, а при является среднеквадратичным.

Представленные выше критерии в форме (15) для чебышевского приближения, и в форме (16) или (17) для среднестепенного критерия ориентированы на условие, при котором все цели являются равнопредпочтительными. На практике это условие редко выполняется, т.е. чаще всего имеет место предпочтение целей.

Поэтому рассмотрим случай, когда цели имеют разные степени важности, которые будем характеризовать коэффициентами важности . Тогда для чебышевского критерия величина невязки (14) будет определяться соотношениями:

. (19)

Задача будет состоять в нахождении такого x, чтобы невязка k была минимально возможной, т.е.

. (20)

Для среднестепенного критерия вместо (16) и (17) соответственно получим

, (21)

, (22)

Коэффициенты принято выбирать с учетом следующего условия нормирования:

. (23)

Следует обратить внимание на принципиальное отличие приема введения коэффициентов важности при линейной свертке и в данном случае. В линейной свертке коэффициенты важности взаимно связывают значения соответствующих функций, но при этом остается открытым вопрос - какое отклонение от заданного значения будет иметь соответствующая функция. В данном случае коэффициент важности непосредственно учитывает степень отклонения соответствующей функции от заданного значения (13) и (16), так как меняя значение одного или нескольких коэффициентов можно заранее знать, как это скажется на отклонении соответствующей функции от ее заданного значения.

Например, в результате решения задачи с использованием чебышевского критерия было определено, что . Пусть задано две функции и и их коэффициенты важности , . Тогда, в соответствие с (19) имеем:



Отсюда



что и подтверждает указанный выше вывод.

Из данного примера также следует, что

,

т.е. величина отклонения одной функции от заданного значения отличается от соответствующего значения отклонения другой функции обратно пропорционально их коэффициентам важности.


^ Раскрытие ситуационной неопределенности

Прежде всего введем определения двух типов неопределенностей: ситуационной и природной.

Ситуационная неопределенность характеризуется непредсказуемыми действиями неконтролируемых факторов различного происхождения (деятельность человека, стихийные бедствия, воздействия ноосферы и т.п.), вызывающие непредсказуемое поведение исследуемой системы.

^ Природная неопределенность возникает в результате случайных действий трудно прогнозируемых и трудно контролируемых факторов природы (осадки, наводнения, засуха и т.п.).

Рассмотрим задачу раскрытия ситуационной неопределенности на примере конкретной прикладной задачи. Предположим, что требуется проложить авиационный маршрут от Киева до Парижа, который должен быть рациональным исходя из времени полета; соответствовать международным коридорам полетов; обеспечивать приемлемый расход горючего; создавать необходимые условия для пассажиров и экипажа; соответствовать международным, европейским, региональным и национальным требованиям и условиям.

Очевидно, что решение данной задачи требует выполнения системного анализа множества разнородных факторов и условий, с целью определения необходимости выбора рациональных вариантов действий на различных стадиях разработки, реализации, эксплуатации маршрута. Рассмотрим только один из факторов, который существенно влияет на многие стороны практического использования маршрута. Таким фактором является время полета. Очевидно, что время полета зависит от многих априори известных факторов, в частности, от летно-технических показателей самолета, состояния и возможности аэродромов и т.д. Для удобства понимания особенностей задачи будем полагать, что все эти факторы характеризуются априори известным вектором . Имеются также факторы, действия которых априори неизвестны или могут изменяться в процессе полета. К ним, в частности, относятся метеоусловия по трассе полета, в районах аэродромов взлета и посадки, а также многие другие факторы. Все эти факторы будем характеризовать обобщенным параметром неопределенности .

Принимая во внимание, что общее время полета лимитировано, хотя время взлета и посадки имеет определенные допуски, действия экипажа должны быть направлены на минимизацию разности между заданным временем и временем продолжительности полета в реальных условиях ситуационной неопределенности. Указанная разность определяется соотношением

, (24)

а цель действий экипажа характеризуется условием

, (25)

где - показатель результативности действий экипажа в процессе полета при воздействии факторов неопределенности, который определяет значение вектора при выполнении условия (25). Вектор зависит от факторов неопределенности и поэтому является функцией обобщенного показателя

. (26)

В (425) является значением обобщенного показателя ситуационной неопределенности на момент принятия решения , а - является некоторым множеством типичных ситуационных неопределенностей, в частности, типичных метеоусловий, в различные времена года в окрестностях рассматриваемого маршрута полета. Важнейшей особенностью таких ситуационных неопределенностей является их высокая динамичность, и как следствие, трудность качественного изменения ситуации на маршруте в течение ограниченного времени. Поэтому в реальных ситуациях, как правило, информации о показателе  в виде сведений недостаточна для принятия однозначного решения на длительный период. В результате появляется необходимость его корректировки в процессе реализации.

Для решения задачи (25) можно использовать подход, который позволяет получить достаточно обоснованную, хотя и одностороннюю оценку. Такой подход базируется на принципе наилучшего гарантирования результата.

Пусть для любого х будет выполняться условие

, (27)

а для любого

. (28)

Здесь является гарантированной оценкой, а соответствующие - гарантирующей стратегией в том смысле, что каково бы ни было значение параметра неопределенности , выбор согласно формуле (28) гарантирует, что при любом  значение целевой функции не будет меньше, чем .

Для получения гарантирующей стратегии необходимо решить следующие оптимизационные задачи:

  • Вычислить для любого значение , в результате чего будут найдены: .

  • Вычислить , в результате будут определены:

.

Заметим, что гарантированную оценку можно улучшить, если знать заранее к моменту принятия решения некоторые сведения о параметре .

Таким образом, выбор гарантирующей стратегии - это рациональный способ принятия решения. В результате использования этой стратегии имеем следующий гарантированный результат: - каковы бы ни были неконтролируемые факторы, обеспечивается значение целевой функции не меньше, чем . Использование принципа гарантированного результата вида (28) позволяет найти наилучшее решение для наихудшего случая. Остается открытым вопрос: какова вероятность этого исхода и как находить решение для наиболее вероятного исхода.

Для этого надо принять решение, связанное с определенным риском. Риск характеризуется двумя показателями:

  1. Степенью риска, как вероятностью наступления нежелательных событий;

  2. Уровнем риска, выраженного в виде количественной оценки возможного ущерба.

Здесь принято различать два крайних случая: выбор стратегии производится многократно и выбор является однократной операцией. В обоих случаях предполагается, что  - случайная величина, закон распределения которой неизвестен. Поскольку  - случайная величина, то значение функции будет также случайной величиной. Поэтому целевую функцию исходной задачи, в тех случаях, когда речь идет о многократно повторяющихся операциях, целесообразно представить некоторой вероятностной характеристикой, например, .

Разумеется могут выбираться и другие критерии. Обозначим как среднее значение случайной величины ; ему будет отвечать некоторая функция , максимум которой можно использовать для оценки. Предположим, что параметр  принимает дискретные значения 1, 2, ... . Тогда условие (25) тождественно максимизации множества критериев

(29)

Если рассмотреть решение задачи раскрытия ситуационной неопределенности с помощью чебышевского приближения, т. е. на основе приведения исходной задачи к чебышевской задаче приближения для несовместной системы нелинейных уравнений, то решение можно характеризовать:

  1. Величиной вероятности наступления k-ой ситуации, характеризующейся ;

  2. Уровнем возможного ущерба .

Задача заключается в нахождении при каждом . В общем случае величина . В силу действия ситуационной неопределенности величина учитывает, насколько характеристики -ой цели отличаются от уровня рационального компромисса в силу действия ситуационных факторов.


^ Раскрытие неопределенности действий партнеров или противников в задачах конфликта стратегий

Третий тип неопределенности свойственен для активной практической деятельности людей в процессе выработки и осуществления ними стратегий достижения определенных целей.

Простейшая задача взаимодействия для двух партнеров может быть сформулирована следующим образом: взаимодействуют два партнера, каждый из которых имеет свою цель, но уровень достижения каждой из двух целей зависит от действий партнера.

Пусть и - соответственно целевые функции 1-го и 2-го партнеров, а - векторы параметров, значения которых могут изменять соответственно 1-й и 2-й партнеры. Партнеры в процессе активного взаимодействия могут обмениваться информацией о своих действиях. При этом может иметь место два следующих варианта обмена информацией:

  • вариант А – осуществляется полный обмен информацией о целях, действиях, показателях деятельности, и др., что типично, например, для производственного объединения (основное предприятие и его филиалы);

  • вариант В – осуществляется частичный обмен информацией, например, только об объеме производства конкретного вида продукции и др. показателях, которые характеризуются соответственно вектором или , но не сообщаются целевые функции, что характерно для деятельности партнеров при добросовестной конкуренции.

В варианте А неопределенность может быть обусловлена неполнотой информации о складывающейся и прогнозируемой ситуации на рынке сбыта и спроса. В этих условиях каждый из партнеров может действовать самостоятельно, а раскрытие неопределенности цели сводится к раскрытию неопределенности ситуации при известных , где и - показатели неопределенности ситуации.

В варианте В неопределенность может быть обусловлена действиями двух факторов: неопределенностью складывающейся ситуации и несогласованными действиями партнеров.

Вначале положим, что неопределенность ситуации отсутствует. В этом случае раскрытие неопределенности целей действий партнеров производится последовательно в результате выполнения следующих шагов:

Пусть партнер 1 считает необходимым для достижения своей цели иметь значение и сообщает об этом партнеру 2. Партнер 2 максимизирует собственную цель с учетом информации первого партнера, т.е., полагая известным , находит такое значение , при котором

, (30)

Партнер 2 сообщает желательное для него значение партнеру 1. Партнер 1 решает задачу оптимизации цели для себя, определяя при условии , сохраняя значение или выбирая такое значение , чтобы выполнялось условие

. (31)

Если это условие удовлетворяет обоих партнеров, то решение задачи достигается. Но, обычно, значение , при котором выполняется условие (31), не равно исходному значению . Поэтому, партнер 1 сообщает новое целесообразное для него значение , партнеру 2. Партнер 2 решает задачу (32) при новом значении . Процесс решения задачи прекращается при нахождении рационального компромисса для обоих партнеров.

Теперь рассмотрим случай, когда одновременно действуют 2 фактора, а именно имеет место неопределенность ситуации и несогласованность действий партнеров. Положим, что для партнера 1 неопределенность ситуации характеризуется показателем , а для партнера 2 - , где .

Пусть партнерам известны значения , которые обеспечивают рациональный компромисс при отсутствии неопределенности ситуации (предыдущий вариант). Тогда в условиях неопределенности ситуации партнер 1 определяет значение из условия максимизации математического ожидания функции при известных значениях , т.е.

, (32)

а партнер 2 определяет значение из условия максимизации математического ожидания функции при известном значении , т.е.

. (33)

Затем сравниваются значения и , и , т.е. находятся значения

. (34)

Если и не превышают заданных значений

, , (35)

то полагают, что за рациональный компромисс можно принять значения и . Если условие (35) не выполняется, то процедура поиска рационального компромисса продолжается по рассмотренному выше алгоритму, но вместо соответствующих функций принимаются их математические ожидания и при находится из условия

.

Затем, при находится значение из условия

.

Если полученные значения и удовлетворяют партнеров, то процесс вычислений прекращается и величины и принимаются за рациональный компромисс, В противном случае процесс продолжается до выполнения согласованных условий компромисса. В каждом показателе компромисса могут выбираться величины:



или



В качестве критериев рационального компромисса могут использоваться условия типа (35).

Рассмотренный подход ориентирован на усредненные показатели и представляет практический интерес в случаях, когда:

  1. Различные ситуации практически равновероятны;

  2. Значения целевой функции для различных ситуаций отличаются несущественно.

Данные условия редко выполняются на практике, поэтому более общим является прием раскрытия неопределенностей при действии указанных выше 2-х факторов.

Заданный интервал изменения заменим дискретным множеством . Вероятность появления различных значений неодинакова и характеризуется множеством . Аналогично строятся множества для и . Для каждого значения и определим значения целевых функций каждого партнера, полагая известными условия рационального компромисса при отсутствии факторов неопределенности ситуации, т.е. полагая известными , .

Тогда для произвольного , имеем следующие значения

,

В общем случае .

Задача раскрытия неопределенности может выполняться с использованием разных критериев оптимальности. При наличии цели максимизации дохода или цели минимизации убытка целесообразно использовать чебышевский критерий, который позволяет непосредственно оценивать достижение указанных целей. В этом случае задача состоит в нахождении таких значений , чтобы максимальное отклонение целевых функций от рационального компромисса было минимально возможным с учетом вероятностей соответствующих ситуаций.

Для партнера 1 данная задача заключается в нахождении такого при известном значении , чтобы величина невязки

(36)

была минимальной

, (37)

Для партнера 2 при известном требуется найти , чтобы величина невязки

(38)

была минимально возможной

. (39)

Значение при условии (50), (51) определяется из системы уравнений

. (40)

Значение при условии (3.52), (3.53) определяются из системы уравнений

. (41)

Решение каждой из данных задач в общем случае сводится к чебышевской задаче приближения для несовместной системы нелинейных уравнений (40) или (41), поскольку число уравнений или , как правило, больше числа переменных (компонент вектора или ). Как указывалось выше, процесс поиска рационального компромисса партнеров сводится к последовательности итераций и завершается при выполнении условий типа (35).




Скачать файл (655.2 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации