Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  



Скачать файл (348.5 kb.)

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по теории функций комплексного переменного - файл par20.htm


Лекции по теории функций комплексного переменного
скачать (348.5 kb.)

Доступные файлы (263):

back.jpg4kb.01.06.2003 06:11скачать
cn.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
confto.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
d12pi.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
d12pir.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
dg.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
emblem.gif9kb.01.06.2003 06:11скачать
empty.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
eq1.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
f301.gif6kb.01.06.2003 06:19скачать
f302.gif5kb.01.06.2003 06:19скачать
f303.gif6kb.01.06.2003 06:19скачать
f304.gif5kb.01.06.2003 06:19скачать
f310.gif6kb.01.06.2003 06:19скачать
f311.gif2kb.01.06.2003 06:18скачать
f312.gif10kb.01.06.2003 06:19скачать
f313.gif7kb.01.06.2003 06:19скачать
f314.gif5kb.01.06.2003 06:19скачать
f315.gif6kb.01.06.2003 06:19скачать
f316.gif5kb.01.06.2003 06:19скачать
f318.gif4kb.01.06.2003 06:19скачать
f319.gif6kb.01.06.2003 06:19скачать
f320.gif5kb.01.06.2003 06:18скачать
f321.gif5kb.01.06.2003 06:18скачать
f322.gif8kb.01.06.2003 06:18скачать
f323.gif5kb.01.06.2003 06:18скачать
f324.gif4kb.01.06.2003 06:18скачать
f325.gif6kb.01.06.2003 06:18скачать
gclose.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
geq.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
grad.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
in1.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
infinity.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
in.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
ininfinf.gif1kb.01.06.2003 06:17скачать
int02pi.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
int0inf.gif1kb.01.06.2003 06:17скачать
int0pid2.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
int0pi.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
int0r.gif1kb.01.06.2003 06:17скачать
int0t.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
int2dg1.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
int2dg.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
intab.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
intauinf.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
intc1cn.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
intc-1.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
intc1.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
intcmin.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
intcn.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
intcplus.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
intcr1.gif1kb.01.06.2003 06:17скачать
intcr.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
intdg.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
intdgp1.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
intdgp.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
intgam.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
intgbig.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
intgm.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
intmell.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
intmrr.gif1kb.01.06.2003 06:17скачать
intt1t2.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
ipown.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
izobr.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
l01f01.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
l02f01.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l02f02.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l02f03.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l02f04.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l02f05.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l02f06.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l02f07.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l02f08.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l02f09.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f01.gif2kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f02.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f03.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f04.gif2kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f05.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f06.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f07.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f08.gif2kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f09.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f10.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f11.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f12.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f13.gif2kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f14.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l03f15.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f01.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f02.gif2kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f03.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f04.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f05.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f06.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f07.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f08.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f09.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f10.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f11.gif2kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f12.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f13.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f14.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f15.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f16.gif2kb.01.06.2003 06:12скачать
l04f17.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l04f18.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l04f19.gif2kb.01.06.2003 06:13скачать
l04f20.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l04f21.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l04f22.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l04f23.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l04f24.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l04f25.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l04f26.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f01.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f02.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f03.gif2kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f04.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f05.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f06.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f07.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f08.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f09.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f10.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f11.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f12.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l05f13.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l06f01.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l06f02.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l06f03.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l06f04.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l06f05.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l06f06.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l06f07.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
l07f01.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f02.gif2kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f03.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f04.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f05.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f06.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f07.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f08.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f09.gif2kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f10.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f11.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f12.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f13.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f14.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f15.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f16.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f17.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l07f18.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l08f01.gif2kb.01.06.2003 06:15скачать
l08f02.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l08f03.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l08f04.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l08f05.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l08f06.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l08f07.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l09f01.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f02.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f03.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f04.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f05.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f06.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f07.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f08.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f09.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f10.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f11.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l09f12.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l09f13.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l09f14.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l09f15.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l09f16.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f17.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f18.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f19.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l09f20.gif1kb.01.06.2003 06:15скачать
l09f21.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f22.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f23.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l09f24.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f01.gif1kb.01.06.2003 06:17скачать
l10f02.gif1kb.01.06.2003 06:17скачать
l10f03.gif1kb.01.06.2003 06:17скачать
l10f04.gif1kb.01.06.2003 06:17скачать
l10f05.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f06.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f07.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f08.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f09.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f10.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f11.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f12.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f13.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f14.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f15.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l10f16.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l11f01.gif3kb.01.06.2003 06:16скачать
l11f02.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l11f03.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l11f04.gif2kb.01.06.2003 06:16скачать
l11f05.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l11f06.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l12f01.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l12f02.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l12f03.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l12f04.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l12f05.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
l12f06.gif1kb.01.06.2003 06:14скачать
l12f07.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
l13f01.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
l13f02.gif2kb.01.06.2003 06:18скачать
l13f03.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
l13f05.gif2kb.01.06.2003 06:18скачать
l14f01.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
l14f02.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
l14f03.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
l14f04.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
leq.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
limdfdz.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
limdzt0.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
limdzto0.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
limninf.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
limsn0.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
limzto0.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
limzz0.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
maxksic.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
neq.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
n.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
notin.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
par20.htm53kb.01.06.2003 06:18скачать
partd.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
pm.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
proizvz0.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
proizvz1.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
proizvz2.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
sqrt2.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
sqrt41.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
sqrtncn.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
sqrtnz.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
sqrtz.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
sumi1n.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
sumk0n.gif1kb.01.06.2003 06:18скачать
sumk1inf.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
sumk1nb.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
sumk1n.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
sumk1pb.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
sumkn1nm.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
summ1m.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
sumn0inf.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
sumn1inf.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
sumn1n.gif1kb.01.06.2003 06:17скачать
sumostn.gif1kb.01.06.2003 06:13скачать
sumpminf.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
titul.gif8kb.01.06.2003 06:11скачать
toback.gif1kb.01.06.2003 06:14скачать
to.gif1kb.01.06.2003 06:11скачать
u.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать
vece.gif1kb.01.06.2003 06:16скачать
z1divz1.gif1kb.01.06.2003 06:12скачать

содержание

par20.htm

Лекция 11.

§20. Конформные отображения.

1. Геометрический смысл f ' (z0) 0. Свойства постоянства растяжений и сохранения углов. Конформные отображения в точке.
2. Основное определение конформного отображения g<=> D. Необходимое и достаточное условие конформности отображения области g на область D.
Теорема. Если f(z)- однолистна и аналитична в g, то f ' (z0) 0, " zО g.
3. Основные принципы конформных отображений.
1. Принцип соответствия границ.
2. Теорема Римана. Формулировка, замечания. Условия единственности конформного отображения односвязной области g, граница которой состоит более чем из одной точки на единичный круг.
4. Основные функции, используемые при конформных отображениях.
1. Дробно-линейная функция
2. Функция Жуковского.

Лекция 12.

5. Связь аналитической функции комплексной переменной и гармонической функции двух действительных переменных.
6. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении.
7. Применение конформных отображений в задачах электростатики. Задача Робэна - распределение заряда на проводящем контуре.



1. Геометрический смысл f ' (z0) 0. Свойства постоянства растяжений и сохранения углов. Конформные отображения в точке.

1. Геометрический смысл f ' (z0) 0. Свойства постоянства растяжений и сохранения углов. Конформные отображения в точкею.

п.1. Геометрический смысл f'(z0)0.
Пусть w=f(z)C(g) и f'(z0)0, z0g. => $ f'(z0)=D w/D z=keia , k>0,
a - определенное действительное число. Выберем такой способ стремления D z0, при котором точки z=z0+D zg1g,  z0 g1- некоторой гладкой кривой. Соответствующие им точки w=w0+D wG1G, w0G1- гладкой кривой. Комплексные числа D z и D w - вектора секущих к кривым g1 и G1. arg D z и arg D w - имеют геометрический смысл углов соответствующих векторов с положительными направлениями осей абсцисс на комплексных плоскостях z и w соответственно, а |D z| и |D w|- длиныэтих векторов. При D z0 вектора секущих переходят в вектора касательных к соответствующим кривым.
|D w|=k|D z|+o(|D z|2), k=|f'(z0)| не зависит от выбора g 1.
^ Геометрический смысл |f'(z0)|: При отображении w= f(z)C(g) и f'(z0)0, z0g бесконечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом, причем |f'(z0)|- коэффициент преобразования подобия.-это свойство носит название
a) Свойство постоянства растяжения.
a =arg f'(z0)= argD w-argD z=F 1-j1.
Геометрический смысл arg f'(z0): Разность угла F 1 (угол между касательной к кривой G 1 и положительным направлением оси u на плоскости w) и угла j1 (угол между касательной к кривой g1 и положительным направлением оси x на плоскости z)
=> F1=j1+a . Другими словами, аргумент производной arg f'(z0) в точке z0 определяет величину угла, на который нужно повернуть касательную к " гладкой кривой g , проходящей через точку z0, чтобы получить касательную к образу этой кривой в точке w0=f(z0).
Т.к. a =arg f'(z0) не зависит от выбора g1, то для " g2 : z0g 2 : F 2=j2+a =>
=>F =F 2-F1=j2-j1=j (сохраняется величина и направление углов).
b) Свойство сохранения углов.
Определение Отображение окрестности точки z0 на окрестность точки w0, обладающее свойствами сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным отображением в точке z0.
=> бесконечно малая окружность бесконечно малую окружность; бесконечно малый треугольник бесконечно малый треугольник.

^ 2. Основное определение конформного отображения g<=> D. Необходимое и достаточное условие конформности отображения области g на область D.

Основное определение. Непрерывное взаимно однозначное отображение области g комплексной плоскости z на область D комплексной плоскости w, при котором в " zО g выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений, называется конформным отображением g на D.
Обозначение: gD.
Очевидно, что при этом D конформно отображается на g.
Теорема 20.1Если f(z)C (g), однозначная и однолистная, и f'(z)0, " zg, то f(z) осуществляет конформное отображение gD.
Доказательство. Отображение, осуществляемое указанной f(z) обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений (как было показано выше). n
Теорема 20.2(обратная) Если f(z) осуществляет конформное отображение gD, то f(z)C(g), однолистна, и f'(z)0, " zg.
Доказательство. Т.к. gD, то f(z)- непрерывна, однозначна и однолистна.
Т.к. имеет место постоянство растяжений, то $|D w|/|D z|=k>0.
Т.к. имеет место сохранение углов, то $arg(D w/D z)=a -действительное =>
$D w/D z=keia0 n .
Замечание. Свойство f'(z)0, " zg является следствием однолистности.
Теорема 20.3.Необходимым и достаточным условием конформности отображения является f(z)C(g), однозначна и однолистна в g.
Доказательство. Необходимость доказана выше (Теорема 20.2).
Достаточность. См. "А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов Теория функций комплексной переменной." М.: Наука-Физматлит 1999, с.156.

^ 3. Основные принципы конформных отображений.

1. Принцип соответствия границ.

Принцип соответствия границ. Если f(z)C(), g-односвязна и f(x ) взаимно однозначно отображает  на замкнутый контур G =D плоскости w с сохранением обхода, то gD.
Доказательство. Надо доказать, что f(z) однолистна в g, т.е.
а) для " w1D $ ! z1g : w1=f(z1);
б) для " w2D не $ ни одной z2 g: f(z2)=w2.
Рассмотрим две произвольные точки w1D и w2D и построим в g вспомогательные функции F1(z)=f(z)-w1, F2(z)=f(z)-w2 ,zg. Подсчитаем число нулей этих функций (по принципу аргумента ):
N[F1(z)]=(1/2p )Var[arg(f-w1)]|=1, N[F2(z)]=(1/2p )Var[arg(f-w2)]|=0 (т.к. по условию теоремы положительному обходу  соответствует положительный обход D) . n
Замечание. Если f(z)C(\z0), z0- полюс первого порядка и G с изменением направления обхода, то f(z): gE\D.

2. Теорема Римана. Формулировка, замечания. Условия единственности конформного отображения односвязной области g, граница которой состоит более чем из одной точки на единичный круг.

^ Теорема Римана. Основной закон конформных отображений.
Заданы область g комплексной плоскости g и область D комплексной плоскости w. Требуется найти f(z)=w конформно отображающую g на D.
^ Теорема Римана. Если g- односвязная область комплексной плоскости w, граница которой состоит более чем из одной точки, то $! f(z)C(g): g|w|<1, так что f(z0)=0 и arg f'(z0)=a , z0g и a - заданные числа.
Полное доказательство приводить не будем. (см. например А.В.Бицадзе "Основы теории аналитических функций").
Ограничимся замечаниями.
1.    Пусть g комплексной плоскости z и G комплексной плоскости w удовлетворяют условиям теоремы Римана . Тогда
$x =f(z): g|x |<1; f(z0)=x 0 и $ w=j (x ): |x |<1D, j (x 0)= w0 => $ w=F(z)= j (f(z)); gD; F(z0)=w0 .
2.    Односвязность существенна!.
3.    Условия теоремы Римана можно заменить установлением соответствия 3-х точек  трем точкам D.


^ 4. Основные функции, используемые при конформных отображениях.


a)    Степенная w=f(z)=zn, область однолистности 0b)    w=f(z)=1/z область однолистности- вся комплексная плоскость. zw
c)    w=f(z)=ez область однолистности -p d) 

1. Дробно-линейная функция

Дробно-линейная функция.
w=f(z)=(az+b)/(cz+d)=l (z+a )/(z+b ) (3 параметра, a№b ).
z=l '(w+a ')/(w+b '); zw, f'(z)0 для " z.
1.    Геометрический смысл: f(z)=l [1+(a -b )/(z+b )] - повороты и растяжения, отражение от действительной оси, инверсия.
2.    Заданием соответствия 3-м точкам z1w1, z2 w2, z3w3, плоскости z трех точек плоскости w, дробно-линейная функция определена однозначно, т.е. коэффициенты l , a , b однозначно выражаются через 6 заданных комплексных чисел.
Доказательство. w1=l (z1+a )/(z1+b ); w2=l (z2+a )/(z2+b ); w3=l (z3+a )/(z3+b ); =>w1-w2=l (z2-z1)(a -b )/(z1+b )(z2+b ) ; w1-w3=l (z3-z1)(a -b )/(z1+b )(z3+b ) ; (w1-w2)/(w1-w3)=(z1-z2)(z3+b )/(z1-z3)(z2+b ); (w-w2)/(w-w3)=(z-z2)(z3+b )/(z-z3)(z2+b );
(w-w2)/(w-w3): (w1-w2)/(w1-w3)= (z-z2)/ (z-z3): (z1-z2)/ (z1-z3).
Разрешив это выражение получим w=f(z) - дробно-линейную функцию с однозначно определенными коэффициентами l , a , b . n
3.    Свойства дробно-линейной функции.
a)    Круговое: A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0; z=x+iy=1/z =1/(x +ih )=x /(x2+h2)-ih /(x2+h2)=>
=>A+Bx -Ch +D(x2+h2)=0. Окружность на плоскости однозначно определяется заданием 3-х точек.=> Задав ziwi, i=1,2,3 с сохранением направления обхода однозначно определим дробно-линейную функцию, конформно отображающую gD.
Пример. |z|<1Imz>0. так, чтобы z=1w=0; z=iw=1; z=-1w= ;
Возьмем w=l (z-1)/(z+1); 1=l (i-1)/(i+1)=> l =(i+1)/(i-1)= (i+1)(1+i)/(i-1)(1+i)=-(1+i)2/2=
=-(1+2i-1)/2=-i; => w=i(1-z)/(1+z).
b)     Сохранение сопряженности точек.
Пример. Imz>0|w|<1; z0 w0=0; => w=l (z-z0)/(z- z0*);
e) 

2. Функция Жуковского.

Функция Жуковского.
w=f(z)=(1/2)(z+1/z)-однозначная аналитическая функция в кольце 0<|z|< ;
Два полюса 1-го порядка: z=0 и z= .
Области однолистности: z1z2 и z1+1/z1= z2+1/z2 =>(z1-z2)=(z1-z2)/z1z2 => z1z2=1 =>
Области однолистности |z|<1 и |z|>1.
f'(z)=(1/2)(1-1/z2); f'(z1,2)=0 => z1,2=1.
^ Геометрический смысл отображения.
|z|>1; z=r0eij ; w=(1/2)(r0eij+(1/r0)e-ij); w=u+iv=(1/2)(r0+1/r0)cosj +i(1/2)(r0-1/r0)sinj ;
u2/[(1/2)(r0+1/r0)]2+v2/[(1/2)(r0-1/r0)]2=1; a=(1/2)(r0+1/r0); b=(1/2)(r0-1/r0);
c2=a2-b2=1; => c=1;
Окружность r0eijсемейство софокусных эллипсов. При r01  a1, b0.
|z|>1w, с разрезом по отрезку [-1;1].
Луч z=reij; 1 ; j =j0 .
u=(1/2)(r+1/r)cosj ; v=(1/2)(r-1/r)sinj ; => u2/cos2j - v2/sin2j=1; - гипербола:
c2=a2+b2=1; => c=1; 00

0
1 переходит в эллиптическую систему координат на плоскости w, с разрезом с сохранением направления обхода. На плоскости w с разрезом определена обратная функция , являющаяся аналитическим продолжением действительной функции , u>1.
Аналогично, область однолистности |z|<1на плоскость w с разрезом по
[-1;1] с изменением направления обхода.
На этой плоскости определена обратная функция , являющаяся аналитическим продолжением действительной функции , u>1.
Итак, функция Жуковского осуществляет конформное отображение полной плоскости z на двулистную Риманову поверхность w, склеенную из двух плоскостей w с разрезом по [-1;1]. Конформность отображения нарушается в точках z1,2=1, где f'(z1,2)=0; z1,2=1< w1,2=1. Обратная функция (обе ветви) имеет две точки ветвления w=+ 1- концы берегов разреза.
Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.
 



^ 5. Связь аналитической функции комплексной переменной и гармонической функции двух действительных переменных.


f(z)=u(x,y)+iv(x,y)C(g). =>ux=vy; uy=-vx;
=> D u=0; D v=0; -гармонические функции (x,y)g.
Обратно, пара гармонических в g функций u(x,y) и v(x,y), связанные условиями Коши- Римана, являются действительной и мнимой частью аналитической функции.


^ 6. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении.


Пусть (x,y)g и f(z)=z : gD; z =x (x,y)+ih (x,y)C(g); (x ,h )D; f'(z)0.
D xyu=?
uxx=uxxxx2+2uxhxxh x+uh hhx2+uxxxx+uhhxx
uyy=uxxxy2+2uxhxyh y+uhh hy2+uxxyy+uhhyy
D xyu= uxx(xx2+xy2)+ 2uxh(xxh x+x yh y)+uh h(hx2+hy2)+ux(xxx+xyy)+uh (hxx+hyy)=
={x x=hy, xy=-hx,=> f'(z)=xx+ihx=xx-ixy=hy+ihx=>|f'(z)|2=xx2+xy2=hx2+hy2;
xxh x+x yh y=x xx+xyy =(h xx+hyy)=0}=|f'(z)|2Dxhu(x ,h )={z=j (z )}=[1/|j '(z )|2] Dxhu(x ,h )

^ 7. Применение конформных отображений


в задачах электростатики.
{rot=0; div =4pr ; =-С u =>D u=-4pr .
Задача Робэна- распределение заряда на проводящей границе.
 
q=s (s)ds-дано; s (s)=(1/4p )En|C=-(1/4p )¶ u/¶ n|C; n-внешняя нормаль.
Задача Робэна: D u=0 вне С;. u|C=const; 
¶ u/¶ n ds=-4p q - дано.   Найти s (s)=?
Задача просто решается, если С есть окружность |z |=1.
Тогда W (s)=q/2p =-(1/4p )¶ u0/¶ n0. =>¶ u0/¶ n0||z |=1=-2q.
Пусть известна функция z =f(z), которая конформно отображает С на плоскости z на окружность |z |=1 на плоскости z .
Тогда ¶ u/¶ n|C=¶ u0/¶ n0||z |=1 ¶ n0/¶ n|C+¶ u0/¶t0||z |=1 ¶t 0/¶ n|C = (поскольку контур проводящий, то Et =¶ u0/¶t 0=0) =-2q ¶ n0/¶ n|C;
Но при конформном отображении нормаль n к С переходит в нормаль n0 к |z |=1, а меняется лишь ее длина => ¶ n0/¶ n|C=|f'(z)|C=> ¶ u/¶ n|C=-2q |f'(z)|C .
=> s(s)= (q/2p) |f'(z)|C .
 
Пример. Двусторонний отрезок [-1;1] на плоскости z . z =f(z): C|z |=1- функция,
обратная к функции Жуковского
z =f(z)=;
 
 
f'(z)|zО [-1;1]=1+z/|zО [-1;1]=f(z)/ |zО [-1;1]
Но |f(z)|zО [-1;1]=|z |=1=>|f'(z)|zО [-1;1]=1/;-1s(x)=q/[2p];-1Замечания. 1) s (x), x1- эффект острия; 2) 2s (x)dx=q (Двусторонний отрезок).

Назад       Вверх       Вперед
© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации