Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Реферат - Функциональный анализ - файл 1.docx


Реферат - Функциональный анализ
скачать (252.4 kb.)

Доступные файлы (1):

1.docx253kb.04.12.2011 06:47скачать

содержание

1.docx

СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………2

  1. Метрические пространства………………………………………………...2

    1. Некоторые важные неравенства…………………………………….3

    2. Примеры метрических пространств………………………………..4

    3. Замыкания множеств. Замкнутые и открытые множества……….7

    4. Непрерывные отображения…………………………………………9

    5. Полные метрические пространства……………………………….10

    6. Компактные метрические пространства………………………….11

  2. Линейные нормированные пространства……………………………….12

    1. Изоморфные и изометричные пространства…………………….15

    2. Компактность в линейных нормированных пространствах…...15

    3. Гильбертовы пространства………………………………………..16

  3. Линейные операторы……………………………………………………..18

    1. Сопряженные пространства и слабая сходимость………………20

    2. Три фундаментальные теоремы функционального анализа……21

Список литературы……………………………………………………………...22



Введение

Функциональный анализ - часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для функционального анализа характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.

Развитие функционального анализа происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык функционального анализа наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы функционального анализа.
^ 1. Метрические пространства.

Метрическим пространством называется множество Х, любым двум элементам (точкам) х,у которого сопоставлено число (х,у), удовлетворяющее следующим условиям:

1) Неотрицательность: (х,у)  0, причем условие (х,у) = 0 равносильно тому, что х = у. Это означает, что расстояние между различными точками положительное.

2) Симметричность: (х,у) = (у,х).

3) Неравенство треугольника: (х,у)  (х,z)+(z). Это неравенство обобщает известное правило: сумма длин двух сторон треугольника не меньше третьей.

Функция  называется метрикой или расстоянием.

Из неравенства треугольника вытекает полезное обратное неравенство треугольника:  (х,z)(z)  (х,у), которое для плоских треугольников известно из школьного курса геометрии.

Любое множество Y X можно считать наделенным метрикой . Оно называется подпространством X.

Точка х0 называется пределом последовательности {хn}, если числовая последовательность (хn,х0) является бесконечно малой (стремится к 0). Или точка х0 называется пределом последовательности {хn}, если  > 0 Nn > N выполняется неравенство (хn,х0) < .

Обозначения: хnх0, lim хn = х0. Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.



Мы будем пользоваться понятием подпоследовательности. Если {хn} – последовательность в метрическом пространстве и n1<n2<…<nk<… - натуральные числа, то последовательность называется подпоследовательностью {хn}.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Для сходимости последовательности необходима и достаточна сходимость всех ее подпоследовательностей. При этом все они имеют один и тот же предел.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Если последовательность в метрическом пространстве сходится, то ее предел единственный.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Если последовательность {хn} в метрическом пространстве Х сходится, то для любой точки аХ числовое множество {(а,хn)} ограничено.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Пусть a Х, r > 0. Шаром B радиуса r с центром в точке a называется множество точек, удаленных от a меньше, чем на r, т.е. B(a,r) = {xХ:(a, x) < r}.

Аналогично определяется замкнутый шар
(a,r) = {xХ:(a,x)  r}. Шары с центром a мы будем называть также окрестностями точки a. Далее мы будем использовать то обстоятельство, что в любой окрестности точки a помещаются шары B(a,1/n) при достаточно больших n.

Утверждение хnх0 равносильно тому, что в любую окрестность точки х0 попадают все члены последовательности, начиная с некоторого.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Множество в метрическом пространстве Х называется ограниченным, если оно расположено в некотором шаре.

    1. ^

      Некоторые важные неравенства


  1. Пусть p, q – положительные вещественные числа, такие, что Тогда при любых а, b выполняется неравенство .




  1. Неравенство Гельдера для конечных сумм.

Пусть x1,x2,…,xn; y1,y2,…,yn  вещественные числа. Тогда
.

  1. Неравенство Гельдера для рядов.



Пусть ряды сходятся. Тогда сходится и ряд , причем  .

  1. Интегральное неравенство Гельдера.

Пусть х(t), y(t) – функции, непрерывные на отрезке [0,1], . Тогда
.

  1. Неравенство Минковского для конечных сумм.

при p > 1.

  1. Неравенство Минковского для рядов.

Пусть p>1. Если сходятся ряды , то сходится ряд , причем .


  1. Неравенство Минковского для интегралов.

Пусть х(t), y(t) – функции, непрерывные на отрезке [0,1], p>1. Тогда

    1. Примеры метрических пространств.

  1. Множество вещественных чисел R.

(х,у) =ху. 1 и 2 свойства расстояния очевидны, неравенство треугольника следует из известного неравенстваа+b a+b при заменах a: = хz, b: = zy. Сходимость, естественно, совпадает с известным понятием сходимости числовой последовательности.

  1. ^ Конечномерные метрические пространства .

Рассмотрим множество векторов вида х = (х1,х2,…, хn) c вещественными компонентами. р1. Определим величину p(х,у) = . 1 и 2 свойства метрики очевидны, неравенство треугольника следует из неравенства 

Минковского. Множество n – мерных векторов с расстоянием p(х,у) является метрическим пространством, которое обозначается . Cходимость в пространствах равносильна покоординатной сходимости.

На множестве n-мерных векторов можно определить еще одно расстояние: (х,у) = . Свойства метрики легко проверяются, впрочем, сходные рассуждения будут приведены в дальнейшем. Здесь сходимость также равносильна покоординатной.

Пространство называется эвклидовым.

Рассмотрим замкнутые шары пространств при различных значениях р с центром в точке 0 = (0,0) и радиусом 1. Это есть множества вида {(x1,x2): x1p+x2p  1}. Все круги содержат точки (1,0), (0,1). При р =2 это есть обычный евклидов круг, при р < 2 шар является подмножеством круга, при р = 1 шар является квадратом, диагонали которого расположены на координатных осях. При р > 2 шар объемлет обычный круг, при р =  получим квадрат, стороны которого параллельны осям координат.

  1. ^ Пространство непрерывных функций С.

Рассмотрим множество непрерывных функций, определенных на отрезке [0,1]. Тем самым, здесь точкой является функция. Определим расстояние следующим образом: (х,у) =. Поскольку функция непрерывна на отрезке [0,1], то по теореме Вейерштрасса (см. мат. анал!) она достигает максимального значения, так что определение корректно.

Опишем сходимость в этом пространстве. Если хnx0 в пространстве С[0,1], то , т.е. >0 Nn>N t[0,1] . В математическом анализе такая сходимость функций назывался равномерной в отличие от поточечной, которая состоит в том, что хn(t)x0(t) при любом t[0,1], т.е. в формальном виде t[0,1] >0 Nn> N .

  1. Пространство ограниченных последовательностей т.

Рассмотрим множество последовательностей х=(х1,х2,…,хn,…), каждая из которых ограничена, т.е хn М(х) (этим подчеркнуто, что для каждой последовательности границы свои). Например, последовательность (1000, 1, 1000, 1, 1000, 1, 1000,…) входит в т, а последовательность (1, 1, 2, 1, 3, 1, 4,…) нет. Определим расстояние: (х,у)= Из ограниченности последовательностей х,у следует, что ограничена и последовательность , т.е. по теореме о точной верхней грани введенное расстояние всегда определено. При этом максимальное значение может не достигаться. Например, пусть у=(0,0,…,0,…);
х=(0, 1/2, 3/4,…,(n1)/n,…). => не существует, (х,у)=1.



Пусть х(k)х(0) в пространстве т. Поскольку при любом i =(х(k)(0))0, то в силу неотрицательности по теореме о милиционерах 0, т.е. из сходимости в пространстве т следует покомпонентная сходимость. Обратное неверно: из покомпонентной сходимости не следует сходимость в пространстве т. В качестве примера рассмотрим последовательности х(k), где все компоненты кроме k-ой нулевые, а . Очевидно, что 0 при любом i (в соответствующей последовательности все элементы кроме одного нули). В то же время, неверно, что х(k)0=(0,0,…,0,…), поскольку (х(k),0) = 1 при всех k. Здесь ситуация аналогична предыдущему примеру: для сходимости в пространстве т нужна не просто покомпонентная сходимость, а равномерная покомпонентная сходимость.

  1. ^ Пространство сходящихся последовательностей с.

Элементами этого пространства являются сходящиеся последовательности х = (х1,х2,…,хn,…) с расстоянием (х,у) = . Поскольку сходящиеся последовательности ограничены, пространство с является подпространством пространства т.

6. ^ Пространства непрерывных функций Lpс.

Рассмотрим (аналогично примеру 3) множество непрерывных функций, определенных на отрезке [0,1]. Расстояние между функциями определим формулой p(х,у)=, где р1. Свойства расстояния следуют из свойств интеграла и неравенства Минковского. Сходимость может быть весьма экзотичной. Приведем пример последовательности непрерывных функций, которая в Lpс сходится к 0 и при этом не сходится ни в одной точке интервала (0,1). Разобьем отрезок [0,1] на 3 равные части и обозначим через f1(x) функцию, равную 0 в точках 0 и 1, равную 1 на отрезке [1/3, 2/3] и линейную на отрезках [0,1/3] и [2/3,1]. Затем разобьем отрезок на 4 равные части и обозначим через f2(x) функцию, равную 0 на отрезке [3/4,1] и в точке 0, равную 1 на отрезке [1/4,1/2], линейную на отрезках [0,1/4] и [1/2,3/4] и через f3(x) функцию, равную 0 на отрезке [0,1/4] и в точке 1, равную 1 на отрезке [1/2,3/4], линейную на отрезках [1/4,1/2] и [3/4,1]. Рекомендуется сделать рисунок. Продолжим подобное построение. При разбиении отрезка на п частей получим п – 2 новые функции, каждая из которых равна 1 на одном из внутренних промежутков, равна 0 на промежутках, с ним несмежных и линейная на смежных. Построенная последовательность обладает нужными странными свойствами (при любом p), в чем следует убедиться самостоятельно.

^ 7. Пространства последовательностей lp.



Элементами этого пространства являются последовательности х=(х1,х2,…,хn,…) такие, что ряд сходится. Например, как следует из курса математического анализа, , но в то же время . Расстояние в lp определяется по формуле

р(x,y)=. Из неравенства Минковского следуют сходимость ряда, который участвует в определении расстояния, и неравенство треугольника. Поскольку = р(x,y), то из сходимости в lp следует, что каждая компонента последовательностей сходится, т.е. из х(n)х(0) следует, что при любом i. Обратное неверно - подходит пример, приведенный для пространства т.

7. Дискретные метрические пространства.

Рассмотрим произвольное множество и определим на нем расстояние таким образом, что (x,y)=1, если xy. В этом пространстве шар В(х, ) = В(х,1) (1 >  > 0) содержит только центр шара. Отсюда следует, что последовательность хn сходится тогда и только тогда, когда начиная с некоторого номера ее члены совпадают.


    1. ^ Замыкания множеств. Замкнутые и открытые множества.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Пусть Х - метрическое пространство, М Х, аХ. Точка а называется предельной точкой М, если в любой окрестности а есть точки множества М\{a}. Последнее означает, что в любой окрестности а есть точки множества М, отличные от а.

Замечания. 1. Предельная точка может, как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Например, 0 и 1 являются предельными точками множества (0,2), но первая ему не принадлежит, а вторая принадлежит.

  1. Точка множества ^ М может не являться его предельной точкой. В этом случае она называется изолированной точкой М. Например, 1  изолированная точка множества (1,0){1}.

  2. Если предельная точка а не принадлежит множеству М, то найдется последовательность точек хnM, сходящаяся к а в этом метрическом пространстве. Для доказательства достаточно взять открытые шары в этой точке радиусов 1/n и выбрать из каждого шара точку, принадлежащую М. 

  3. Верно и обратное, если для а есть такая последовательность, то точка является предельной.

^ ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Замыканием множества М называется объединение М с множеством его предельных точек. Обозначение .

Отметим, что замыкание шара не обязано совпадать с замкнутым шаром того же радиуса. Например, в дискретном пространстве замыкание шара B(a,1) равно самому шару (состоит из одной точки a) в то время как замкнутый шар (a,1) совпадает со всем пространством.

Опишем некоторые свойства замыкания множеств.

  1. ^ М. Это следует непосредственно из определения замыкания.

  2. Если М N, то . Действительно, если a ,
    a М, то в любой окрестности a есть точки множества М. Они же являются точками N. Поэтому a. Для точек из М это ясно по определению.

3. .

    1. .

    2. Замыкание пустого множества пустое. Это соглашение не следует из общего определения, но является естественным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Множество M X называется замкнутым, если = M.

Множество M X называется открытым, если замкнуто множество X\M.

Множество M X называется всюду плотным в X, если
= X.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Точка а называется внутренней точкой множества M, если B(a,r)M при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точка а называется внешней точкой множества M, если шар B(a,r)Х/M при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка не входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точки, которые не являются ни внутренними, ни внешними точками множества M, называются граничными.

Таким образом, граничные точки характеризуются тем, что в каждой их окрестности есть точки как входящие, так и не входящие в M.

^ ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Для того, чтобы множество являлось открытым, необходимо и достаточно, чтобы все его точки были внутренними.

Примерами замкнутых множеств на прямой являются [a,b], [a,). Открытых – (a,b), (a,). Множество [a,b) не открытое и не замкнутое (оно не содержит предельную точку b, а дополнительное множество не содержит предельную точку a). Все метрическое пространство Х и пустое множество  в силу соглашения 5 являются одновременно открытыми и замкнутыми. В 

дискретных метрических пространствах все подмножества одновременно открытые и замкнутые.

Из свойства 3 замыканий следует, что объединение двух (а тогда и любого конечного семейства) замкнутых множеств замкнуто. В то же время, объединение бесконечного семейства замкнутых множеств может и не быть замкнутым, например, = (0, 1).


    1. ^ Непрерывные отображения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Пусть Х, Yметрическое пространство. Отображение f: ХY называется непрерывным в точке aХ, если из того, что хna следует, что f(хn) f(a). Отображение называется непрерывным на Х, если оно непрерывно во всех точках Х.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Для того чтобы отображение было непрерывным на ^ Х, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого открытого подмножества Y было открытым подмножеством Х.

Аналогично, отображение является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз всякого замкнутого множества является замкнутым. При этом образ открытого множества при непрерывном отображении может не быть открытым, а образ замкнутого множества замкнутым. Например, образом открытого множества (1,1) при отображении y = x2 является множество [0,1), которое открытым не является.

Из того, что образ всякого открытого множества открыт, не следует непрерывность отображения. Например, рассмотрим отображение f отрезка [1,1] в двухточечное дискретное пространство {a,b}, действующее по правилу f[1,0] = {a}, f(0,1] = {b}. Поскольку в дискретном пространстве любое множество является открытым, то образ любого открытого множества открытый. Непрерывным отображение не является, поскольку 1/n0, но неверно, что
f(1/n) = bf(0) = a.

Cуперпозиция непрерывных отображений является непрерывным отображением. При этом если у непрерывного отображения существует обратное, то оно не обязано быть непрерывным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Отображение f: ХY называется топологическим или гомеоморфизмом, если оно непрерывное, биективное и обратное отображение также непрерывное.


    1. 

    2. Полные метрические пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Последовательность {xn} в метрическом пространстве называется фундаментальной, если >0 Nn>N p (xn xn+p)<. Это означает, что элементы последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно близки.

^ ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Если последовательность {xn} сходится, то она фундаментальная. Обратное утверждение в общем случае неверно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Метрическое пространство Х называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится.

Пример неполного метрического пространства: Х = (0,1) с обычным расстоянием (x,y)=xy, xn = 1/n. Поскольку эта последовательность сходится в метрическом пространстве всех вещественных чисел, она является фундаментальной. Ее предел равен 0, поскольку 0Х, то пространство Х полным не является.

^ ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Замкнутое подпространство Y полного метрического пространства X является полным.

Конечномерные метрические пространства являются полными. Пространство С - полное. Дискретное метрическое пространство является полным, поскольку члены любой фундаментальной последовательности совпадают, начиная с некоторого, т.е. такая последовательность сходится.

Пространство Lpс полным не является. Ограничимся примером, оставляя подробный анализ читателю. Рассмотрим функции

(п=3,4,…. ).

Отметим, что пространства m,c.lp являются полными.

ТЕОРЕМА . Вложенная последовательность замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к 0, в полном метрическом пространстве имеет единственную общую точку. Обратно, если любая такая последовательность шаров имеет общую точку, то пространство полное.Следует отметить, что для открытых шаров теорема несправедлива (например, пересечение интервалов пустое).



ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Отображение A:XX метрического пространства X в себя называется сжимающим, если при некотором числе (0,1) для любых точек x,yX выполняется неравенство (Ax,Ay)  (x,y).

ТЕОРЕМА . (Принцип сжатых отображений). Если Aсжимающее отображение в полном метрическом пространстве X, то существует единственная неподвижная точка y отображения A, т.е. такая, что Ay=y.


    1. Компактные метрические пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Метрическое пространство ^ Х называется компактным, если из всякой последовательности в Х можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Компактное подпространство метрического пространства будем называть также компактным множеством.

^ ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Компактное пространство является ограниченным.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Компактное подпространство Y метрического пространства Х является замкнутым.

ТЕОРЕМА . Для того чтобы подпространство Y пространства было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.

В других пространствах это утверждение неверно. Так, в дискретном пространстве компактные множества только одноточечные, хотя все подпространства замкнутые и ограниченные. В пространстве т множество векторов также замкнутое и ограниченное, но не компактное.

^ ТЕОРЕМА (Кантор). Любая вложенная последовательность компактных подмножеств в метрическом пространстве имеет непустое пересечение.

ТЕОРЕМА . Образ компактного метрического пространства ^ X при непрерывном отображении является компактным.

Важный частный случай. Если f:XR – непрерывное отображение компактного пространства в множество вещественных чисел, то образ f(X) компактен. Но любое компактное подмножество прямой является замкнутым и ограниченным (теорема Больцано-Вейерштрасса). Следовательно, вещественная непрерывная функция, определенная на компактном метрическом пространстве, имеет наибольшее и наименьшее значения – обобщение теоремы Вейерштрасса из математического анализа.

ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Прообраз компактного множества при непрерывном отображении может не быть компактным. Например, функция sin(x) отображает некомпактное пространство () на компактное [1,1].



2. В теореме компактность нельзя заменить полнотой. Например, функция отображает полное пространство [1, ) на неполное (0, 1].

Поясним связь между понятиями замкнутости, полноты и компактности.

  1. Замкнутость является свойством внешним, т.е. предполагается наличие объемлющего метрического пространства. Любое метрическое пространство является собственным замкнутым подмножеством. Компактность и полнота являются внутренними свойствами метрических пространств.

  2. Из компактности следует полнота, обратное неверно. Пример  пространство R.

  3. В то же время, полное подпространство является замкнутым.


^

2. Линейные нормированные пространства


ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Множество Х называется линейным нормированным пространством, если

  1. X является линейным пространством, т.е. для него определены операции сложения x+y и умножения векторов на числа x, обладающие следующими свойствами:

x+y = y+x;

(x+y)+z = y+(x+z);

Существует такой элемент (нулевой) 0  X, что x+0 = x для любого x;

Для всякого xX существует обратный (x), т.е. такой, что x+(x) = 0;

()x = (x);

(+)x = x+x;

(x+y) = x+y

1x = x.

2. На Х определена вещественнозначная функция ||х|| (норма), которая обладает следующими свойствами:

- ||х||  0, причем ||х|| = 0 только при х = 0,

- ||х|| = ||х||,

- ||х+y||  ||х||+||y||.

Наличие нормы позволяет ввести метрику на Х: (x,y) = ||хy||.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Величина (x,y) обладает свойствами метрики.

Очевидно, что так определенная метрика сохраняется при сдвигах, т.е. выполняется свойство (x,y) = (x+z,y+z). Следует иметь в виду, что не всякая метрика в линейном пространстве, обладающая этим свойством, порождается некоторой нормой. Так, на линейном пространстве можно определить дискретную метрику, расстояние сохраняется при сдвигах, но никакой нормой она не порождается.



Почти все примеры метрических пространств, рассмотренные ранее, в действительности являются линейными нормированными пространствами.

Полные линейные нормированные пространства называются банаховыми.

^ 1. Конечномерные пространства .

Множество векторов является линейным пространством. Если определить норму вектора по формуле ||х||р= (свойства нормы можно проверить с использованием неравенств Гельдера и Минковского), то расстояние, введенное ранее, порождается этой нормой. Аналогично для случая р=: соответствующая норма имеет вид ||х||=maxxi. Все эти пространства полные, т.е. банаховы.

2. Пространство С.

Множество непрерывных функций на отрезке [0,1] является линейным пространством, поскольку функции можно складывать и умножать на скаляры (поточечно) c сохранением непрерывности и при этом справедливы аксиомы 1-8. Если ввести норму по формуле ||х y|| = max(х(t)), где максимум берется по всем значениям t, то метрика, порождаемая этой нормой, совпадает с метрикой из раннего. Тем самым, пространство С является линейным нормированным пространством. Поскольку это пространство полное, оно банахово.

3. Пространство m.

Сумма ограниченных последовательностей  ограниченная последовательность, ограниченность сохраняется и при умножении последовательности на число. Аксиомы линейного пространства легко проверяются. Тем самым, множество ограниченных последовательностей является линейным пространством. Если определить норму вектора ||х y|| = max(хi), то метрика в пространстве m порождается этой нормой. Пространство является банаховым.

Естественно, так же определяется норма и в пространстве сходящихся последовательностей с подпространстве m.

4. Пространство Lpс.

Здесь норма, порождающая метрику из раннего, задается формулой ||х y||p=. Пространство банаховым не является.

5. Пространство lp.

Это пространство является линейным. Для этого сначала надо проверить, что сумма последовательностей из lp также является элементом lp. Норма в lp определяется формулой ||х||=. Пространство lp банахово.

Проверим, что линейные операции и норма как функция на линейном нормированном пространстве непрерывны.



ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Если хnх, yny в пространстве Х и n в пространстве R, то

хn+ynх+y;

nхnх;

||хn||  ||х||.

Ограниченность множества в нашем случае согласно замечанию равносильна тому, что множество содержится в некотором шаре с центром 0, т.е. ограниченности норм элементов множества. Шары в линейных нормированных пространствах обладают некоторыми дополнительными свойствами по сравнению с общими метрическими пространствами.

^ ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Шары (замкнутые шары) в линейном нормированном пространстве являются выпуклыми множествами.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Замыканием шара B(a,r) (r>0) является замкнутый шар (a,r). Заметим, что в общем случае метрических пространств это неверно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Замкнутое линейное многообразие в линейном нормированном пространстве называется линейным подпространством.

Позднее будет установлено, что конечномерные многообразия непременно являются подпространствами.

Например, в пространстве l1 подпространством является множество S={xl1:}.

Рассмотрим линейное многообразие в пространстве С, состоящее из непрерывно дифференцируемых функций. Линейность этого многообразия следует из правил дифференцирования. Многообразие не является подпространством, поскольку по теореме Вейерштрасса любую непрерывную функцию можно сколь угодно точно приблизить многочленом (это равносильно малости расстояния в метрике С), т.е. замыкание многообразия совпадает со всем пространством С. При этом в С существуют недифференцируемые функции (например, х1/2 ).

ТЕОРЕМА (Ф.Рисс). Пусть L подпространство линейного нормированного пространства Х, не совпадающее со всем пространством. Для любого >0 существует вектор y такой, что 1 для всех хL.

Следует иметь в виду, что вектор со свойством может и не существовать. В важном частном случае гильбертова пространства такой вектор существует.

    1. 

    2. Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Пусть Х, Y  линейные нормированные пространства. Отображение А: ХY называется линейным (синоним: линейным оператором), если А(х1+х2) = А(х1) + А(х2),
А(х) = А(х). Линейный оператор А называется изоморфизмом, если у него существует обратный и отображения А и А1 непрерывные. Пространства Х, Y называются изоморфными, если существует изоморфизм А: ХY.


Очевидно, что отношение изоморфизма линейных нормированных пространств является отношением эквивалентности, т.е. обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Изоморфизм сохраняет замкнутость и открытость множеств как взаимно непрерывное отображение и компактность. В общем случае при непрерывных отображениях не сохраняется ограниченность множеств (например, функция 1/x переводит ограниченное множество (0,1] в неограниченное [1,)).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Если А: ХY линейное непрерывное отображение и МХ – ограниченное множество, то множество А(М) также ограниченное.

ТЕОРЕМА . Любые два n – мерных линейных нормированных пространства изоморфны.

Из этой теоремы вытекают важные следствия. Поскольку пространство полное, то в силу изоморфизма (он сохраняет сходимость) этим свойством обладает и всякое конечномерное линейное нормированное пространство. А отсюда следует, что конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве является замкнутым, т. е. подпространством. Для бесконечномерных многообразий это не так.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Метрические пространства Х, Y называются изометричными, если существует биективное отображение f: ХY, сохраняющее расстояния, т.е. такое, что (x,y) = (f(x), f(y)) (изометрия). Линейные нормированные пространства называются изометричными, если существует изоморфизм линейных пространств, сохраняющий нормы векторов (а тогда и расстояния). Такой изоморфизм называется изометрией.

Заключение теоремы 6 при замене изоморфизма на изометрию не выполняется. Например, пространства не изометричны при различных р.



    1. Компактность в линейных нормированных пространствах

Уже было показано, что в пространствах любое замкнутое ограниченное множество является компактным. Пространства, для которых это так, называются локально компактными.



ТЕОРЕМА . Для того чтобы линейное нормированное пространство являлось локально компактным, необходима и достаточна его конечномерность.

В следующих двух теоремах устанавливается, что надо добавить к замкнутости и ограниченности в некоторых бесконечномерных пространствах, чтобы обеспечить компактность множеств.

Пространство С.

Напомним известное из математического анализа определение равномерной непрерывности функции. Функция х(t), определенная на числовом множестве U, называется равномерно непрерывной, если >0 >0 t1, t2U t1t2<  x(t1) x(t2) < . Смысл этого условия в том, что для данного  годится одно и то же значение  для всех точек множества. В курсе математического анализа установлено, что непрерывная функция, заданная на отрезке [a,b], является равномерно непрерывной. Если для всех функций из множества М С для заданного  > 0 годится одно и то же число  > 0, то множество М называется равностепенно равномерно непрерывным. Более формально множество функций М С называется равностепенно равномерно непрерывным, если >0 >0 xМ t1, t2[0,1] t1t2 <   x(t1) x(t2)<.

ТЕОРЕМА (Арцела). Для того, чтобы замкнутое ограниченное подмножество пространства ^ С было компактным, необходимо и достаточно, чтобы подмножество было равностепенно равномерно непрерывным.

Пространства lр.

ТЕОРЕМА . Для того, чтобы замкнутое ограниченное подмножество М пространства lр было компактным, необходимо и достаточно, чтобы >0 N xМ .


    1. Гильбертовы пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Пусть Х – линейное пространство и каждой паре векторов из ^ Х сопоставлено вещественное число (скалярное произведение (x,y)), удовлетворяющее следующим условиям:

- симметричность (x,y) = (y,x);

- ассоциативность по сложению(x1 + x2,y) = (x1,y) + (x2,y);

- ассоциативность по умножению на скаляры (x,y) = (x,y);

- неотрицательность (x,x)  0, причем равенство (x,x) = 0 выполняется только при x = 0. Такое пространство называется пространством со скалярным произведением.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ (Неравенство Коши-Буняковского). Для скалярного произведения справедливо неравенство (x,y)2  (x)(y,y).



ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Величина является нормой в пространстве со скалярным произведением.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . В пространстве со скалярным произведением выполняется следующее тождество: ||x + y||2 + ||x  y||2 = 2||x||2 + 2||y||2. Это известное из школьной геометрии свойство параллелограмма: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин его сторон. Справедливо и обратное утверждение: если норма удовлетворяет неравенству параллелограмма, то формулой (x, y) = (||x + y||2  ||x||2  ||y||2)/2 определено скалярное произведение.

Из предложения 17 легко следует, что пространство ^ С не является пространством со скалярным произведением. Рассмотрим функции х(t) = t, y(t) = 1t. Тогда х(t) + y(t) = 1, х(t) y(t) = 2t1. По определению нормы в пространстве С,
||x|| = ||y|| = ||x + y|| = ||x y||=1, т.е. равенство из предложения 17 нарушено.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Бесконечномерное линейное пространство со скалярным произведением, полное относительно соответствующей нормы, называется гильбертовым (по имени одного из крупнейших математиков 20 века Давида Гильберта). Гильбертово пространство будем обозначать символом Н.

Из пространств, рассмотренных выше, гильбертовым является пространство l2 (со скалярным произведением , необходимо доказать, что ряд сходится).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Если в пространстве со скалярным произведением xn x, yn y, то (xn,yn)  (x,y).

Угол [0,] между векторами x,y определим по формуле . Из неравенства Коши-Буняковского следует, что правая часть этого равенства по модулю не превосходит 1, т.е. угол всегда определен. В частности, векторы ортогональны, если =/2, т.е. (x,y)=0. Обозначение xy Если Lлинейное многообразие, то вектор x ортогонален L, если он ортогонален любому вектору из L. Обозначение xL.

ТЕОРЕМА . Пусть L – подпространство гильбертова пространства Н. Любой вектор xН можно единственным образом представить в виде y + z, где y L, zL. Вектор y называется проекцией x на подпространство L.

Элемент y называется проекцией вектора x на подпространство L. Множество векторов, ортогональных L, является линейным подпространством. Это подпространство L1 называется ортогональным дополнением L и 

обозначается L, а пространство Н называется прямой суммой подпространств L и L (обозначение Н=LL).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Бесконечное семейство векторов называется линейно независимым, если таковым является любое его конечное подсемейство. Среди линейно независимых семейств в гильбертовом пространстве выделяются ортонормальные семейства. Так называется система векторов (a1, a2, …, an,…), у которой (ai,aj) = 0 при i j и (ai, ai) = 1 при всех i.

По любой системе векторов (f1,f2,…,fn,…) в гильбертовом пространстве можно построить ортонормальную систему (a1, a2, …, an,…) с помощью следующей конструкции. Для простоты положим f10. Вектор a1=1 f1. Вектор a2 есть линейная комбинация векторов f1, fn1, где вектора f1, fn1 линейно независимы, а вектора f1,f2,…,fn11 линейно зависимы при n1>2. Вектор a3 есть линейная комбинация векторов f1, fn1, fn2 (n2>n1), если векторы f1, fn1, fn2 линейно независимы, а векторы f1, fn1, fn1+1,…, fn21 линейно зависимы при n2>n1+1, … .

ТЕОРЕМА . Всякое гильбертово пространство, в котором существует всюду плотная последовательность элементов (f1,f2,…,fn,…) (такие пространства называются сепарабельными), изометрично пространству l2.

Таким образом, фактически существует только одно гильбертово пространство с всюду плотной последовательностью элементов.


  1. ^

    Линейные операторы


Пусть X,Yлинейные нормированные пространства. Понятие линейного оператора А: XY означает справедливость тождеств А(x1+x2) = А(x1) + А(x2), А(x) = А(x). Нас будут интересовать непрерывные линейные операторы. Их множество будем обозначать символом L(X,Y). В этом пункте в частности будет установлено, что L(X,Y) можно наделить структурой линейного нормированного пространства. Приведем несколько примеров.

  1. Рассмотрим квадратную матрицу А = (аij) (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n). Рассмотрим отображение А: , действующее по правилу А(х1,…,хn) = . Из свойств матриц и векторов следует линейность оператора А. Напомним что сходимость в пространстве покоординатная, т.е. х(n)х(0), если при i=1,…,n. Отсюда следует, что А(х(n))  А(х(0)), т.е. оператор А непрерывный. Обратно, любое линейное отображение
    А:  порождается некоторой матрицей А и автоматически является непрерывным.

  2. 

  3. Пусть K(t,s) функция, непрерывная на квадрате 0  t  1, 0  s  1. Сопоставим функции х(t) C функцию y(s) = Функция y(s) непрерывная, т.е. y(s) C. Тем самым определен оператор A: CC. Его линейность следует из свойств интеграла. Далее, если
    (х1,х2) = maxх1(t) х2(t)<, то y1(t)y2(t)


Это неравенство означает, что рассматриваемый оператор непрерывный. Такой оператор называется интегральным с ядром K(t,s).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Линейный оператор А: X Y называется ограниченным, если существует такое положительное число Р, что
||Аx||  Р||x||. Здесь ||Аx||  норма элемента в пространстве Y,
||x||  норма элемента в пространстве X.


ТЕОРЕМА . Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.

Удивительно, что множество линейных непрерывных операторов L(X,Y) можно наделить структурой линейного нормированного пространства.

Если А,B L(X,Y), то суммой А+B линейных операторов называется оператор, действующий по правилу (А+B)(х) = Ах +Bх.

Если АL(X,Y), R, то произведением оператора на число называется оператор (А)(х) = (Ах). Поскольку в пространстве Y выполняются аксиомы линейного пространства, то множество L(X,Y) с введенными операциями является линейным пространством. Нулевым является оператор 0(х) = 0 для всех х.

Определим норму оператора как . Поскольку оператор ограниченный, то ||Аx||  Р||x|| при некотором Р, откуда число Р является верхней гранью множества {||Аx||: ||x||  1}, т.е. по теореме о точной верхней грани норма определена.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Определенная функция действительно является нормой.

Поскольку множество линейных непрерывных отображений имеет структуру линейного нормированного пространства, к нему применимы все результаты предыдущего раздела. Пример:

^ ТЕОРЕМА . Если Y – банахово пространства, то и пространство L(X,Y) банахово.


    1. 

    2. Сопряженные пространства и слабая сходимость

Линейный оператор А: XR называется линейным функционалом. Пространство L(X, R) банахово, поскольку пространство вещественных чисел полное. Линейные ограниченные функционалы будем обозначать f(x). Как и раньше, норма линейного функционала определяется формулой .

^ ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Пространство L(X, R) называется пространством, сопряженным к X и обозначается X*.

Конечномерные пространства.

Если (a1,…,an) базис в п-мерном пространстве L, то линейный функционал f однозначно задается значениями (f(a1),…, f(an)), поскольку для любого вектора значение функционала задается формулой . Мы будем использовать обозначение fi = f(ai). Обратно, любой набор п чисел (f1,…, fn) задает линейный оператор в п-мерном пространстве описанным образом. Таким образом, пространством, сопряженным с п-мерным, является также п-мерное пространство. По сути, это описание на новом языке факта, который излагался в курсе линейной алгебры. Но теперь этого мало: мы рассматриваем пространства, наделенные нормой.

При p > 1 пространством, сопряженным к , является пространство , где Если p=2, то и q=2, т.е. пространство является сопряженным к самому себе. Этот факт будет далее обобщен.

Сопряженным к пространству является пространство .

^ Функциональные пространства.

Сопряженным к пространству С является пространство функций с ограниченной вариацией (подробности опускаем). К пополненному пространству Lp сопряженным является пространство Lq (p и q связаны обычным соотношением примера 1).

Гильбертовы пространства.

ТЕОРЕМА . Пространство, сопряженное к гильбертову пространству Н, изометрично Н.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Последовательность {xn} в линейном нормированном пространстве слабо сходится к вектору x0, если для любого непрерывного функционала f справедливо утверждение f (xn)  f (x0).

Из непрерывности функционала следует, что из условия xnx0 по норме (в старом смысле) следует слабая сходимость. Приведем пример, который показывает, что обратное неверно.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве l2 последовательность векторов х1=(1,0,…,0,…), х2=(0,1,0,…,0,…),… (у вектора хn п-я координата равна единице, остальные нулевые). Отмечалось, что эта последовательность не сходится в 

метрике пространства l2. Пусть fl2. Тогда (fn)= fn0, поскольку ряд сходится. Тем самым хn слабо сходится к 0.


    1. ^ Три фундаментальные теоремы функционального анализа

ТЕОРЕМА (Хана-Банаха). Пусть Х – линейное нормированное пространство, Lлинейное многообразие в Х, f – линейный непрерывный функционал на L. Тогда f можно продолжить до линейного непрерывного функционала F на Х такого, что ||F|| = ||f ||.

Не всякое непрерывное отображение можно продолжить на более обширное множество. Так, функцию sin(1/x), непрерывную на множестве положительных чисел, нельзя продолжить на множество неотрицательных чисел. В то же время, равномерно непрерывную функцию продолжить можно. Линейный функционал является равномерно непрерывным и в этой части утверждение теоремы достаточно понятно. Сильнейшим является утверждение о возможности продолжения с сохранением нормы.

ТЕОРЕМА . (Банаха об обратном операторе). Если ^ А – линейный непрерывный оператор, биективно отображающий банахово пространство Х на все банахово пространство Y, то оператор А имеет непрерывный обратный.

Ранее отмечалось, что отображение, обратное к непрерывному и взаимно однозначному, не обязано быть непрерывным. Утверждается, что это так для отображений компактных пространств. Теорема Банаха утверждает справедливость этого для линейных отображений банаховых пространств.

ТЕОРЕМА . (Банаха-Штейнхауза) Если последовательность {^ An} линейных операторов ограничена в каждой точке банахова пространства Х, т.е. ||Anх||  N(х), то нормы операторов ограничены, т.е. существует число M такое, что ||An||  M.











^

Список литературы





  1. Акилов Г. П., Канторович Л. В. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984, 752с.

  2. Вайнберг М. М. Функциональный анализ. М.: Просвещение,1979, 128с.

  3. Гвишиани А. Д., Кириллов А. А. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1988, 398с.

  4. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965, 520с.

  5. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975, 449с.

  6. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980, 249с.





Скачать файл (252.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации