Введение

Лекции - Математический анализ
скачать (4427.7 kb.)

Доступные файлы (4):

Глава - 1.doc	1389kb.	31.07.2002 16:53	скачать
Глава - 2.doc	1321kb.	31.07.2002 16:55	скачать
Глава - 3.doc			скачать
Глава - 4.doc	456kb.	31.07.2002 16:57	скачать

содержание

Глава - 1.doc

1 2 3 4 5 6 7 8

Введение

Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики, которое может быть полезно для организации учебного процесса на факультете дистанционного обучения при самостоятельной подготовке студентов к экзаменам. Оно поможет без помощи преподавателя организовать планомерное изучение материала не только основных понятий и положений теории, но и основных приемов и методов решения задач.

В учебном пособии рассматриваются следующие темы: введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функций одной переменной, на которых базируется вся математика. Учебное пособие создано на основе опыта преподавания высшей математики в Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете на технических и гуманитарных факультетах.

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности.

После каждого раздела приводятся экзаменационные вопросы. Более подробное изложение данного материала можно найти в книгах, учебных пособиях и монографиях, указанных в списке литературы.

Специфика работы с пособием состоит в том, что сначала необходимо ознакомиться с базовыми понятиями и методами математического анализа, изложенными в соответствующих разделах, затем изучить практическую часть (главу 3), а затем перейти к выполнению контрольной работы, предусмотренной программой. Выполненную контрольную работу следует направить на рецензирование. В случае если рецензент обнаружит ошибки в контрольной работе, рекомендуется проработать материал до полного усвоения неясностей, сделать работу над ошибками в той же тетради, в которой была выполнена контрольная работа, и вернуть ее на повторное рецензирование.

Последним этапом работы с данным пособием является экзамен (зачет), вопросы к которому также приведены в заключительной части данного пособия.
^

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.1. Логическая и математическая символика

В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.

Математические символы:

Например, применяя символ «>» к числам a, b, получим запись «a > b», которая является сокращением для предложения: «число a больше числа b». Если

– обозначения прямых, то запись

есть утверждение, что

параллельна

. Запись «x

M» означает, что x является элементом множества M.

Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к высказываниям и предикатам.

Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2

2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2

2 = 4».

Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение: «число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x, а предложение: «a + b = c» – предикат от трех переменных a, b, c.

Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.

Будем обозначать предикаты как функции: Q(x) =«x > 0», F(x,b,c) = «x + b = c».

Логические символы:

Отрицание применяется к одному высказыванию или предикату, соответствует частице «не» и обозначается .

Например, формула

есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).

Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается: А & B (или A B).

Так формула (–3 > 0) & (2

2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2

2 = 4», которое, очевидно, ложно.

Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается AB .

Предложение: «число x принадлежит множеству

или множеству

» изображается формулой:

Импликация соответствует союзу «если ..., то ...» и обозначается: AB.

Так, запись «a > –1 a > 0» есть сокращение для предложения «если a > –1, то a > 0».

Эквиваленция AB соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B».

Символы

называются кванторами общности и существования, соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор

читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор

читается: «существует», «найдется» и др.

Квантор общности применяется к предикату F(x, ...), содержащему одну переменную (например, x) или несколько переменных, при этом получается формула xF(x,...), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F(x, ...)» или «все x обладают свойством F(x, ...)».

Например:

x(x > 0) есть сокращение для фразы: «любое x больше 0», которая является ложным высказыванием. Предложение:

a(a > 0

a > –1) является истинным высказыванием.

Квантор существования, примененный к предикату F(x,...) соответствует предложению «существует x, такой, что F(x,...)» («найдется x, для которого F(x,...)») и обозначается: xF(x,...).

Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается формулой

x(xR & x² = 2). Здесь квантор существования применен к предикату: F(x)=(xR & x² = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R).

Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F(x, y) содержит две переменные, то в предикате

xF(x, y) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x). К предикату

xF(x, y) можно применить квантор общности или существования по переменной y, тогда полученная формула

xF(x, y) или

xF(x, y) является высказыванием.

Так, предикат «|sinx| < a» содержит две переменные x, a. Предикат

x (|sinx| < a) зависит от одной переменной a, при

, выражающую истинное высказывание: «функция sinx является ограниченной».

Для некоторых формул введем сокращенную запись.

Так, вместо формулы x(xR & x² = 2) будем писать:xR(x² = 2),

вместо x(x > 0 & x² + 3 = 4) пишем: x > 0 (x² + 3 = 4).

Формулу