Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Применение основных теорем динамики механической системы - файл 1.doc


Применение основных теорем динамики механической системы
скачать (7444 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc7444kb.06.12.2011 11:41скачать

содержание

1.doc




Оглавление
Аннотация

1. Применение основных теорем динамики механической системы

  1. Постановка второй основной задачи динамики системы

  2. Определение закона движения системы

  3. Определение реакций внешних и внутренних связей




  1. Построение алгоритма вычислений

  2. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа второго рода




  1. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

  2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2 рода

Приложение

Анализ результатов
Аннотация.
Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность аб­солютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, парал­лельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления и возмущающая гармони­ческая сила F(t)= . Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определен закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведен численный анализ полученного решения с исполь­зованием ЭВМ.

Исходные данные:




α=30°

с=40 Н/см=4000 н/м μ=1 нс/см = 100 нс/м

F(t)= F0=50 Н р=3.14 с-1 m= 1 кг r= 0,1 м


Рис.1


Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ.

1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы.

Расчетная схема представлена на рис.1 здесь обозначено:
- силы тяжести;

Fсц - сила сцепления;

-, упругая реакция пружины;

Х3 ,^ Уз - реакция подшипника блока 3;

F(t)- возмущающая сила;

N4 - нормальная реакция опорной плоскости,

- сила вязкого сопротивления.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, каче­ние катка 4 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изме­нении кинетической энергии механической системы:


где Т - кинетическая энергия системы;

ΣNe – сумма мощностей внешних сил;

ΣNi – сумма мощностей внутренних сил.

Найдем кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-4:

Т=Т12+Тз+Т4

Груз 1 совершает поступательное движение, его кинетическая энергия:

Блок 2 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определяется по теореме Кенига:



где Vc2 – скорость центра масс;

— момент инерции относительно центральной оси блока;

w2 - угловая скорость блока.

Блок 3 совершает вращательное движение, его кинетическая энергия:

где - момент инерции относительно центральной оси блока;

w3 - угловая скорость блока.

Каток 4 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определя-'

ется по теореме Кенига:

где Vc4 - скорость центра масс катка;

- момент инерции относительно.центральной оси катка;

w4- угловая скорость катка.

Кинетическая энергия всего механизма равна:

или , (1.4)

где mпр – приведенная масса:



Найдем производную от кинетической энергии по времени:

Вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил. Мощность силы равна скалярному про­изведению вектора силы на скорость точки ее приложения: N = F-V = F-V-cos(F, V)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в сис­тему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощ­ностей всех внутренних сил будет равняться нулю: ΣNi=0/

Будут равняться нулю мощности следующих внешних сил, приложенных в точках, скорости ко­торых равны нулю: . Сумма мощностей остальных внешних сил:

С учетом кинематических соотношений (1.3) сумму мощностей внешних сил определим:

,

или ,

где Fпр – приведенная сила.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины, которое равно сумме статического fст и динамического S4 удлинений:


Сила вязкого сопротивления , тогда:


В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.5) S = S =0 и F(t)=0, получаем условие равновесия системы:


Отсюда статическое удлинение пружины равно:

, (1.6)
Подставляя выражение (1.6) в (1.5), получаем окончательное выражение для приведенной силы:
, (1.7)
Подставив выражения для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1.7) в уравнение (1.1), получаем дифференциальное уравнение движения системы:
(1.8)

где


Начальные условия движения при t=0: S = So=0,02 м и
1.2. Определение закона движения системы
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.8). Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения складывается из общего решения однородного уравнения Sod и частного решения неоднородного Sч: S = Sod+ S4. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид:
S+2-n-S+k2-S=0

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
L2+2-n-L+k2= 0

отсюда получаем:

Так как п < к решение однородного уравнения имеет вид:



где ; k1=31,1 c-1

Частное решение дифференциального уравнения (1.8) ищем в виде правой части:

S4 =А sin(pt)+ Bcos(pt) (2.1)
Подставляя (2.1) в (1.8), после преобразований получаем:



Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных А и В:



Решая эту систему, получаем следующие выражения:


;
Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения в виде:

Постоянные интегрирования α и β определяются из начальных условий, при t =0 имеем:

So =asinβ +B

So =α(-nsinβ + k1-cosβ) +Ap

Решая эту систему, получаем:






Закон движения имеет вид:
(м)

(м/с)

(м/с2)



Рис.2








Рис.3

\






Подставляя выражения (3.2) и (3.3) в общее уравнение динамики (3.1), получаем:



Поделив это уравнение на , получим дифференциальное уравнение колебаний системы:

,

где ; ;

; .

Начальные условия движения при t=0: S = So=0,02 м и .

    1. Составление дифференциального уравнения движения

механизма с помощью уравнения Лагранжа второго рода.

Для механической системы с одной степенью свободы уравнение Лагранжа второго рода имеет вид:

, (3.4)

где – кинетическая энергия системы;

– обобщённая сила;

– обобщённая координата;

– обобщённая скорость.

Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.4):

,

где ;

.

Производные от кинетической энергии:

; ; . (3.5)

Для определения обобщённой силы сообщим системе возможное перемещение и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил (3.2):



С другой стороны для системы с одной степенью свободы:

.

Сравнивая два последних соотношений, получаем:

(3.6)

Подставляя производные (3.5) и обобщённую силу (3.6) в уравнение Лагранжа (3.4), получаем:



или

, (3.7)

где ; ;

; .

Начальные условия движения при t=0: S = So=0,02 м и .


Скачать файл (7444 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации