Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Шпаргалки - Математическое моделирование (укр.) - файл матмод_шпоры.doc


Шпаргалки - Математическое моделирование (укр.)
скачать (295.9 kb.)

Доступные файлы (2):

матмод_шпоры.doc399kb.10.04.2010 20:06скачать
Шпоры(Мат. модели).doc4861kb.10.04.2010 20:06скачать

содержание

матмод_шпоры.doc

Основи мат.моделюв.(ММ)

1.Загальні поняття

2.Методи системного розв’яз.задач.

М. Як метод наукового дослідження

Методи: експеримент. і теоретичні.

Експеримент.пов’язані з безпосер.контактом з об’єктом дослідж. Суттю теорет.методів є побудова цілісної картини явищ на основі узагальн.експерим.фактів. теорет.методи не пов’яз. з взаємодією з об’єктом. ММ є одним з методів теорет.дослідж. Суть ММ: заміна реального явища деякою схемою,яка вивч. потім мат.методами. ММ інтенсивно розвивається, часом без ММ не можливо керувати виробн.процесом.
^

Поняття системи


Будемо розгляд. методи ММ як методи моделювання с-м. Під с-мою будемо розуміти організов. сукупність ел-тів, пов’яз.між собою істотними зв’язками, завдяки яким с-ма не є просто сукупністю ел-тів, а принципово новим якісним утворенням. Будемо пов’яз. з поведінкою с-ми набір чисел р12,..,рн, які будемо наз. пар-рами с-ми. Пар-ри, які однозначно задають стан с-ми, наз. пар-рами с-ми. Будемо розглядати лише с-ми, які х-зуються скінченною к-тю пар-рів р12,..,рн. Для скорочення запису використовуємо вектор стану параметрів с-ми р=(р12,..,рн). Якщо стан с-ми змінюється з часом, то пар-ри стану є ф-ями часу. Процес змінення с-ми із часом наз. еволюцією с-ми. Еволюція с-ми описується вектор-функцією. Дамо геометр.тлумачення поняття еволюціі с-ми. Введемо н-вимірний простір з координ. р12,..,рн . Очевидно, кожному стану с-ми відповідає точка з цього простору. Такий простір наз.фазовим простором с-ми. Коли стан с-ми змінюється з часом, то відпов. точка фазового простору описує в цьому просторі деяку криву, яка наз. траєкторією с-ми. В реальних умовах пар-ри стану с-ми не можуть набувати деяких значень. Виділимо у фазовому просторі обдасть G, всі точки якої відповід.можливим станам с-ми. Така область наз.припустимою областю с-ми. Кожна траєкторія с-ми лежить в припустимій області.

^ Процес мат.моделювання (ММ)

Загальні методологічні принципи

Розглянемо ММ як процес, що складається з послідовності етапів:

Попередній аналіз с-ми формул, мети моделювання→формулювання припущень, спрощень, гіпотез→формулювання співвіднош. мат.задачі→аналіз мат.задачі→розробка або вибір методів розв’яз. мат.задачі→створення алгоритму розв’язання→розробка прогр.забезпеч.→оцінка адекв.мат.моделі→обчислювальний експер.→формулюв. висновків та рекомендацій.

Реальне ММ є процесом, коли більшість етапів виконується не один раз.
^

Формулювання мети моделювання


Формулюв.принципів, гіпотез, спрощень, перехід до ідеаліз.схеми.

Грунтуючись на аналізі і сформульованій меті моделюв., відкидаються другорядні зв’язки с-ми, спрощують їх та роблять певні гіпотези про можливу поведінку с-ми. Після зроблених припущень, спрощ. та гіпотез, замість реальної с-ми виникає умовна с-ма, якої не має в дійсності, така с-ма значно простіше, але зберігає основні риси з погляду мети ММ. Одну і ту саму с-му можна приводити до різних ідеал.схем, в залежності від мети моделювання. Такі ідеалізовані схеми наз. мат. моделями.
^

Перехід від конкретних систем до дискретизації та континуалізації


Дискретиз.-заміна складної с-ми сукупністю дискретних точок, а континуалізація – дискретної реальної с-ми неперервним середовищем.
^

Формулювання мат.задачі


Після створення ідеалізованої схеми постає проблема опису закономірності ф-ня такої с-ми за допомогою мат.співвідношень. Сукупність таких мат.співвідношень утворює мат.задачу, що що відповідає мат.моделі. q1,q2,..,qn – навколишній світ, p1,p2,..,pn – система. p1,p2,..,pn – параметри стану с-ми. q1,q2,..,qn – пар-ри стану навколишнього світу.

Вивчення поведінки ідеалізов.схеми зводиться до вивч.пар-рів стану як ф-ій часу. Ці пар-ри повинні задовольняти співвіднош.мат.моделі. ці співвіднош.можна поділити на групи в залежності від зв’язків, які вони описують. Звернемо увагу на визначальні співвіднош.-описують внутр.зв’язки с-ми і повєязують між собою пар-ри стану с-ми. Визначальні співвіднош.за рівнем глибини можна поділити на: фундаментальні з-ни, феноменологічні з-ни, емпірічні залежності. Фундам.з–ни описують найбільш глибокі зв’язки в світі і не можуть бути описані за допомогою інших з-нів (певні постулати – початкова с-ма тверджень). Феноменологічні з-ни описують широке коло явищ і формулюються як узагальнення широкоекспериментальних даних. Емпірічні залежн.описують вузьке коло явищ і опираються на конкр.експерим.дані у конкретних умовах. Крім визначальних також існують співвіднош., що пов’язують поведінку с-ми з зовнішнім впливом. Найчастіше такі співвіднош.мають хар-р крайових умов. Існують математичні співвіднош., які за своєю природою не потребують якогось експеримент.обгрунтування, наприклад швидкість: v=ds/dt. Отримана с-ма співвідношень називається мат.задачею.
^

Аналіз мат.задачі


Далі описуємо мат.заадчу з погляду таких аспектів: корректність, рівнеь складності, класифікація, можливі мат.аналогії, розумне узагальнення задачі.

^ Коректність мат.задачі

Коректність мат.задачі (за Адамаром) – задача коректна, якщо виконуються 3 умови: розв’язок задачі існує, розв’язок єдиний, розвєязок задачі неперервно залежить від умов задачі. При моделюванні реальних явищ і с-м відповідні моделі повинні містити х-ки цих явищ та с-м: розміри, масу, к-ти і т.д. всі ці х-ки можна отримати експериментально, вони будуть наближеними величинами. Неперервність залежність – невеликі зміни хар-к викликають невеликі зміни розв’язку мат.задачі.

^ Теореми існування розв’язку мат.задачі

(тільки приклади некоректних задач)

Класифікація мат.задач

Аналіз мат.задачі, що виникла при ММ, включений до одного з класів відомих мат.задач. Така класифікація дозволяє скористатися вже відомими методами та р-татами при розв’язанні задач даного класу, звужує коло вивчення л-ри і спрощує спілкування з фахівцями певної галузі, дає змогу оцінити можливий час для розв’яз.задачі. важливе значення в ММ відіграють мат.аналогії, коли різні за своєю природою системи і явища описуються однаковими мат.задачами. це відкриває можливість вивчення одних проблем за допомогою вивчення інших.
^

Оцінка складності мат.задачі


Будемо розглядати складність мат.задачі за критеріями:

  1. складність відповідного класу задач,

  2. лінійні або нелінійні задачі,

  3. вимірність задачі,

  4. стаціонарні та еволюційні задачі,

  5. задачі прямі, обернені та оптимізаційні

Лінійні задачі-виконується принцип суперпозиції (приклад із масами і пружинками: сума результатів від дії кожного фактору окремо). Найчастіше лін.с-ми описуються лін.співвідношеннями, які є лін.відносно невідомих величин. Як правило, лін.мат.задачі набагато простіші ніж нелінійні. Це приводить до появи спрощених постановок з метою отримання лінійних задач.
^

Вимірність задачі


З одного боку під вимірністю розуміють к-ть незалежних просторових змінних в диференціальних та інтегральних р-нях (ДР і ІР) або к-ть невідомих величин у дискретних задачах (к-ть невідомих у с-мі лін.алгебр.р-нь (СЛАР), к-ть невідомих параметрів у задачах оптимізації). При зростанні к-ті просторових змінних різко зростає складність задачі.
^

Стаціонарні та нестаціонарні задачі


Задача наз.стаціонарною, якщо шукані величини не залежать від часу, тобто є ф-ями лише просторових координат. Нестаціонарні задачі використ. в мат.моделях для опису процесів, що істотно змінюються з часом. Нестаціон.задачі, як правило, набагато складніші. Виділяють так звані квазістаціон.задачі, тобто задачі, які опис.с-му нестаціонарну, але зміна стану відбув.повільно, тобто похідні за часом будуть →0, і їх відкидають. В р-ті виникає р-ня, що відповідає стаціонарному явищу.
^

Задачі прямі, обернені, оптимізаційні


Якщо задача, описує процеси в с-мі і метою розвєязку є знаходження поведінки с-ми при відомій стр-рі та зовнішніх впливах, то задача наз.прямою. Обернені задачі полягають у знаходженні стр-ри с-ми або зовн.впливів, за яких процес еволюції є заданим або потрібним з точки зору функціонування с-ми. Обернені задачі наз.ще задачами ідентифікації. Розв’язання обернених задач зводиться до послідовного розв’язання прямих. Оптимізаційні задачі пов’язані із створенням с-м, поведінка яких є найкращою з погляду деяких критеріїв оцінювання.
^

Методи розв’язування задач ММ


Можна умовно поділити на: аналітичні (АМ) і чисельні (ЧМ). Будемо розрізняти методи за процедурою їх реалізації і за формою результату. АМ є за процедурою здійснення послідовністю аналіт.перетворень формул. За формою р-ту АМ є методами, що дозволяють отримати розв’язок у вигляді аналіт.виразів, що поєднують вхідні та вихідні величини. ЧМ за процедурою здійснення є послідовність арифм.дій над числом, а р-т має вигляд таблиці чисел. ЧМ мають більш давню історію.

Серед перваг АМ вкажемо перш за все можливість отрим.розв’язку у вигляді формули, яку можна вивчати. АМ дають можливість вивчати і робити будь-які розрахунки з отриманою формулою. До того ж, використання АМ не вимагає спеціального обладнання. АМ мають низький равень універсальності. Це означає, що коло задач, які можна розв’яз.за допомогою АМ досить обмежене. АМ чутливі до зміни задачі. Часто невелика зміна умови задачі робить непридатним АМ. Незважаючи на декларовану можливість аналізу, дуже часто розв’язки є такими громіздкими, що їх вивчення стає неможливим. Найістотнішою перевагою ЧМ є високий рівень універсальності. За допомогою ЧМ можна розв’язувати широкі класи задач. Друга перевага ЧМ-гнучкість, тобто можливість адаптації до умов конкр.задачі. сильною стороною ЧМ є те, що їх використання можна поєднати з обробкою р-тів на комп’ютері. Недоліки ЧМ: кожен розрахунок на комп’ютері відноситься лише до певного вар-ту початкових данних, тому дуже важливо зводити задачу до безрозмірного (б/р) вигляду; використання ЧМ потребує глибоких знань програмування, а також розуміння особливостей розв’язання задач на комп’ютері (аналіз похибок округлення, потреб математичного часу). Кваліфіковане використання ЧМ вимагає грунтовних знань вищої математики.
^

Методи розв’язання мат.задач – точні і наближені


Під точними розуміють методи, що дозволяють знайти розв’язок задачі за скінченну к-ть дій. В наближених методах розв’язок отримують шляхом послідовних ітерацій і цей розв’язок формується як границя послідовності наближених розв’язків. Оскільки здійснити нескінченну к-ть ітерацій неможливо, то отримують ≈ розв’язок. Існують точні ЧМ і ≈ АМ.

^ Проблема оцінки похибки ≈ розв’язку

Під похибкою ≈ розв’язку розуміють різницю між точним та наближеним розв’язком.

n=(∫ab(Un(x)-U(x))2dx)1/2.

Коли потрібно досягти приблизно однакової похибки на всьому відрізку, то маємо формулу max|Un(x)-U(x)|, x є [a,b]; ||xn-x|| - норма різниці точного (х) і ≈розв’язку (xn).

Оцінки похибки ділять на:

  1. теоретичні аба апріорні;

  2. оцінки практичної збіжності або апостеріорні.

Апріорні вичисляють математичним шляхом виходячи з властивостей задачі та наближеного алгоритму, при цьому не обов’язково знати точний розв’язок задачі. Як правило, теоретична оцінка має вигляд: ||xn-x||≤c/n. Число  характеризує швидкість збідності. Це число відіграє істотну роль в оцінці ефективності алгоритму. На відміну від , стала с не має в таких оцінках якогось конкретного значення, с – невідома.

Апостеріорні оцінки грунтуються на вже отриманих наближених розв’язках.
^

Розглянемо деякі прийоми отримання оцінки


а) Оцінка практичної збіжності. Задача: обирають декілька величин, які є наслідком отримання розв’язку і характеризують найбільш істотні сторони с-ми, т.зв. характурні параметри, які найбільш важливі. Далі задача розв’язується при різних значеннях обчисл.пар-рів. Для кожного з отриманих розв’язків обчислюється значення х-них пар-рів. Інший поширений спосіб – порівняння з відомими аналіт.розв’язками.

б) ЧМ мають значно вищий рівень універсальності ніж АМ, і може статися, що серед класу задач, які розв’язуються ЧМ є задачі, які розв’язуються і АМ. Тоді ці задачі розв’язують обома методами і порівняння розв’язків дозволяє отримати реальну похибку. Проблема в тому, що в реальних складних задачах мало задач, що допускають аналіт.розв’язок і мають рівень складності всього класу задач.

в) Порівняння з чисельними розв’язками інших авторів. Доцільно провести розрахунки з однаковими вхідними даними. Часто для оцінки використовують порівняння з експериментом, однак таке порівняння містить серйозну логічну помилку. Справа в тому, що ЧМ використовуються в рамках мат.моделі. експериментальні дані стосуються поведінки реальних с-м, і тому принципово не можуть бути використані для оцінки похибки мат.розв’язання мат.задачі.
^
Розробка алгоритму та комплексу програмних закладів

Вкажемо відмінність методу, алгоритму та програмного забезпечення (ПЗ). Метод розв’язання задачі дає принципову схему та основні ідеї, а для використ.методу треба вказати конкр.послід.дій, яка наз. алгоритмом.
^
Оцінка адекватності мат.моделі (ММ)

Під оцінкою адекватності будемо розуміти цілеспрямовану перевірку р-тів ММ та відповідність цих р-тів основним рисам поведінки реальної с-ми. Означимо осн.підходи до оцінки адекватності ММ:

  1. ретроспективна – вона грунтується на використ.вже відомих експерим.даних, отриманих раніше без будь-якого зв’язку з проблемами оцінки адекватності. Слабкою стороною такого підходу є обмежений хар-р експерим.даних;

  2. активний метод. Більш ефективний; при такому способі спеціально плануються і проводяться експерименти в реальній с-мі.

^ Оцінка роботи ММ в критичних ситуаціях

Експертна оцінка адекватності використ.коли с-ми ще немає, а лише проектується або коли проведення експеримента не можливе чи коштує надто дорого, або його проведення руйнує саму с-му. В таких ситуаціях доводиться обмежуватись експертними оцінками. Запрошеній групі фахівців пропонують дати конкретні відповіді на конкр.питання з ММ. Потім ці р-ти узагальнюють і приймається рішення щодо адекватності моделі. Оцінка адекв.містить суб’єктивний ел-т.

Обчислювальний експеримент – систематичне використання ММ для вивчення поведінки с-ми (коли вже проведена оцінка адекватності і модель визнана адекватною). Фактично обчислювальний експеримент замінює натур.експеримент і має переваги (дешевше, можна оптимізув.пар-ри с-ми).

Вкажемо основні етапи обчислювального експерименту:

  1. формулювання мети експерим.;

  2. планування експерименту;

  3. обробка р-тів обчисл.експерименту;

  4. висновки, формулювання рекомендацій.

Наближення таблично заданих ф-ій

розрізняють 2 підходи до поповнення значень таблично заданих ф-ій: інтерполяція – проведення кривої, яка проходить через всі задані експериментальні точки; та апроксимація – передбачає проведення кривих, які проходять по можливості найближче до табличних значень. Найбільш поширеним критерієм близькості кривої є середньоквадратичне наближення (СКН) і критерій, пов’язаний з мінімізацією максимального відхилення.

Нехай y1,y2,..,yn табличних значень деякої ф-ї в точках x1,x2,..,xn. Нехай у=f(х) – крива, якою ми наближаємо ці дані. Сама крива ще не побудована. Згідно з критерієм найменших квадратів, ф-я f(x) повинна бути подобрана таким чином, щоб ∑mi=1(f(xi)-yi)2min найчастіше f(x) записується у вигляді комбінацій відомих ф-ій (поліномів), наприклад, f(x)=∑mi=1ci∙φi(x) (φi(х) – фіксовані наперед задані ф-ії). Тоді задача зводиться до знаходження чисел c1,c2,..,cn з умови мінімума середньоквадратичного відхилення. Перевага: задача зводиться до розв’язання с-ми лін.алгебр.р-нь (СЛАР). Може виявитись, що в деяких точках відхил.велике, а в деяких мале (нерівномірний хар-р наближення). Коли така ситуація неприйнятна, використ.критерій рівномірного ≈. Суть: f(x) обирається так, щоб max|f(xi)-yi|, (i=1,n) – задача мінімаксу. Недолік: задача зводиться до відносно складної проблеми – мінімаксу. Перевага: рівномірний хар-р ≈ (відхилення у всіх точках приблизно однакове). Розглянемо детально проблеми інтерпол. P(x)=a0+a1x+…+anxn, Pn(xi)=yi (i=0,n). С-ма (n+1) ЛАР відносно с-ми (n+1) невідомих, така с-ма має 1 розв’язок. Застосування поліномів показало, що досить типовою є ситуація, коли в проміжках між вузлами інтерполяції значення інтерп.полінома істотно відрізняється від значення ф-ії, яку інтерполюють.

причому, зростання степені полінома амплітуда коливань зростає (хоча формально крива проходить через всі вузли).

Інтерполяція сплайнами

Ідея сплайн-інтерполяції полягає в тому, щоб на кожному проміжку між вузлами, використовується для наближення поліном низького степеню. Так, щоб склеєна з окремих поліномів крива була неперервною і гладкою. Найчастіше використ.кубічний сплайн. На будь-якому з відрізків [xi,xi+1] таблично задана ф-ія наближується кубічним поліномом: Рі30(і)х+а2(і)х23(і)х3 (4 коефіцієнти, відрізків n, отже 4n коеф.). Вимагаємо, щоб значення сплайна в кожному вузлі дорівнювало табличному, це дає 2n умов, вимагаємо, щоб крива не мала розриву у вузлах (була гладкою) (3n-1 умова – резерв з n+1 умови), вимагаємо, щоб була неперервною 2 похідна у вузлі (кривизна змінюється неперервно). Тоді з’являється ще n-1 умова, тобто залишається 2умови (найчастіше – щоб похідна на кінцях дорівнювала 0).

......ПРОПУСК.....

Міn3//(x), Mi=Pn3(x) отже на кожній ділянці друга похідна змінюється за лін.з-ном:

Pn3//(x)=Mi-1∙(x-xi-1)/hi+Mi∙(xi-x)/hi

Оск-ки значення Мі буде однаковим зліва і справа, х буде однаковим, то забезпеч.умова неперервн.другої похідної. Проінтегруємо вираз і отримаємо 1 похідну Pn3/(x). Сталі інтегрування, які з’явл., знах.з умови неперервності 1 похідних. Після цього інтегруємо ще раз, отримуємо значення Pn3(x). Сталі інтегрування знах.з умови, щоб у вузлах сплайн Pn3(x) дорівнював заданим знач. Остаточно для Pn3(x) маємо вираз на і ділянці:

Pn3(x)=Mi-1∙(xі-x)3/6hi+Mi∙(x-xі-1)3/6hi+(уі-1і-1hi2/6)∙(xі-x)/hi+(уііhi/6)∙(x-xi-1)/hi , x є [xi-1,xi]

Для знаходження коеф. Mi треба розв’язати СЛАР:

hi/6 Мі-1+(hi+hi-1)/3∙Mi+ hi+1/6 Мі+1=(yi+1-yi)/hi+1-(yi-yi-1)/hi

зауважимо, що невідомих в с-мі n+1, а р-нь n-1, тому 2 невідомих можна обрати довільними. Найчастіше обирають M0 Mn. Зауважимо, що р-ня містить 3 невідомих величини. Відповідні ненульові ел-ти матриці розташовані вздовж головної діаг. Такі матриці наз.тридіагональними. ефективний метод розв’язання тридіагональних с-м – метод прогонки. Оск-ки діагональний ел-т набагато більше, ніж сума позадіагональних, то це забезпечує збіжність методу Зейделя.

^ Розв’язання СЛАР високих порядків

Зауважимо, що для с-м високих та надвисоких порядків у більшості випадків значна частина ел-тів матриці с-ми є нульовими. Причому, із збільшенням порядку с-ми доля ненульових елементів зменшується. Тому,ефект.методами будуть лише методи розв’язання с-ми, що враховують саме таку особливість матриці с-ми. Для розв’язання с-м надвисоких порядків все частіше використ.ітераційні методи. Розглянемо метод Зейделя (МЗ) та його ефективну модифікацію – метод послідовної верхньої релаксації.

^ Метод Зейделя

Розглянемо с-му. Кожен ітераційний метод починається з вибору початкового наближення, тобто задаються конкретні значення невідомих x1(0), x2(0),..,xn(0)

Знаходимо перше наближення. За x1(1) обираємо число

x1(1)=-1/a11∙(a12x2(0)+…+a1nxn(0)-b1)

x2(1)=-1/a22∙(a21x1(1)+…+a2nxn(0)-b2)

Структура розрахункових формул дозволяє уникнути зайвих дій над нулями. Закінчивши 1 ітерацію. Аналогічно виконуємо 2 і т.д. оск-ки інших оцінок похибки немає, то ітерац.процес припиняється тоді, коли різниця між двома сусідніми наближенями стає менше деякого пар-ра похибки. Найчастіше для оцінки різниці застосовують СКН:

Процес припиняється коли ≤

Слід підкреслити, що величина  не має ніякого відношення до реальної похибки наближеного розв’язку. Сенс числа  полягає у тому, що чим менше , тим точніше розв’язок. Практичну величину  підбираємо шляхом обчислювального експерименту. Беруть декілька значень  і зупиняються на такому, при якому потрібні пар-ри розв’язку практично вже не змінюються.

^ Метод верхньої релаксації (Янг, Франкел)

На відміну від МЗ, знаходження кожного найближення для кожної змінної відбувається в 2 етапи: на 1 етапі здійсн.крок МЗ. Знайдене за МЗ значення xi(s) ще не вважається значення xi на s ітерації, тому позначається xi*. За xi(s) приймається число xi(s)= xi(s-1)+ω∙( xi*- xi(s-1)). Множник ω називають пар-ром релаксації. Очевидно, при ω=1 маємо МЗ. При ω<1 – метод нижньої релаксації, ω>1 – верхньої. Дослідження показали, що реальний практичний сенс має метод верхньої релаксації. Для достатнього визначення симетричної матриці с-ми, що збігається для всіх ω з інтервала (0,2), тому логічно ставити питання про знаходження такого ω з цього інтервала, при якому швидкість збіжності максимальна. ωопт справді існує. Отримані формули для його визначення, але вони не мають реального значення, оскільки треба знати власні матриці с-м, а це ще складніша задача. Практично параметр релаксації ω підбирається шляхом обчисл.експерименту. використ.значень ω близьких до ωопт в багатьох задачах дозволяє знизити час розв’язання в 20-30 разів у порівнянні з методом Зейделя.


Скачать файл (295.9 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации