Контрольная работа
скачать (197.5 kb.)
Доступные файлы (1):
1.doc | 198kb. | 06.12.2011 12:01 | ![]() |
содержание
- Смотрите также:
- Вариант 1, Контрольная работа 5,6 [ документ ]
- Клеточный цикл, митоз, мейоз [ лабораторная работа ]
- Контрольная работа по прикладной математике [ лабораторная работа ]
- Вариант 1, Контрольная работа 3,4 [ документ ]
- Металловедение и термическая обработка металлов [ лабораторная работа ]
- дифференциальные уравнения [ лабораторная работа ]
- ТАУ №1-3 [ документ ]
- в 11 классе [ лабораторная работа ]
- Эстафеты и игры [ лабораторная работа ]
- Адаптация к новой культурной среде: этапы и факторы [ лабораторная работа ]
- Профессиограмма социального педагога [ лабораторная работа ]
- Международное уголовное право [ лабораторная работа ]
1.doc
Федеральное агентство по образованиюГосударственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Камская Государственная Инженерно-Экономическая Академия
Кафедра ПИУ
Контрольная работа
по предмету
Вычислительная математика
Выполнил: студент гр. 4268с
Попов Р.О.
Проверил: доцент
Ежикова П.Р.
Набережные Челны
2008
Задание 1
Решить нелинейные уравнения с точностью до 0,001 методом бисекции, методом хорд и методом касательных: 2 - ln x – x = 0.
Решение:
Найдём интервал изоляции действительного корня уравнения. Представим данное уравнение в виде 2 - ln x = 0. Точки пересечения этих графиков находится в интервале [1;2].
^ ) Методом бисекции:
Пусть необходимо решить уравнение f(x) = 2 - ln x - x = 0, где функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и корень х0 заключен в том же интервале.


Данные точки подставим в уравнение
f(a0) = f(1) = 2 – ln 1 – 1 = 1
f(b0) = f(2) = 2 – ln 2 – 2 = -0,6931
Разделим отрезок [а; b] пополам, т. е. найдем



Так как



При повторном делении производятся те же самые операции: новый отрезок [а;b] делится пополам, вычисляется значение функции в точке деления f(x) и определяется отрезок, содержащий истинный корень с0.
Процесс деления продолжают тех пор, пока длина отрезка [a;b], содержащего корень, не будет меньше некоторого наперед заданного числа


Метод половинного деления обладает существенным недостатком — медленной сходимостью процесса вычисления корней. При увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы.
Для ускорения вычислительного процесса применяют методы последовательных приближений или, так называемые, итерационные методы. В их основе положена идея вычисления каждого последующего значения на основании предыдущего, то есть использование рекуррентных формул вида
сi+1=f(cn)
^ Методом хорд:
Пусть необходимо решить уравнение f(x) =



Данные точки подставим в уравнение


Также нашли отрезок [а; b] на котором функция f(x) меняет знак. В данном методе процесс итерации состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения с0, с1..точек пересечения хорды с осью абсцисс.
Сначала находим уравнение хорды АВ:

Для точки пересечения ее с осью абсцисс (х = сi, у = 0) получим уравнение

Подставим данные в формулу:


В отличие от метода деления пополам в методе хорд условие окончания итераций типа


^ ) Методом касательных:
Пусть уравнение f(x)=



Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что на k-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y = F(x) при x = ck-1 и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок [a, b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х = c0.
Уравнение касательной, проведенной к кривой y = F(x) с координатами с0 и F(с0), имеет вид y-F(с0)=F′(с0)•(x-с0).
Отсюда найдем следующее приближение корня с1 как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у = 0):

Следующее приближение с3 находим по формуле:

Применяя формулы уточнения значения корня многократно, получим в общем виде:

При этом необходимо, чтобы F′(с-с1) не равнялась нулю.
Процесс вычислений заканчивают обычно по условию |ci – ci-1 |<


f2(a) – вторая производная от уравнения функции


f1(ci) – первая производная от функции f(ci)
Сводная таблица
Метод бисекции | Метод хорд | Метод касательных |
1,5571 | 1,5572 | 1,5571 |
Задание 2
Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций.
1)


Решение:
^ ) Метод прямоугольника:
Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(x). С помощью точек х1, х2, …, хn разобьем отрезок [a,b] на n элементарных отрезков, не обязательно равных [xi-1,xi], где выберем точку

И найдем произведение значения функции


Это площади прямоугольников, из которых состоит вся площадь.
Составим сумму таких произведений на всем отрезке [a,b]:

Данный метод непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой. В качестве







Широко распространение и более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах)

где

1)



Высота прямоугольника:




2)



Высота прямоугольника:




^ ) Метод трапеции:
Метод трапеции использует линейную интерполяцию, т.е. график функции y= f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (xi, yi). В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеции. Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:

Важным частным случаем рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом



1)



Высота прямоугольника:





2)



Высота прямоугольника:





Сводная таблица
Функция | Метод прямоугольника | Метод трапеции |
![]() | 0,571 | 0,571 |
![]() | 0,030 | 0,030 |
Задание 3
Составить решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка усовершенствованным методом ломанных на отрезке [0,2;1,2] с шагом 0,1 при начальном условии у(0,2)=0,25. Все вычисления с четырьмя десятичными знаками.

Решение:
Это краевая задача, т.к. заданы края [0,2;1,2] и начальные условия у0 = 0,25, х0 = 0,2. Выбираем h = 0,1 используем формулу Эйлера

i = 10 – количество шагов
Последовательно находим:

Скачать файл (197.5 kb.)