Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Контрольная работа - файл 1.doc


Контрольная работа
скачать (197.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc198kb.06.12.2011 12:01скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Камская Государственная Инженерно-Экономическая Академия

Кафедра ПИУ

Контрольная работа

по предмету

Вычислительная математика

Выполнил: студент гр. 4268с

Попов Р.О.

Проверил: доцент

Ежикова П.Р.


Набережные Челны

2008

Задание 1

Решить нелинейные уравнения с точностью до 0,001 методом бисекции, методом хорд и методом касательных: 2 - ln x – x = 0.
Решение:

Найдём интервал изоляции действительного корня уравнения. Представим данное уравнение в виде 2 - ln x = 0. Точки пересечения этих графиков находится в интервале [1;2].
^ I) Методом бисекции:

Пусть необходимо решить уравнение f(x) = 2 - ln x - x = 0, где функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и корень х0 заключен в том же интервале.

,

, - точки пересечения находящиеся в интервале [1; 2]

Данные точки подставим в уравнение

f(a0) = f(1) = 2 – ln 1 – 1 = 1

f(b0) = f(2) = 2 – ln 2 – 2 = -0,6931

Разделим отрезок [а; b] попо­лам, т. е. найдем и вычислим значение функции f(x) в этой точке.

, .

Так как , то выбираем ту половину отрезка [a; x] или [с; b], на концах которой функция f(х) имеет проти­воположные знаки. Половина участ­ка, не содержащая корня ([а; с]), отбрасывается, и левая граница интервала перемещается в точку деления пополам (а = с):

,

.

При повторном делении производятся те же самые опера­ции: новый отрезок [а;b] делится пополам, вычисляется значение функции в точке деления f(x) и определяется отрезок, содержащий истинный корень с0.

Процесс деления продолжают тех пор, пока длина отрезка [a;b], содержащего корень, не бу­дет меньше некоторого наперед заданного числа и пока значение функции в точке деления у = f(x) превышает по абсолютной величине.

Метод половинного деления обладает существенным недо­статком — медленной сходимостью процесса вычисления корней. При увеличении точности значительно возрастает объем вычис­лительной работы.

Для ускорения вычислительного процесса применяют ме­тоды последовательных приближений или, так называемые, итерационные методы. В их основе положена идея вычисления каждого последующего значения на основании предыдущего, то есть использование рекуррентных формул вида

сi+1=f(cn)
^ II) Методом хорд:

Пусть необходимо решить уравнение f(x) = , где функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и корень х0 заключен в том же интервале.

,

, - точки пересечения находящиеся в интервале [1; 2]

Данные точки подставим в уравнение

,

.

Также нашли отрезок [а; b] на котором функция f(x) меняет знак. В данном методе процесс итерации состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения с0, с1..точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Сначала находим уравнение хорды АВ:



Для точки пересечения ее с осью абсцисс (х = сi, у = 0) получим уравнение



Подставим данные в формулу:





В отличие от метода деления пополам в методе хорд условие окончания итераций типа неприменимо. Вместо этого нужно использовать условие близости двух последовательных приближений . Метод деления отрезка пополам и метод хорд весьма похожи, в частности, процедурой проверки знаков функций на концах отрезка. При этом второй из них в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса.
^ III) Методом касательных:

Пусть уравнение f(x)= имеет один корень на отрезке [а, b], а его первая и вторая производные определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки в этом интервале.

,

, - точки пересечения находящиеся в интервале [1; 2]

Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что на k-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y = F(x) при x = ck-1 и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок [a, b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х = c0.

Уравнение касательной, проведенной к кривой y = F(x) с координатами с0 и F0), имеет вид y-F0)=F′(с0)•(x0).

Отсюда найдем следующее приближение корня с1 как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у = 0):



Следующее приближение с3 находим по формуле:



Применяя формулы уточнения значения корня многократно, получим в общем виде:



При этом необходимо, чтобы F′(с-с1) не равнялась нулю.

Процесс вычислений заканчивают обычно по условию |ci – ci-1 |<. Разность между соседними приближениями должна быть меньше заданной степени точности . Однако скорость сходимости здесь значительно выше, чем в других методах.

f2(a) – вторая производная от уравнения функции



f1(ci) – первая производная от функции f(ci)
Сводная таблица

Метод бисекции

Метод хорд

Метод касательных

1,5571

1,5572

1,5571



Задание 2

Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций.

1) 2)
Решение:
^ I) Метод прямоугольника:

Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(x). С помощью точек х1, х2, …, хn разобьем отрезок [a,b] на n элементарных отрезков, не обязательно равных [xi-1,xi], где выберем точку



И найдем произведение значения функции в этой точке на длину элементарного отрезка



Это площади прямоугольников, из которых состоит вся площадь.

Составим сумму таких произведений на всем отрезке [a,b]:

- интегральная сумма.

Данный метод непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой. В качестве можно выбрать левые () или правые () границы элементарных отрезков. Обозначая , , получаем следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих двух случаев:

(для левых)

(для правых)

Широко распространение и более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах)



где
1)



- Число шагов

Высота прямоугольника:



- значение функции в средней точке

- значение функции

- площадь маленького прямоугольника

2)



- Число шагов

Высота прямоугольника:



- значение функции в средней точке

- значение функции

- площадь маленького прямоугольника
^ II) Метод трапеции:

Метод трапеции использует линейную интерполяцию, т.е. график функции y= f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (xi, yi). В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеции. Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:



Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:



Важным частным случаем рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом . Формула трапеции в этом случае принимает вид:



1)



- Число шагов

Высота прямоугольника:



- значение функции в средней точке

- значение функции

- коэффициент

- площадь маленькой трапеции


2)



- Число шагов

Высота прямоугольника:



- значение функции в средней точке

- значение функции

- коэффициент

- площадь маленькой трапеции


Сводная таблица

Функция

Метод прямоугольника

Метод трапеции




0,571


0,571




0,030



0,030


Задание 3

Составить решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка усовершенствованным методом ломанных на отрезке [0,2;1,2] с шагом 0,1 при начальном условии у(0,2)=0,25. Все вычисления с четырьмя десятичными знаками.


Решение:

Это краевая задача, т.к. заданы края [0,2;1,2] и начальные условия у0 = 0,25, х0 = 0,2. Выбираем h = 0,1 используем формулу Эйлера

i = 10 – количество шагов

Последовательно находим:




Скачать файл (197.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации