Контрольная работа

Контрольная работа
скачать (197.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc

198kb.

06.12.2011 12:01

скачать

содержание

1.doc

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Камская Государственная Инженерно-Экономическая Академия

Кафедра ПИУ

Контрольная работа

по предмету

Вычислительная математика

Выполнил: студент гр. 4268с

Попов Р.О.

Проверил: доцент

Ежикова П.Р.

Набережные Челны

2008

Задание 1

Решить нелинейные уравнения с точностью до 0,001 методом бисекции, методом хорд и методом касательных: 2 - ln x – x = 0.
Решение:

Найдём интервал изоляции действительного корня уравнения. Представим данное уравнение в виде 2 - ln x = 0. Точки пересечения этих графиков находится в интервале [1;2].
^ I) Методом бисекции:

Пусть необходимо решить уравнение f(x) = 2 - ln x - x = 0, где функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и корень х₀ заключен в том же интервале.

, - точки пересечения находящиеся в интервале [1; 2]

Данные точки подставим в уравнение

f(a₀) = f(1) = 2 – ln 1 – 1 = 1

f(b₀) = f(2) = 2 – ln 2 – 2 = -0,6931

Разделим отрезок [а; b] пополам, т. е. найдем

и вычислим значение функции f(x) в этой точке.

.

Так как

, то выбираем ту половину отрезка [a; x] или [с; b], на концах которой функция f(х) имеет противоположные знаки. Половина участка, не содержащая корня ([а; с]), отбрасывается, и левая граница интервала перемещается в точку деления пополам (а = с):

.

При повторном делении производятся те же самые операции: новый отрезок [а;b] делится пополам, вычисляется значение функции в точке деления f(x) и определяется отрезок, содержащий истинный корень с₀.

Процесс деления продолжают тех пор, пока длина отрезка [a;b], содержащего корень, не будет меньше некоторого наперед заданного числа

и пока значение функции в точке деления у = f(x) превышает по абсолютной величине

.

Метод половинного деления обладает существенным недостатком — медленной сходимостью процесса вычисления корней. При увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы.

Для ускорения вычислительного процесса применяют методы последовательных приближений или, так называемые, итерационные методы. В их основе положена идея вычисления каждого последующего значения на основании предыдущего, то есть использование рекуррентных формул вида

с_i₊₁=f(c_n)
^ II) Методом хорд:

Пусть необходимо решить уравнение f(x) =

, где функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и корень х₀ заключен в том же интервале.

, - точки пересечения находящиеся в интервале [1; 2]

Данные точки подставим в уравнение

.

Также нашли отрезок [а; b] на котором функция f(x) меняет знак. В данном методе процесс итерации состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения с₀, с₁..точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Сначала находим уравнение хорды АВ:

Для точки пересечения ее с осью абсцисс (х = с_i, у = 0) получим уравнение

Подставим данные в формулу:

В отличие от метода деления пополам в методе хорд условие окончания итераций типа

неприменимо. Вместо этого нужно использовать условие близости двух последовательных приближений

. Метод деления отрезка пополам и метод хорд весьма похожи, в частности, процедурой проверки знаков функций на концах отрезка. При этом второй из них в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса.
^ III) Методом касательных:

Пусть уравнение f(x)=

имеет один корень на отрезке [а, b], а его первая и вторая производные определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки в этом интервале.

, - точки пересечения находящиеся в интервале [1; 2]

Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что на k-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y = F(x) при x = c_k_-1 и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок [a, b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х = c₀.

Уравнение касательной, проведенной к кривой y = F(x) с координатами с₀ и F(с₀), имеет вид y-F(с₀)=F′(с₀)•(x-с₀).

Отсюда найдем следующее приближение корня с₁ как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у = 0):

Следующее приближение с₃ находим по формуле:

Применяя формулы уточнения значения корня многократно, получим в общем виде:

При этом необходимо, чтобы F′(с-с₁) не равнялась нулю.

Процесс вычислений заканчивают обычно по условию |c_i– c_i_-1 |<

. Разность между соседними приближениями должна быть меньше заданной степени точности

. Однако скорость сходимости здесь значительно выше, чем в других методах.

f2(a) – вторая производная от уравнения функции

f1(c_i) – первая производная от функции f(c_i)
Сводная таблица

Метод бисекции	Метод хорд	Метод касательных
1,5571	1,5572	1,5571

Задание 2

Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций.

1)

Решение:
^ I) Метод прямоугольника:

Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(x). С помощью точек х_1,х₂, …, х_n разобьем отрезок [a,b] на n элементарных отрезков, не обязательно равных [x_i_-1,x_i], где выберем точку

И найдем произведение значения функции

в этой точке на длину элементарного отрезка

Это площади прямоугольников, из которых состоит вся площадь.

Составим сумму таких произведений на всем отрезке [a,b]:

- интегральная сумма.

Данный метод непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой. В качестве

можно выбрать левые (

) или правые (

) границы элементарных отрезков. Обозначая

, получаем следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих двух случаев:

(для левых)

(для правых)

Широко распространение и более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах)

где

- Число шагов

Высота прямоугольника:

- значение функции в средней точке

- значение функции

- площадь маленького прямоугольника

2)

- Число шагов

Высота прямоугольника:

- значение функции в средней точке

- значение функции

- площадь маленького прямоугольника
^ II) Метод трапеции:

Метод трапеции использует линейную интерполяцию, т.е. график функции y= f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (x_i, y_i). В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеции. Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:

Важным частным случаем рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом

. Формула трапеции в этом случае принимает вид:

- Число шагов

Высота прямоугольника:

- значение функции в средней точке

- значение функции

- коэффициент

- площадь маленькой трапеции

2)

- Число шагов

Высота прямоугольника:

- значение функции в средней точке

- значение функции

- коэффициент

- площадь маленькой трапеции

Сводная таблица

Функция	Метод прямоугольника	Метод трапеции
	0,571	0,571
	0,030	0,030

Задание 3

Составить решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка усовершенствованным методом ломанных на отрезке [0,2;1,2] с шагом 0,1 при начальном условии у(0,2)=0,25. Все вычисления с четырьмя десятичными знаками.

Решение:

Это краевая задача, т.к. заданы края [0,2;1,2] и начальные условия у₀= 0,25, х₀= 0,2. Выбираем h = 0,1 используем формулу Эйлера

i = 10 – количество шагов

Последовательно находим:

Скачать файл (197.5 kb.)

Контрольная работа - файл 1.doc

Доступные файлы (1):

1.doc