Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Контрольная работа. Вариант 14 - файл 1.doc


Контрольная работа. Вариант 14
скачать (534.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc535kb.06.12.2011 12:15скачать

содержание

1.doc

Федеральное агентство по образованию

Московский государственный открытый университет

Чебоксарский политехнический институт


Кафедра

Управления и информатики в технических системах


Специальность 220201

Контрольная работа №1
по курсу «Идентификация и диагностика систем»
Вариант № 14

Дата проверки: Выполнила студентка:

Цветкова Н.В.


Результат проверки: Учебный шифр: 607081
Курс: 3 (сокращ.)


Замечания: Проверила: Изосимова Т.А.
2009 год

Содержание.


  1. Активный и пассивный эксперименты идентификации объектов.


Оптимизация технологического процесса производства любой продукции содержит важный этап - определение (отыскание) математической модели.

Под математической моделью будем понимать уравнение, связывающее выходную величину модели с входными независимыми величинами.

Y=f(x1,x2,...,xn,t) (1)

Эту функциональную зависимость в планировании эксперимента называют функцией отклика, а входные независимые величины - факторами.

Эксперимент – это система операций и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследовательских испытаниях.

Проводя эксперименты, изменяя значения факторов (xi) и регистрируя значения результатов (y) - можно получить как угодно много информации о функции (1), необходимо только знать, как правильно использовать эту возможность. Функцию Y обычно представляют в виде уравнения регрессии

Y = f(a +bi *xi).

Факторы xi могут быть представлены в первой (линейная зависимость) или более высокой степени (нелинейная зависимость), а также в виде взаимных произведений (то есть влияния на Y взаимодействия двух или более факторов). Значения коэффициентов (a, bi) определяются на основе метода наименьших квадратов.

Существует много методов отыскания уравнения регрессии, которые можно условно разделить на два класса: методы активного и методы пассивного эксперимента.

При пассивном эксперименте исследователь находится в роли пассивного наблюдателя. Эксперимент ведет сама природа. Экспериментатору приходится только фиксировать значения входных и выходных величин. Модели, полученные методом пассивного эксперимента, почти не удается проверить на адекватность.

Достоинства данного метода - практически полностью отсутствуют затраты на эксперимент.

Недостатки:

  1. В нормальных условиях эксплуатации колебания технологического режима невелики и поэтому экспериментальные точки близки друг к другу. В этих условиях на точность описания могут сильно повлиять случайные ошибки.

  2. Необходимо иметь достаточно большое количество экспериментальных данных.

Данный метод применяется в том случае, если из множества всех наблюдаемых сигналов можно выделить подмножество независимых составляющих. Такая возможность существует, например, при выполнении каскада различных фигур высшего пилотажа высокоманевренным самолетом. Вместе с тем пассажирские самолеты, дальние бомбардировщики и военно-транспортные самолеты являются маломаневренными самолетами. Все полетные задание таких самолетов, как правило, сводится к взлету, набору высоты, координированным разворотам, планированию и посадке. Из синхронных записей управляющих воздействий не всегда удается выделить необходимые для идентификации независимые составляющие управляющих воздействий.

При активном эксперименте исследователь вмешивается в процесс эксперимента путем варьирования уровней входных величин. В рамках активного эксперимента построение модели проходит следующие этапы:

  1. выбирается форма модели процесса;

  2. строится план эксперимента;

  3. проводится экспериментирование;

  4. дается анализ результатов эксперимента.

Диапазоны изменения всех факторов, в которых изучается их влияние на функцию Y, могут быть широкими, ограниченными лишь физическими соображениями, если необходимо получить общее описание явления (интерполяционные задачи), или, наоборот, узкими, когда ищется путь к экстремуму (задачи оптимизации). Так или иначе, для каждого из факторов xi необходимо однозначно определить граничные - минимальные и максимальные - значения. Факторы xi в общем случае размерные величины, хотя имеют различную природу и размерность. Для устранения связанных с этим сложностей, в т.ч. анализа, методика планирования экспериментов предусматривает использование кодированных значений факторов. Для осуществления операции кодирования необходимо, прежде всего, выбрать исходную область экспериментирования, т.е. задать минимальные и максимальные значения каждого фактора. Тогда операция кодирования сводиться к переносу начала координат факторного пространства в точку с координатами

xi(0)=(xi min+xi max)/2

и выбору для каждого фактора нового масштаба, при котором xi min = -1, а xi max = +1.

Например, если мы изучаем влияние скорости на какой-то процесс в диапазоне от 40 до 90 км/час, то значению фактора 40км/час будет соответствовать кодированное значение -1, а 90км/час - +1. Начало координат будет помещено в точку 0, соответствующую 65км/час. То есть при расчете уравнений регрессии будут использоваться значения факторов +1, 0 и -1. Если же фактор имеет дискретный характер или, тем более, имеет качественное варьирование, то операция кодирования сводится просто к приписыванию каждому возможному уровню фактора чисел +1 и -1. Например, если изучаются два вида топлива - бензин и солярка, то, произвольно, бензину можно присвоить значение -1, а солярке +1.

На практике экспериментатору приходится чаще планировать не один, а несколько экспериментов, выполняя и анализируя каждый и, в соответствии с результатами, изменять план эксперимента. Стратегия такого эксперимента показана на рис. 1.



Рис. 1. Стратегия эксперимента

В результате анализа результатов эксперимента может возникнуть необходимость исправления формы модели и плана эксперимента, тогда эксперименты повторяются вновь по указанной схеме.

Активный эксперимент позволяет за счет целенаправленного изменения входных параметров получать необходимый объем информации при существенно меньшем числе опытов, чем при пассивном эксперименте.


  1. ^ Полный факторный эксперимент.


Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. В этом случае, если число факторов известно, можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных со­четаний уровней факторов. Для этого используется формула

,

где N – число опытов, k – число факторов, 2 – число уровней. В общем случае эксперимент, в котором реализуются все­возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем полный факторный экспе­римент типа 2k.

Нетрудно написать все сочетания уровней в экспе­рименте с двумя факторами. Напомним, что в планиро­вании эксперимента используются кодированные значения факторов: +1 и –1 (часто для простоты записи единицы опускают). Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Будем называть такие таблицы матрицами планирования эксперимента.

Матрица планирования для двух факторов приведена ниже


№ опыта

x1

x2

y

1

–1

–1

y1

2

+1

–1

y2

3

–1

+1

y3

4

+1

+1

y4



Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку – вектор-строкой. Таким образом, мы имеем 2 вектор-столбца независимых переменных и один вектор-столбец парамет­ра оптимизации.

Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко найти прямым перебором (или просто запомнить), то с ростом числа факторов возникает необ­ходимость в некотором приеме построения матриц. Из многих возможных обычно используется три приема, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матри­цам большей размерности. Рассмотрим первый. При добав­лении нового фактора каждая комбинация уровней исход­ного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Отсюда естественно появляется прием: записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня. Вот как это выглядит при переходе от экспери­мента 22 к 23:


№ опыта

x1

x2

x3

y

1





+

y1

2

+



+

y2

3



+

+

y3

4

+

+

+

y4

5







y5

6

+





y6

7



+



y7

8

+

+



y8



Этот прием распространяется на построение матриц любой размерности.

Рассмотрим второй прием. Для этого введем правило перемножения столбцов матрицы. При построчном перемно­жении двух столбцов матрицы произведение единиц с одноименными знаками дает +1, а с разноименными –1. Воспользовавшись этим правилом, получим для случая, который мы рассматриваем, вектор-столбец произведения x1x2 в исходном плане. Далее повторим еще раз исходный план, а у столбца произведений знаки поменяем на обрат­ные. Этот прием тоже можно перенести на построение матриц любой размерности, однако он сложнее, тем первый.

Третий прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце они чередуются через два, в третьем – через 4, в четвертом – через 8 и т. д. по степеням двойки.
^ 2.1 Свойства полного факторного эксперимента типа 2k

 

Выясним, какими общими свойствами обладают, независимо от числа факторов, матрицы. Говоря о свойствах матриц, мы имеем в виду те из них, которые определяют качество модели. Ведь эксперимент и плани­руется для того, чтобы получить модель, обладающую некоторыми оптимальными свойствами. Это значит, что оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими и что точность предсказания параметра оптимизации не должна зависеть от направления в факторном пространстве, ибо заранее неясно, куда предстоит двигаться в поисках оптимума.

Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы:

- первое из них – симметричность относительно центра эксперимента – формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или, где j – номер фактора, N – число опытов, i = 1, 2, ..., k .

- второе свойство – так называемое условие нормировки – формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или . Это следствие того, что значения факторов в матрице задаются +1 и –1.

Это свойства отдельных столбцов матрицы планирования.

- третье свойство - свойство совокупности столбцов. Сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или                              

.

Это важное свойство называется ортогональностью матрицы планирования.

- последнее, четвертое свойство называется ротатабельностью, т. е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

 

2.2 Полный факторный эксперимент и математическая модель.

 

Для движения к точке оптимума нам нужна линейная модель . Наша цель – найти по результатам эксперимента значения неизвестных коэффициентов модели. До сих пор, говоря о линейной модели, мы не останавливались на важном вопросе о статистической оценке ее коэффициентов. Теперь необходимо сделать ряд замечаний по этому поводу. Можно утверждать, что эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная модель  адекватна. Греческие буквы использованы для обозначения «истинных» генеральных значений соответствующих неизвестных. Эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет только получить выборочные оценки для коэффициентов уравнения . Их точность и надежность зависят от свойств выборки и нуждаются в статистической проверке. Как производится такая проверка, будет показано ниже. А пока займемся вычислением оценок коэффициентов. Их можно вычислить по простой формуле

,

обоснование которой будет приведено ниже. Воспользуемся этой формулой для подсчёта коэффициентов  и :

,

.

Благодаря кодированию факторов расчет ко­эффициентов превратился в простую арифметическую про­цедуру. Для подсчета коэффициента используется вектор-столбец х1, а для  – столбец x2. Остается неясным, как найти . Если уравнение  справедливо, то оно верно и для средних арифметических значений переменных: . Но в силу свойства симметрии . Следовательно, . Мы пока­зали, что  есть среднее арифметическое значений пара­метра оптимизации. Чтобы его получить, необходимо сло­жить все y и разделить на число опытов. Чтобы привести, эту процедуру в соответствие с формулой для вычисления коэффициентов, в матрицу планирования удобно ввести вектор-столбец фиктивной переменной x0, которая прини­мает во всех опытах значение +1. Это было уже учтено в записи формулы, где j принимало значения от 0 до k.

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы найти неизвестные коэффициенты линейной модели

.

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением зна­чения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается. Величина коэффициента соответ­ствует вкладу данного фактора в величину параметра опти­мизации при переходе фактора с нулевого уровня на верх­ний или нижний.

Иногда удобно оценивать вклад фактора при переходе от нижнего уровня к верхнему уровню. Вклад, определенный таким образом, называется вкладом фактора (иногда его называют основным или главным эффектом). Он численно равен удвоенному коэффициенту. Для качественных факторов, варьируемых на двух уровнях, основной уровень не имеет физического смысла. Поэтому понятие «эффект фактора» является здесь естественным.

Планируя эксперимент, на первом этапе мы стремимся получить линейную модель. Однако у нас нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. Существуют способы проверки пригодности линейной модели (проверка адекватности). А если модель не линейна, как количественно оценить нелинейность, пользуясь полным факторным экспериментом?

Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае гово­рят, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить стол­бец произведения двух факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора. Для полного факторного эксперимента 22 матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия будет иметь вид


№ опыта

x0

x1

x2

x1x2

y

1

+1

+1

+1

+1

y1

2

+1

–1

+1

–1

y2

3

+1

–1

–1

+1

y3

4

+1

+1

–1

–1

y4

 

Очень важно, что при добавлении столбцов эффектов взаимодействий все рассмотренные свойства матриц планирования сохраняются.

Теперь модель выглядит следующим образом:

.

Коэффициент вычисляется обычным путем
.

Столбцы x1 и x2 задают планирование – по ним непосредственно определяются условия опытов, а столбцы x0 и x1x2 служат только для расчета.

Обращаем ваше внимание на то, что при оптимизации мы стремимся сделать эффекты взаимодействия возможно меньшими. В задачах интерполяции, напротив, их выяв­ление часто важно и интересно.

С ростом числа факторов число возможных взаимо­действий быстро растет. Мы рассмотрели самый простой случай, когда имелось одно взаимодействие. Обратимся теперь к полному факторному эксперименту 23.


№ опыта

x0

x1

x2

x3

x1x2

x1x3

x2x3

x1x2x3

y

1

+





+

+





+

y1

2

+

+









+

+

y2

3

+



+





+



+

y3

4

+

+

+

+

+

+

+

+

y4

5

+







+

+

+



y5

6

+

+



+



+





y6

7

+



+

+





+



y7

8

+

+

+



+







y8


Эффект взаимодействия x1x2x3 получается перемножением всех трех столбцов и называ­ется эффектом взаимодействия второго порядка. Эффект взаимодействия двух факторов называется эффектом взаи­модействия первого порядка. Вообще, эффект взаимодей­ствия максимального порядка в полном факторном эксперименте имеет порядок, на единицу меньший числа факторов. Довольно часто применяются синонимы: парные эффекты взаимодействия (x1x2, x2x3...), тройные (x1x2x3, x2x3x4...) и т. д.

Полное число всех возможных эффектов, включая b0, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента. Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого по­рядка, можно воспользоваться обычной формулой числа сочетаний

,

где k число факторов, m – число элементов во взаимодействии. Так, для плана 24 число парных взаи­модействий равно шести

.

Поясним физический смысл эффекта взаимодействия следующим примером. Пусть на некоторый химический процесс влияют два фактора: температура и время реакции. В области низких температур увеличение времени увели­чивает выход продукта. При переходе в область высоких температур эта закономерность нарушается. Здесь, на­против, необходимо уменьшать время реакции. Это и есть проявление эффекта взаимодействия.

Ортогональность матрицы планирования позволяет получить независимые друг от друга оценки коэффициен­тов. Это означает, что величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты.

Однако сформулированные выше утверждения спра­ведливы лишь в том случае, если модель включает только линейные эффекты и эффекты взаимодействия. Между тем, существенными могут оказаться коэффициенты при квадра­тах факторов, их кубах и т. д. Так, для случая существенных квадратичных членов в двухфакторном эксперименте модель можно записать так:

.

Какую информацию о квадратичных членах можно извлечь из полного факторного эксперимента?

Попытка построения вектор-столбцов для и  при­водит к получению единичных столбцов, совпадающих друг с другом и со столбцом х0. Так как эти столбцы нераз­личимы, то нельзя сказать, за счет чего получилась вели­чина b0. Она включает значение свободного члена и вклады квадратичных членов. В этом случае говорят, что имеет место смешанная оценка. Это символически записывается следующим образом:

,

где b0 – вычисленный нами коэффициент, а греческими буквами, как принято в статистике, обозначены неизвест­ные истинные значения свободного члена () и квадра­тичных коэффициентов (). Если бы мы сделали сколь угодно много опытов, то в пределе получили бы истинные значения коэффициентов. На практике реализуются лишь малые выборки, по которым вычисляются оценки истинных коэффициентов.

По отношению к квадратичной модели для двух факторов получается такая система смешивания:

,       ,    ,    .

Следовательно, оценки всех коэффициентов, кроме b0, не смешаны.

Число опытов в полном факторном эксперименте превышает число коэффициентов линейной модели, причем тем больше, чем больше факторов. Разность между числом опытов и числом коэффициентов, во многих случаях, оказы­вается очень велика и возникает естественное желание сократить число необходимых опытов.



  1. ^ Метод наименьших квадратов.


Нач­нем с простого случая: один фактор, линейная модель. Интересующая нас функция отклика (которую мы будем также называть уравнением регрессии) имеет вид



Это хорошо известное уравнение прямой линии. Наша цель – вычисление неизвестных коэффициентов b0 и b1. Мы провели эксперимент, чтобы использовать при вычис­лениях его результаты. Как это сделать наилучшим обра­зом?

Если бы все экспериментальные точки лежали строго на прямой линии, то для каждой из них было бы справед­ливо равенство

,

где i = 1, 2, ..., N – номер опыта. Тогда не было бы никакой проблемы. На практике это равенство нарушается и вместо него приходится писать

,

где  – разность между экспериментальными и вычис­ленными по уравнению регрессии значениями y в iэкспе­риментальной точке. Эту величину иногда невязкой.

Мы хотим найти такие коэффициенты регрессии, при которых невязки будут минимальны. Это требо­вание можно записать по-разному. В зависимости от этого мы будем получать разные оценки коэффициентов. Вот одна из возможных записей

,

которая приводит к методу наименьших квадратов.

Когда мы ставим эксперимент, то обычно стремимся провести больше (во всяком случае, не меньше) опытов, чем число неизвестных коэффициентов. Поэтому система линейных уравнений



оказывается переопределенной и часто противоречивой (т. е. она может иметь бесконечно много решений или может не иметь решений). Переопределенность возникает, когда число уравнений больше числа неизвестных; противоре­чивость – когда некоторые из уравнений несовместимы друг с другом.

Только если все экспериментальные точки лежат па прямой, то система становится определенной и имеет единственное решение.

МНК обладает тем замечательным свойством, что он делает определенной любую, произвольную систему уравнений. Он делает число уравнений равным чис­лу неизвестных коэффициентов.

Для определения двух неизвестных коэф­фициентов требуется два уравнения. Давайте попробуем их получить.



 Мини­мум некоторой функции, если он существует, достигается при одновременном равенстве нулю частных производных по всей неизвестным, т. е.

.

В явном виде это запишется как

,

.

Окончательные формулы для вычисления коэффи­циентов регрессии, которые удобно находить с помощью определителей, имеют вид

,

.

 

Величина  называется остаточной суммой квадратов (– значение параметра оптимизации, вычисленное из уравнения регрессии). МНК гарантирует, что эта величина минимально возможная.

Обобщение на многофакторный случай не связано с какими-либо принципиальными трудностями.

Воспользуемся тем, что матрицы планирования ортогональны и нормированы, т.е.

       и         

Для любого числа факторов коэффициенты будут вычисляться по формуле



В этой формуле j = 0, 1, 2 ..., k – номер фактора. Ноль записан для вычисления b0.

Так как каждый фактор (кроме x0) варьируется на двух уровнях +1 и –1, то вычисления сводятся к приписыванию столбцу y знаков соответствующего фактору столбца и алгебраическому сложению полученных значений. Де­ление результата на число опытов в матрице планирова­ния дает искомый коэффициент



  1. ^ Регрессионный анализ.


После нахождения коэффициентов модели возникает задача установить пригодность модели и значимость коэффициентов. С этого момента метод наименьших квадратов превращается в регрессионный анализ. А регрессионный анализ как всякий статистический метод, применим при определенных предположениях, постулатах.

^ Первый постулат. Параметр оптимизации y есть случайная величина с нормальным законом распределения. Дисперсия воспроизводимости – одна из харак­теристик этого закона распределения.

В данном случае, как и по отношению к любым другим постулатам, нас интересуют два вопроса: как проверить его выполнимость и к чему приводят его нарушения?

При наличии большого экспериментального материала (десятки параллельных опытов) гипотезу о нормальном рас­пределении можно проверить стандартными статистичес­кими тестами (например, – критерием). К сожалению, экспериментатор редко располагает такими данными, поэтому приходится принимать этот постулат на веру.

При нарушении нормальности мы лишаемся возмож­ности установления вероятностей, с которыми справедливы те или иные высказывания. В этом таится большая опас­ность. Мы рискуем загипнотизировать себя численными оценками и вероятностями, за которыми ничего не стоит. Вот почему надо очень внима­тельно относиться к возможным нарушениям предпосылок.

^ Второй постулат. Дисперсия y не зависит от абсо­лютной величины y. Выполнимость этого постулата проверяется с помощью критериев однородности дисперсий в разных точках фак­торного пространства. Нарушение этого постулата недо­пустимо.

Всегда существует та­кое преобразование y, которое делает дисперсии одно­родными. Увы, его не всегда легко найти. Довольно часто помогает логарифмическое преобразование, с которого обычно начинают поиски.

^ Третий постулат. Значения факторов суть неслу­чайные величины. Это несколько неожиданное утверждение практически означает, что установление каждого фактора на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем ошибка воспроизводимости.

Нарушение этого постулата приводит к трудностям при реализации матрицы планирования. Поэтому оно обычно легко обнаруживается экспериментатором.

^ Проверка адекватности модели. Проверка на пригодность полученной модели (проверка адекватности) начинают с вычисления остаточной дисперсии, то есть дисперсии адекватности .



где - число опытов (МПЭ),

- число коэффициентов модели.

- разность между реальным значением и предсказанным по модели.

^ Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом опытов и числом коэффициентов (констант), которые уже вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга.

Например, проведен полный фактический эксперимент и нашли линейное уравнение регрессии, .

Примечание: Параллельные опыты нельзя считать самостоятельными, так как они дублируют друг друга. В связи с этим, они все дают одну степень свободы.

Необходимо запомнить правило:

^ В планировании эксперимента число степеней свободы для равно числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов.

В статистике разработан критерий, который очень удобен для проверки гипотезы об адекватности модели. Он называется F критерием Фишера и определяется:

,

где - дисперсия адекватности;

- дисперсия воспроизводимости.

Удобство использования -критерия состоит в том, что проверку ги­потезы можно свести к сравнению с табличным значением. Таблица построена следующим образом. Столбцы связаны с определенным числом степеней свободы для числителя строки для знаменателя . На пересечении соответствующих строки и столбца стоят критические значения - критерия. Как правило, в технических задачах используется уровень значимости 0,05.

Если рассчитанное значение -критерия не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью модель можно считать адекватной. При превышении табличного значения гипотеза отвергается. Для запишем общую формулу:

,

где - число опытов;

- число параллельных опытов в -ой строке матрицы;

- среднее арифметическое из , параллельных опытов;

- предсказанное по уравнению регрессии значение в этом опыте.
Существует еще четвертый постулат, налагающий ог­раничения на взаимосвязь между значениями факторов. У Нас он выполняется автоматически в силу ортогональ­ности матрицы планирования.

При выполнении этих четырех условий метод наименьших квадратов дает несмещенные оценки b0 и b1 параметров 0 и 1 .

В случае нахождения доверительной области для коэффициентов 0 и 1 должно выполняться еще одно предположение:

- условие распределения при заданном значении нормально относительно математического ожидания .

  1. Практическая часть контрольной работы.


Задание для контрольной работы.
Рассчитать линейную модель вида



по данным представленным в табл. 5.1
Таблица 5.1




















1

+

-

-

-

+

73.6

68.4

69.6

2

+

+

-

-

-

42.2

38.6

39.0

3

+

-

+

-

-

58.0

52.8

54.2

4

+

+

+

-

+

9.8

9.2

9.6

5

+

-

-

+

+

76.8

70.0

72.4

6

+

+

-

+

-

58.2

53.0

54.0

7

+

-

+

+

-

67.6

62.0

63.0

8

+

+

+

+

+

32.0

29.6

29.8


При расчете линейной модели вида



необходимо:

  1. С помощью критерия Стьюдента проверить сомнительные опыты.

  2. Определить коэффициенты модели или

  3. Произвести проверку однородности дисперсий с помощью критерия Фишера или Кохрена . Найти дисперсию воспроизводимости.

  4. Оценить адекватность полученной модели.

  5. В случае, если модель оказалась адекватной, определить значимые коэффициенты.



Решение.
1. Определим коэффициенты модели . Для этого найдем среднее арифметическое из параллельных опытов:

,

. Аналогично найдем остальные значения и полученные результаты запишем в таблицу 5.2.


Таблица 5.2

№ опыта









1

73.6

68.4

69.6

70.53333

2

42.2

38.6

39.0

39.93333

3

58.0

52.8

54.2

55.0

4

9.8

9.2

9.6

9.533333

5

76.8

70.0

72.4

73,06667

6

58.2

53.0

54.0

55.06667

7

67.6

62.0

63.0

64.2

8

32.0

29.6

29.8

30.46667


Найдем коэффициенты модели









2. С помощью критерия Стьюдента проверим сомнительные опыты. Для этого исключим первый параллельный опыт из расчета и найдем среднее арифметическое и среднее квадратичное отклонение (СКО) по остальным 2 параллельным опытам:



Найдем дисперсии каждого опыта:

,

где - число степеней свободы.


Произведем проверку по критерию Стьюдента:



Проверим таким же образом все другие опыты, результаты занесем в таблицу 5.3.

Таблица 5.3

№ опыта













1

73.6

68.4

69.6

69

0,849

5,421

2

42.2

38.6

39.0

38,8

0,2828

12,0208

3

58.0

52.8

54.2

53,5

0,9899

4,5457

4

9.8

9.2

9.6

9,4

0,2828

1,4142

5

76.8

70.0

72.4

71,2

1,697

3,2998

6

58.2

53.0

54.0

53,5

0,7071

6,6468

7

67.6

62.0

63.0

62,5

0,7071

7,2125

8

32.0

29.6

29.8

29,7

0,1414

16,2635


Из таблицы Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р = 0,95 находим и сравниваем с .

, поэтому результат 8-го опыта можно считать браком.

Определим новое значение 8-го опыта для :


Получим новую матрицу планирования эксперимента (таблица 5.4).
Таблица 5.4.

№ опыта

















1

+

-

-

-

+

73.6

68.4

69.6

2

+

+

-

-

-

42.2

38.6

39.0

3

+

-

+

-

-

58.0

52.8

54.2

4

+

+

+

-

+

9.8

9.2

9.6

5

+

-

-

+

+

76.8

70.0

72.4

6

+

+

-

+

-

58.2

53.0

54.0

7

+

-

+

+

-

67.6

62.0

63.0

8

+

+

+

+

+

29.7

29.6

29.8


Таблица 5.5

№ опыта









1

73.6

68.4

69.6

70.53333

2

42.2

38.6

39.0

39.93333

3

58.0

52.8

54.2

55.0

4

9.8

9.2

9.6

9.533333

5

76.8

70.0

72.4

73,06667

6

58.2

53.0

54.0

55.06667

7

67.6

62.0

63.0

64.2

8

29.7

29.6

29.8

29.7


Для новой матрицы найдем коэффициенты модели .









Уравнение регрессии примет вид:

3. Произведем проверку однородности дисперсий с помощью критерия Кохрена. Найдем дисперсию воспроизводимости.

Если сравниваемое количество дисперсий больше двух и одна дисперсия значительно превышает остальные, можно воспользоваться критерием Кохрена. Этот критерий пригоден для случаев, когда во всех точках имеется одина­ковое число повторных опытов. При этом подсчитывается дисперсия в каждой горизонтальной строке матрицы




Аналогично вычислим дисперсии для всех горизонтальных строк и занесем результаты в таблицу 5.6.


Таблица 5.6

№ опыта











1

73.6

68.4

69.6

70.53333

7,4133

2

42.2

38.6

39.0

39.93333

3,8933

3

58.0

52.8

54.2

55.0

7,24

4

9.8

9.2

9.6

9.533333

0,0933

5

76.8

70.0

72.4

73,06667

11,8933

6

58.2

53.0

54.0

55.06667

7,6133

7

67.6

62.0

63.0

64.2

8,92

8

29.7

29.6

29.8

29.7

0,01



Вычислим экспериментальный критерий Кохрена по формуле:


Это соотношение называется расчетным значением критерия Кохрена. Оно соответствуют доверительной вероятности p = 0,95 и сравнивается с табличным значением критерия Кохрена. Величина (1 – p) называется уровнем значимости. Для нахождения табличного значения критерия Кохрена G необходимо знать общее количество оценок дисперсий N (в нашем случае 8) и число степеней свободы f , связанных с каждой из них, причем f = k – 1 (в нашем случае 2, k – это количество Y).

Табличный критерий Кохрена равен . , следовательно, опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий однородными.

Дисперсия воспроизводимости будет равна:




  1. Оценим адекватность полученной модели.

Проверка на пригодность полученной модели (проверка адекватности) начинают с вычисления остаточной дисперсии, то есть дисперсии адекватности .

,
где - число опытов (МПЭ – матрица планирования эксперимента),

- число коэффициентов модели (коэффициентов линейного уравнения).

- разность между реальным значением и предсказанным по модели.

Вычислим значения, предсказанные по модели:

,

аналогично вычислим эти значения для остальных строк и результаты запишем в таблицу 5.7.

Таблица 5.7

№ опыта











1

73.6

68.4

69.6

70.53333

65,9207

2

42.2

38.6

39.0

39.93333

41,6207

3

58.0

52.8

54.2

55.0

53,6707

4

9.8

9.2

9.6

9.533333

13,7875

5

76.8

70.0

72.4

73,06667

77,6791

6

58.2

53.0

54.0

55.06667

53,3791

7

67.6

62.0

63.0

64.2

65,4291

8

29.7

29.6

29.8

29.7

25,5459


Определим экспериментальный F критерий Фишера по формуле:
,

Табличное значение ^ F-критерия Фишера находится на пересечении столбца со степенью свободы f1 = Nd (N – число опытов, d – число искомых коэффициентов регрессии) и строки, соответствующей степени свободы S2{y} (для эксперимента 25-1f2 = 16).
, следовательно, полученную модель нельзя считать адекватной.

5. Проверку значимости коэффициентов проводить нецелесообразно.

6. Вывод.
Линейная модель будет иметь вид:



Модель неадекватна и проверку значимости коэффициентов проводить было нецелесообразно.
^ Список использованной литературы.
Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов. – М: Московский психолого-социальный институт, издательство «Флинта», 2003
Основы конструирования и надежности электронных средств:

Методические указания к выполнению лабораторных работ. – СПб: СЗТУ, 2003
Ресурс Интернет

Appmath.narod.ru – Теория Планирования Эксперимента
Авдеев О.Н., Мотайленко Л.В. Моделирование систем. Методическое пособие. – СПб: СПбГТУ, 2001


Скачать файл (534.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации