Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекції з диференціальних рівнянь - файл 0R1.doc


Лекції з диференціальних рівнянь
скачать (1700.1 kb.)

Доступные файлы (13):

0R1.doc318kb.11.10.2010 18:46скачать
R100.doc28kb.11.10.2010 18:41скачать
R10.doc39kb.07.09.2010 15:55скачать
R1.doc905kb.07.09.2010 15:53скачать
R21.doc1196kb.11.10.2010 18:39скачать
R2.doc1339kb.07.09.2010 15:53скачать
R3.doc557kb.07.09.2010 15:53скачать
R4.doc632kb.07.09.2010 15:53скачать
R5.docскачать
R6.doc996kb.07.09.2010 15:54скачать
R7.doc1521kb.07.09.2010 15:54скачать
R8.doc493kb.07.09.2010 15:54скачать
R9.doc638kb.07.09.2010 15:55скачать

содержание
Загрузка...

0R1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...

Розділ 1. Диференціальні рівняння та математичне моделювання


    1. Поняття математичного моделювання

Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод дослідження процесів або явищ шляхом побудови їхніх математичних моделей і дослідження цих процесів. В основу методу покладемо адекватність між змінними складеного рівняння і досліджуваного процесу. Зрозуміло, що на практиці ці процеси не будуть абсолютно ідентичні. Але можна удосконалювати математичну модель, яка більш точно буде описувати цей процес. Треба пам’ятати, що в останньому випадку, як правило, математичні рівняння ускладнюються. А це означає, що їх моделювання на ЕОМ потребує більше часу.

Схема таких досліджень починається з постановки задачі і закінчується проведенням ефективного обчислювального експерименту. Її умови можна записати в такій формі:

а) постановка задачі;

б) побудова математичної моделі та перевірка її адекватності;

в) узагальнення та теоретичне дослідження даного класу задач;

г) розробка алгоритмічного забезпечення для розв'язування досліджуваних задач;

д) створення програмного забезпечення;

е) проведення обчислювального експерименту;

ж) впровадження цих результатів у виробництво.

Розглянемо питання використання диференціальних рівнянь в деяких предметних областях.

^ 1.2. Диференціальні рівняння в екології

Екологія вивчає взаємовідношення людини і, взагалі, живих організмів з навколишнім середовищем. Основним об’єктом дослідження в екології є еволюція популяцій (сукупність одного виду рослин, тварин, чи мікроорганізмів, які населяють протягом тривалого часу певну територію).

Опишемо математично процес розмноження чи вимирання популяцій. Нехай – кількісний стан популяції в момент , – число, яке відповідає кількості народжених, – умираючих в одиницю часу. Тоді швидкість зміни координати задається формулою

. (1.1)

В (1.1) і можуть залежати від . Наприклад,

, (1.2)

де – коефіцієнт народжуваності, – смертності.

Підставляючи (1.2) в (1.1), отримаємо

. (1.3)

Розв’язок диференціального рівняння (1.3) запишемо у вигляді

. (1.4)

З розв’язку (1.4) видно, що при популяція виживаюча, а при – вимираюча.

Рівняння (1.3) в деяких випадках береться нелінійним

. (1.5)

Це рівняння Бернулі при і його розв’язок можна записати в такому вигляді

. (1.6)

З формули (1.6) видно, що при . При цьому можливі випадки

, , та .

Рівняння (1.5) описує еволюцію популяцій деяких бактерій.

Можна говорити і про більш складні рівняння, системи рівнянь.

Розглянемо більш детально двохвидову модель «хижак-жертва», яка була побудована для виявлення коливань рибних уловів в Адріатичному морі.

Нехай – число великих риб-хижаків, – число малих риб-жертв в момент часу . Тоді число риб-хижаків буде рости до того часу, поки у них буде їжа. Якщо корму не буде вистачати, то кількість риб-хижаків буде зменшуватися і тоді, починаючи з деякого моменту, буде рости число риб-жертв. Модель такого прикладу має вигляд

, (1.7)

де – додатні константи.

В (1.7) доданок виражає залежність приросту великих риб від числа малих, – зменшення числа малих риб від великих.

^ 1.3. Закони Кеплера руху планет

Згідно закону всесвітнього тяжіння два тіла, які знаходяться на віддалі один від одного, і які мають маси і притягаються з силою

, (1.8)

де – константа тяжіння.

Опишемо рух планети з масою навколо Сонця маси . Вплив інших планет на них не будемо враховувати (Мал. 1.1).



Мал. 1.1

Припустимо, що Сонце знаходиться в початку координат, а планета має положення в момент часу . Використавши другий закон Ньютона запишемо

. (1.9)

Враховуючи, що , і позначаючи , прийдемо до системи

. (1.10)

Без обмеження загальності візьмемо початкові умови

при . (1.11)

Перейдемо до полярних координат

,

,

.

Підставляючи отримані вирази в (1.10) будемо мати

.

Помножимо перше рівняння на , друге на і складемо

. (1.12)

Помножимо перше рівняння на , друге на і складемо

. (1.13)

Перепишемо у нових змінних умови (1.11)

. (1.14)

Рівняння (1.13) запишемо у вигляді

. (1.15)

Звідки маємо

. (1.16)

Константа має цікаву геометричну інтерпретацію. З курсу математичного аналізу відомо, що площа сектора обчислюється за формулою

. (1.17)

Звідки

, або .

Вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона є постійною. Це означає, що радіус-вектор “замітає” за рівні проміжки часу рівні площі.

1-й закон Кеплера: кожна із планет рухається по плоскій кривій відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв’язує Сонце і планету, “замітає” рівні площі за рівні проміжки часу.

Задачу Коші (1.12)-(1.14) можна розв’язати. Розв’язок має еліпсоїдальну форму, на основі цього робиться наступний висновок.

2-й закон Кеплера: траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

З аналізу траєкторій випливає таке твердження.

3-й закон Кеплера: квадрати періодів обертання планет пропорційні кубам великих осей їх орбіт.

^ 1.4. Диференціальні рівняння закону попиту і пропозиції в економічних дослідженнях

Попит і пропозиція – економічні категорії товарного виробництва. Попит – представлена на ринку потреба в товарах, пропозиція – продукт, який є на ринку чи може бути доставлений на нього.

Нехай – ціна, наприклад, на фрукти, – тенденція формування ціни. Тоді, як попит так і пропозиція будуть функціями введених величин. Як показує практика, ці функції можуть бути різними. Часто попит і пропозиція задаються лінійними залежностями, наприклад



залежностями. Для того, щоб попит відповідав пропозиції необхідно

.

Звідки

(1.18)

Припустимо, що в момент 1кг фруктів коштував 1 крб. Тоді , . Отже

. (1.19)

Це закон зміни ціни, щоб між попитом і пропозицією була рівновага.

^ 1.5. Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнітних полях

Швидкість зміни імпульсу частинки



дорівнює силі Лоренца, яка діє на неї

, (1.20)

де – зарядове число, – заряд частинки, – вектор напруженості прискорюючого поля, – вектор магнітної індукції, – вектор швидкості частинки,

,

– динамічна маса, – маса спокою, –приведена енергія частинки,



– векторний добуток двох векторів.

З (1.20) маємо

. (1.21)

Рівняння (1.21) не враховує власного поля пучка (кулонівських сил). Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі

. (1.22)

Визначимо

,

тобто

.

Так як , то визначаємо

.

Отже

(1.23)

Підставляючи (1.23) в (1.22), отримаємо рівняння руху.

Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного поля, які визначаються рівняннями Максвела

. (1.24)

Тут – електрична і магнітна сталі, – об’ємна густина заряду, – вектор густини струму.

Система рівнянь (1.24) – це рівняння в частинних похідних з складними граничними умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в розрахунках оптимальних систем прискорюючих і фокусуючих заряджені частинки.


^ 1.6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних дослідженнях

Біологія. Необхідно знайти залежність площі молодого листка, що має форму круга, від часу . Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорційна площі листка, довжині його обводу та косинусу кута між падаючим на листок сонячним променем і вертикаллю листка. Маємо модель

(1.25)

де , – const, , – коефіцієнт пропорційності. Розв’язуючи рівняння (1.25), ми отримаємо таку залежність

, (1.26)

– довільна стала.

Математика. Обчислити невласний інтеграл

, (1.27)

залежний від параметра .

Знайдемо похідну



Отримали диференціальне рівняння

. (1.28)

При цьому відомо

. (1.29)

Розв’язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо

. (1.30)

^ 1.7. Побудова диференціальних рівнянь з заданими параметричними сімействами кривих

Припустимо, що задано однопараметричне сімейство кривих

. (1.31)

Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв’язками якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну похідну за x запишемо

. (1.32)

Тоді з (1.31) та (1.32) як з системи рівнянь, вилучаємо сталу і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.

Якщо ж задано - параметричне сімейство кривих

, (1.33)

то до (1.33) додаються такі співвідношення

(1.34)

З (1.33) та (1.34), як з системи рівнянь, кількість яких , вилучаються сталі , а отримане таким чином співвідношення між

(1.35)

і буде шуканим диференціальним рівняння -го порядку.

В (1.32) та (1.34) означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними. При цьому припускаємо, що такі похідні існують, тобто функції (1.32) та (1.34) є диференційовними відповідну кількість разів.

Аналогічно поступають і при складанні систем рівнянь.

Приклад 1.1. Знайти диференціальне рівняння першого порядку, розв’язками якого буде однопараметричне сімейство

. (1.36)

Розв’язання. Продиференціюємо за праву частину нашого співвідношення в припущенні, що .

. (1.37)

Враховуючи (1.36), рівність (1.37) перепишемо таким чином

. (1.38)

З (1.38) знаходимо



і підставивши в (1.36) отримаємо шукане диференціальне рівняння

. (1.39)

Приклад 1.2. Знайти диференціальне рівняння другого порядку, розв’язками якого буде двопараметричне сімейство

. (1.40)

Розв’язання. Згідно описаного вище алгоритму, складаємо систему рівнянь

. (1.41)

З якої, вилучивши і , знаходимо шукане диференціальне рівняння

. (1.42)






Скачать файл (1700.1 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации