Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекції з диференціальних рівнянь - файл R8.doc


Лекції з диференціальних рівнянь
скачать (1700.1 kb.)

Доступные файлы (13):

0R1.doc318kb.11.10.2010 18:46скачать
R100.doc28kb.11.10.2010 18:41скачать
R10.doc39kb.07.09.2010 15:55скачать
R1.doc905kb.07.09.2010 15:53скачать
R21.doc1196kb.11.10.2010 18:39скачать
R2.doc1339kb.07.09.2010 15:53скачать
R3.doc557kb.07.09.2010 15:53скачать
R4.doc632kb.07.09.2010 15:53скачать
R5.docскачать
R6.doc996kb.07.09.2010 15:54скачать
R7.doc1521kb.07.09.2010 15:54скачать
R8.doc493kb.07.09.2010 15:54скачать
R9.doc638kb.07.09.2010 15:55скачать

R8.doc

Розділ 8. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку з частинними похідними

8.1 Однорідні лінійні диференціальні рівняння першого порядку з частинними похідними

8.1.1. Зв’язок лінійних однорідних диференціальних рівнянь з частинними похідними та систем звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі

Рівняння з частинними похідними першого порядку має вигляд

. (8.1)

Означення 8.1. Розв’язком рівняння (8.1) називається функція

, (8.2)

яка визначена і неперервна разом з частинними похідними в деякій області змінних ,.., і перетворює в цій області рівняння (8.1) в тотожність. При цьому ,.., і значення лежать в області визначення функції .

Якщо в рівнянні (8.1) функція залежить лінійно від частинних похідних шуканої функції, то воно називається лінійним

. (8.3)

Розглянемо однорідне рівняння, тобто випадок коли , а функції , не залежать від

. (8.4)

Рівняння (8.4) має очевидний розв’язок

(c=const). (8.5)

Доведемо, що рівняння (8.4) має безліч розв’язків, відмінних від очевидних.

Для цього, разом з (8.4), будемо розглядати систему звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі

==…=. (8.6)

Доведемо дві теореми, які встановлюють зв’язок між рівнянням (8.4) і системою (8.6). Припустимо, що коефіцієнти X(,..,),…, X(,..,) рівняння (8.4) неперервні разом з частинними похідними по x,..,xв деякому околі точки ,.., і в цій точці вони одночасно не перетворюються в нуль (тобто точка (,..,) не є особливою точкою системи (8.6)). Наприклад, припустимо, що

X(,..,)0. (8.7)

При цьому припущенні система (8.6) має рівно (n-1) незалежних інтегралів, визначених і неперервних разом з частинними похідними в околі точки (,..,). Це випливає з того, що система (8.6) рівносильна нормальній системі розмірності (n-1)

,

, (8.8)

………….



для якої виконуються умови теореми про існування незалежних інтегралів нормальної системи.

Теорема 8.1. Довільний інтеграл системи (8.6) є неочевидним розв’язком рівняння (8.4).

Доведення. Припустимо, що (,..,) – інтеграл системи (8.6) визначений в деякому околі точки (,..,). Тоді повний диференціал від (,..,), в силу (8.6) або (8.8), дорівнює нулю, тобто

. (8.9)

Враховуючи співвідношення ..., рівняння (8.9) перепишемо так

…+. (8.10)

Скорочуємо на і домножуючи на , отримаємо

++...+0. (8.11)

Це означає, що функція є розв’язком рівняння (8.4).

Теорема 8.2. Довільний неочевидний розв’язок рівняння (8.4) є інтегралом системи (8.6).

Доведення. Нехай – неочевидний розв’язок рівняння (8.4). Тоді

++...+0. (8.12)

Обчислимо



=…+

=( ++...+).

Це означає, що є інтегралом системи (8.6).

Приклад 8.1. Знайти розв’язки лінійного однорідного рівняння з частинними похідними

. (8.13)

Розв'язання. Запишемо для рівняння (8.13) систему в симетричній формі

. (8.14)

Для системи звичайних диференціальних рівнянь маємо інтеграли

(8.15)

Тому

(8.16)

є розв’язками рівняння (8.13).

^ 8.1.2. Загальний розв’язок однорідного лінійного рівняння рівняння з частинними похідними. Розв’язування задачі Коші

Нехай

(8.17)

незалежні інтеграли системи (8.6). Тоді функція

, (8.18)

де – будь-яка диференційована функція, буде розв’язком рівняння (8.4)

Дійсно, підставимо (8.18) в (8.4)

++...+=

=++...+=

=. (8.19)

Формулу (8.18) називають загальним розв’язком рівняння (8.4). На відміну від загального розв’язку звичайного диференціального рівняння в (8.18) входять не довільні сталі, а довільна функція.

Задача знаходження загального розв’язку рівняння (8.4) рівносильна задачі знаходження (n-1) незалежних інтегралів відповідної системи звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі.

Розглянемо випадок двох незалежних змінних

. (8.20)

Запишемо систему в симетричній формі

=. (8.21)

Якщо – інтеграл системи (8.21), то

(8.22)

загальний розв’язок рівняння (8.20). Тут довільна неперервно диференційована функція від .

Приклад 8.2. Знайти загальний розв'язок рівняння

++...+=0. (8.23)

Розв'язання. Складемо систему звичайних диференціальних рівнянь

==...=. (8.24)

Для системи (8.24) заходимо інтеграл

, ,...,. (8.25)

Тобто

, ,..., . (8.26)

Тоді

, (8.27)

де – неперервно-диференційована функція, буде загальним розв’язком системи (8.23).

Приклад 8.3. Розв’язати рівняння

++=0. (8.29)

Розв'язання. Складаємо систему звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі

==. (8.30)

Легко визначити

, . (8.31)

Тому загальний розв’язок має вигляд

. (8.32)

Перейдемо до постановки і розв’язання задачі Коші для рівняння (8.4). Серед всіх розв’язків рівняння знайти такий

, (8.33)

який задовольняє початковій умові

при , (8.34)

або

=, (8.35)

де задана неперервно-диференційована функція від .

Для випадку двох змінних: знайти функцію

, (8.36)

яка задовольняє умові

при . (8.37)

Геометрично (8.36),(8.37) означає, що серед всіх інтегральних поверхонь знайти ту, яка проходить через задану криву (8.37) при . Ця крива лежить в площині , яка паралельна площині YOZ.

В загальному випадку розв’язування задачі Коші зводиться до визначення вигляду функції так , щоб

. (8.38)

Введемо позначення

. (8.39)

Тоді (8.38) перепишемо так

=. (8.40)

Розв’яжемо систему (8.39) в околі точок , відносно (це можливо так як – незалежні інтеграли)

. (8.41)

Тоді функцію вибираємо таким чином

=. (8.42)

Тоді умова (8.40) буде виконуватися

==.

Тому функція

(8.43)

– шуканий розв’язок задачі Коші.

Приклад 8.4. Розв’язати задачу Коші



при умові при .

Розв'язання. Складаємо систему , звідси – інтеграл. Отже

.

Шуканий розв’язок .

Розглянемо частинні випадки:

а) . Тоді ,
















Мал. 8.1
Розв’язок – конус, який отриманий обертанням прямої навколо осі OZ (мал. 8.1);

б
) ,













Мал. 8.2
Розв’язок – параболоїд, який отриманий обертанням параболи навколо осі OZ (мал. 8.2).

^ 8.2. Розв’язування неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними

Розглянемо неоднорідне рівняння

+...+=. (8.44)

Розв’язок диференціального рівняння (8.44) шукаємо у вигляді

, (8.45)

де неперервно-диференційована функція по всім змінним і

в околі точки .

Припустимо, що в (8.45) залежить від . Продиференціюємо (8.45)

по

, k=1,2,…,n.

Звідси

, k=1,2,…,n. (8.46)

Підставивши (8.46) в (8.44), отримаємо

+...++=0. (8.47)

Рівняння (8.47) – це вже однорідне рівняння. Його розв’язуємо по відомій схемі:

а) складаємо систему звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі

=...==; (8.48)

б) знаходимо n незалежних інтегралів

,...,; (8.49)

в) записуємо загальний розв’язок

. (8.50)

Приклад 8.5. Знайти загальний розв’язок рівняння

+...+= .

Розв'язання. Складаємо систему в симетричній формі

=...==.

Знаходимо інтеграли

, ,...,, .

Тоді

=0 (8.51)

– загальний розв’язок.

Якщо розв’язати (8.51) відносно , то отримаємо



–загальний розв’язок в явній формі.

Задача Коші ставиться та розв’язується для рівняння (8.44) аналогічно:

знайти таку функцію

, (8.52)

яка задовольняє початковій умові

при , (8.53)

де – задана неперервно-диференційована функція від .

Алгоритм для знаходження розв’язку задачі Коші:

а) перепишемо початкові умови (8.53) у вигляді

при ;

б) знаходимо n інтегралів і складаємо систему

; (8.54)

в) розв’язуємо систему (8.54) відносно ,

; (8.55)

г) записуємо розв’язок задачі Коші в вигляді

=. (8.56)

При цьому умова (8.53) буде виконуватися.

Приклад 8.6. Розв’язати задачу Коші

при .

Розв'язання. Складаємо систему в симетричній формі

==.

Звідси .

При : , . Отже

.

Тому , – розв’язок задачі Коші. Остаточно маємо

.






Скачать файл (1700.1 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации