Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по моделированию систем - файл Тема 3.doc


Загрузка...
Лекции по моделированию систем
скачать (455 kb.)

Доступные файлы (8):

Тема 1.doc196kb.15.06.2007 23:56скачать
Тема 2.doc100kb.16.05.2007 14:41скачать
Тема 3.doc429kb.15.06.2007 18:35скачать
Тема 4.doc292kb.03.06.2007 16:06скачать
Тема 5.doc193kb.09.06.2007 08:01скачать
Тема 6.doc125kb.06.06.2007 17:53скачать
Тема 7.doc98kb.03.06.2007 23:45скачать
Тема 8.doc99kb.05.06.2007 00:46скачать

Тема 3.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Тема 3.

Математическая модель электрической цепи.


  1. Матрица главных сечений и ее свойства.

Возьмем граф некоторой цепи (рис. 2а).


Совокупность ветвей графа, в которой оказываются представленными все узлы, но при этом не образуется ни одного замкнутого контура, называют деревом графа. На рис. 2б, в представлены два варианта деревьев графа, построенные из графа цепи на рис. 2а (можно построить и другие варианты дерева). Ветви, входящие в выбранное дерево называются ребрами. Ветви, не вошедшие в выбранное дерево, называются хордами. Таким образом, каждая ветвь графа является либо его ребром, либо хордой. Замкнутая линия, которая однократно пересекает некоторую совокупность ветвей графа и разделяет граф на две несвязанные части называется сечением. Если такая линия пересекает одно ребро, то сечение считается главным. На рис. 3 показан пример построения главных сечений.


Здесь главным сечениям присвоены номера тех ребер, которые входят в эти сечения.

Обычно ЗКТ формулируется относительно узлов, но его можно формулировать и относительно главных сечений. ЗКТ для сечений звучит так: алгебраическая сумма токов относительно главного сечения равна нулю.

Придерживаясь такой формулировки ЗКТ, получаем следующую систему уравнений для главных сечений, показанных на рис. 3.

і1569 или і1=-і569

(для главного сечения С1).

і25 (для главного сечения С2);

і3689 (для главного сечения С3);

і458 (для главного сечения С4);

і7=-і89 (для главного сечения С7).

Запишем эту систему уравнений в матричной форме:








можно подобную систему уравнений представить в общем виде, справедливом для произвольной схемы.



М
хорды
атрица называется матрицей главных сечений. Она определяет связь между токами ребер и токами хорд . Строки матрицы главных сечений принадлежат ребрам, а столбцы – хордам графа.







И

з матрицы вытекает не только система уравнений по ЗКТ, но и система уравнений по ЗКН. Элементы столбцов матрицы являются коэффициентами, линейно связывающими напряжение хорд, соответствующих столбцов, с напряжением ребер.
Так, для указанной выше матрицы можно записать следующую систему уравнений для ЗКН:

U5=U1-U2-U4

U6=U1-U3

U8=U3-U4+U7







U9=-U1+U3+U7

В матричной форме эту систему уравнений можно записать так



где - вектор напряжения хорд;

- транспонированная матрица ;

- вектор напряжения ребер.

Таким образом, матрица главных сечений определяет полную систему топологических уравнений.

  1. ^ Матрица главных сечений произвольной схемы.

В матрице главных сечений, как уже отмечалось, столбцы принадлежат хордам, а строки – ребрам дерева графов. При построении дерева графов обычно в ребрах группируют:

- источники напряжений;

- конденсаторы;

- резисторы.

В хордах, как правило, остаются:

- резисторы;

- индуктивности;

- источники токов.

Возьмем обобщенную матрицу главных сечений и выделим в ней столбцы и строки, принадлежащие конкретным элементам



Здесь Rx и Rp - резисторы, включенные соответственно в хорды и ребра.

Учитывая такое обозначение, можно матрицу разбить на подматрицы.

Индексы у подматриц указывают типы ветвей, которым принадлежат строки и столбцы подматрицы.

Сформулированное выше правило построения уравнений токов и напряжений с использованием матрицы можно распространить и на случай, когда эта матрица представлена подматрицами.

Подматрицы, расположенные вдоль строки и взятые с обратным знаком, являются коэффициентами, связывающими вектор тока группы ребер, которой принадлежит строка, с вектором тока соответствующих групп хорд. Например,

Подматрицы, расположенные вдоль столбца некоторой группы однотипных хорд, после транспонирования являются коэффициентами, линейно связывающими вектор напряжения этих хорд с векторами напряжения соответствующих групп ребер. Например,




  1. Формирование матрицы главных сечений.

Формирование матрицы производится в два этапа. На первом этапе по введенным в ЭВМ данным цепи формируется матрица инциденций, а из нее – структурная матрица. На втором этапе путем преобразований из структурной матрицы строят матрицу .


    1. Формирование структурной матрицы.

Рассмотрим построение структурной матрицы на примере графа цепи, представленного на рис. 2а. Составим матрицу следующего вида. Припишем столбцы матрицы определенным ветвям графа, а строки – его узлам. Дадим элементам alk этой матрицы следующие значения:


если k-я ветвь графа не подключена к l-му узлу;

если k-я ветвь подключена к l-му узлу и направление от него;

если k-я ветвь подключена к l-му узлу и направление к нему.

lномера узлов

kномера ветвей

При нумерации ветвей придерживаются следующей иерархии: управляемые источники напряжения, независимые источники напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные элементы, независимые источники тока, управляемые источники тока. Нумерация начинается с ветвей, принадлежащих высшей ступени иерархии. Исчерпав их продолжают нумерацию, перейдя к ветвям следующей ступени иерархии и т.д., пока не будут пронумерованы все ветви схемы. Именно так были пронумерованы ветви в графе на рис. 2а.

Для этого графа построим следующую матрицу:






Каждая l-я строка такой матрицы показывает, какие ветви подключены к l-му узлу и каково их направление относительно узла, а каждый k-й столбец указывает, с какими узлами соединена k-я ветвь.

Следует отметить, что одна из строк матрицы не является независимой, она не несет информации и может быть без последствий изъята из матрицы.

Вычеркнув в последнюю строку, получаем





Эту матрицу называют структурной и она дает топологическое описание цепи.

Так как строки матрицы указывают ветви, подключенные к соответствующим узлам, и их направление относительно узлов, то умножая строки матрицы на вектор токов ветвей , получаем алгебраическую сумму токов в узлах, равную нулю (в соответствии с ЗКТ). Следовательно







Эта матричная запись соответствует следующей системе уравнений

система уравнений для цепи по ЗКТ



    1. Получение матрицы главных сечений .

Для получения матрицы необходимо данную систему уравнений решить относительно токов ребер. Эту операцию можно выполнить методом исключения переменных: из всех уравнений, кроме первого, исключается ток і1, затем из всех уравнений, кроме второго исключается ток і2 и т.д. Исключение переменных позволяет преобразовать матрицу так, что в ее левой части образуется единичная матрица, а правая часть будет представлять собой искомую матрицу главных сечений . В ходе преобразований используются перестановка строк и столбцов матрицы, суммирование или вычитание строк. Покажем это на примере преобразования матрицы


Исходная матрица поменяли местами 2-ю и 5-ю строки

Изменили знаки в третьей строке и вынесли из первой строки третью с измененными знаками.

Переставили 4-ю и 5-ю строки, изменили на обратный знак элементов 4-й строки, вычли из элементов 1-й строки элементов 4-й строки











7-й столбец поставлен на место 5-го, а 5-й и 6-й сдвинуты вправо

Изменили на обратный знак в 5-й строке, вычли из 1-й строки 5-ю строку, сложили 3-ю и 5-ю строки




Точно такая же матрица была получена ранее.


  1. Вектор состояния электрической цепи.

Возьмем линейную RLC – цепь. Вынесем за пределы анализируемой линейной RLC – цепи (рис. 4а) независимые источники и реактивные элементы L и C.


В число независимых источников входят источники питания и источники входных сигналов. При этом полагаем, что анализируемая схема не содержит управляемых источников и не содержит особенностей. Под особенностями обычно понимают замкнутые контуры, составленные:

а) только из источника напряжения (U- контура);

б) только из ёмкостных элементов (C - контура);

в) из источников напряжения и ёмкостных элементов (UC - контура);

либо ветви, содержащие:

а) только источники тока (I - сечение);

б) только индуктивные элементы (L - сечение);

в) источника тока и индуктивные элементы (IL - сечение).

Оставшаяся часть схемы после вынесения из неё указанных элементов будут представлять собой линейную пассивную R-цепь (рис 4.б).

Токи (напряжения) в элементах R-цепи не изменяется, если индуктивные элементы заменить источниками тока , а ёмкостные элементами – источниками напряжения (рис. 5).






При этом источники, замещающие реактивные элементы, должны быть такими, чтобы их токи и напряжения в каждый момент времени имели те же значения, что и токи и напряжения соответствующих элементов.

Пассивная линейная R- цепь, представленная на рис.5 , находится под воздействием источников двух типов:

а) независимых источников питания и источников входных воздействий, представленных вектором:



б) источников замещения реактивных элементов, представленных вектором:
← вектор-столбец состояния схемы
Последний вектор называется вектором состояния.

Напряжения и токи независимых источников полагаются известными. Поэтому напряжения и токи элементов - цепи в любой момент времени определяются вектором состояния для этого момента времени.

Метод анализа схемы, основанный на использовании вектора состояния в качестве независимой переменной, называется методом переменных состояния.

  1. ^ Математическая модель линейной электрической цепи.

Математическая модель линейной цепи включает:

- уравнения токов резистивных элементов;

- уравнения состояния;

- уравнения выхода.

Рассмотрим общую структуру этих уравнений.


    1. Уравнения токов резистивных элементов.

Пусть и - -векторы токов, которые включают в себя токи резистивных рёбер и токи резистивных хорд. Введём вектор токов резистивных элементов



Очевидно

,

где и - матричные коэффициенты, значение которых определяется топологией цепи и значениями резистивных элементов цепи.

Полученное выше уравнение и есть уравнением токов резистивных элементов.


    1. ^ Уравнение состояния.

Напряжение на индуктивном элементе , .как известно, связано с током в этом элементе соотношением



Это напряжение действует между соответствующими узлами R-цепи, к которым подключен элемент . Очевидно, это напряжение связано линейной зависимостью с векторами и .



или



Ток емкостного элемента , как известно, связан с напряжением на этом элементе соотношением

,

Этот ток принадлежит R-цепи, вытекая из узла и втекая в узел, между которыми включен емкостной элемент . Следовательно, ток , может быть связан линейной зависимостью с векторами , и .



или



Составив подобные уравнения для всех индуктивных и емкостных элементов в той последовательности, в которой токи и напряжения этих элементов представлены в векторе состояния , их затем можно объединить в одно матричное уравнение:



Данное уравнение носит название уравнения состояния. Входящие в него и есть матричные коэффициенты, значение которых определяется топологией цепи и параметрами элементов цепи.


    1. Уравнение выхода.

Выход анализируемой цепи обозначим через , понимая под этим либо .

Выход R-цепи линейно связан с вектором состояния и вектором независимых источников , т.е.



Это есть уравнение выхода. Здесь и - матричные коэффициенты, определяемые параметрами схемы.

Следует заметить, что схема обычно имеет один выход, поэтому есть скалярная, а не векторная величина.


  1. ^ Математическая модель электрической цепи с нелинейными элементами.

Сформулируем математическую модель электрической цепи, имеющей в своем составе нелинейные резисторы или нелинейные реактивные элементы – нелинейные конденсаторы и нелинейные катушки индуктивностей.

    1. ^ Математическая модель цепи с нелинейными резистивными элементами.

Для выявления общей структуры уравнений математической модели цепи с нелинейными резистивными элементами воспользуемся тем же приемом, который был ранее использован для получения структуры уравнений линейной цепи. Вынесем из анализируемой схемы независимые источники, реактивные элементы и нелинейные резистивные элементы (рис. 1 а).



При этом оставшаяся часть схемы представляет собой линейную резистивную схему. Далее произведем эквивалентную замену нелинейных резисторов источниками напряжения или тока (рис. 1 б). Подход при этом следующий:

а) если j-й нелинейный резистор замещен источником напряжения UHj, то ток этого источника должен выражаться через его напряжение зависимостью, соответствующей вольт-амперной характеристике j-го нелинейного резистивного элемента, т.е. ;

б) если k-й нелинейный резистивный элемент замещается источником тока , то напряжение на этом источнике должно выражаться через ток источника зависимостью, представляющей собой вольт-амперную характеристику k-го нелинейного резистивного элемента, т.е. .

Представим вектором напряжение источников напряжения, заменяющих группу нелинейных резистивных элементов, а вектором - токи источников тока, замещающих эти элементы. Эти векторы, в свою очередь, объединим в вектор



Таким образом, линейная резистивная схема оказывается под воздействием трех групп источников, напряжения и токи которых представляются векторами (рис. 1 б).

На основании принципа линейной связи токов в линейной резистивной схеме с напряжениями и токами источников, действующих в схеме, можно структуру уравнений математической модели цепи с нелинейными резистивными элементами представить в следующем виде:

а) уравнение токов линейных резистивных элементов

(1)

б) уравнение состояния

(2)

в) уравнение отклика (выхода)

(3)

Как видим, особенность уравнений математической модели цепи с нелинейными резистивными элементами, отличающая их от уравнений линейной цепи, заключается в наличии в правой части каждого из уравнений третьего члена, содержащего вектор .

Система уравнений (1) - (3) является неполной, поскольку число неизвестных больше, чем число уравнений. Дополним эту систему уравнением

(4)

Оно отражает зависимость токов и напряжений источников замещающих нелинейные резистивные элементов от напряжений и токов всех остальных источников, действующих в схеме.

Система уравнений (1) – (4) уже является полной. По уравнениям (2) и (4) находят сначала векторы и . Затем по значениям этих векторов производят вычисления по уравнениям (1) и (3).


    1. Математическая модель цепи с нелинейными реактивными элементами.

При рассмотрении цепей, содержащих нелинейные реактивные элементы, практический интерес представляет случай, когда емкость нелинейного емкостного элемента является функцией напряжения на этом элементе

,

а индуктивность нелинейного индуктивного элемента – функция тока в этом элементе



В этом случае значения нелинейных элементов зависят от вектора состояния , элементы которого представляют собой напряжения на емкостных элементах и токи в индуктивных элементах.

Структура уравнения состояния цепи с нелинейными реактивными элементами может быть принята той же, что и структура уравнения состояния цепи, не содержащей нелинейных элементов, т.е.

(5)

Однако матричные коэффициенты и в этом случае являются переменными, зависящими от вектора состояния .

При интегрировании уравнения (5) на каждом шаге интегрирования необходимо выполнять пересчет коэффициентов и в соответствии с новым состоянием вектора .

Матричные коэффициенты , , и , входящие в уравнение токов резистивных элементов и уравнений выхода не зависят от значений параметров реактивных элементов.



Скачать файл (455 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации