Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Высшая математика - файл 1.doc


Высшая математика
скачать (284.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc285kb.08.12.2011 19:22скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Контрольна робота № 6


  1. Знайдіть загальний розв‘язок диференціального рівняння першого порядку:


Розв‘язання.

- це рівняння Бернуллі
Візьмемота приведемо рівняння до наступного вигляду:



Вираз в дужках прирівняємо до нуля та дістанемо :





Підставивши в вираз отримуємо





Так як , підставимо ;

Отримуємо: - загальний розв‘язок заданого диференціального рівняння.


  1. Знайдіть загальний розв‘язок диференціального рівняння вищого порядку:


Розв‘язання.
Рівняння не містить незалежної змінної х у явному виді.

Візьмемо , тоді і рівняння матиме вигляд:





За інтегруємо останнє рівняння та дістанемо:





















Отже, загальний інтеграл заданого рівняння має вигляд


3. Знайдіть частинний розв’язок диференціального рівняння, який задовольняє дані початкові умови:







Розв‘язання.
Так як права частина рівняння 0, маємо неоднорідне рівняння. Загальний розв‘язок неоднорідного рівняння має вигляд:

, де

- загальний розв‘язок відповідного однорідного рівняння,

- деякий частинний розв‘язок неоднорідного рівняння.

Спочатку знайдемо загальний розв‘язок відповідного однорідного рівняння.

Характеристичне рівняння відповідного однорідного рівняння:



Воно має корені (;):

;

Тому функції ; утворюють систему лінійно незалежних розв‘язків диференціального рівняння.

Отже загальний розв‘язок однорідного рівняння має вигляд:



Знайдемо частинний розв‘язок неординарного рівняння методом невизначених коефіцієнтів.

Права частина рівняння має вигляд (в даному випадку ). Значения є простим коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв‘язок шукаємо у вигляді або .

Знайдемо похідні:



Знайдемо похідні:





Підставимо значення ;;у вихідне рівняння:









Прирівнявши коефіцієнти при однакових ступенях ч в обох частинах цієї тотожності, маємо систему рівнянь для знаходження значень А, В, С.



А=1; ; .

Отже, , а загальний розв‘язок неоднорідного рівняння має вигляд:



Для знайдення частинного розв‘язання, вирахуємо та , скориставшись умовами задачі.

Для цього знайдемо похідну здобутого загального розв‘язку:



Скористаємося початковими умовами:



Розв‘язавши систему рівнянь, маємо С1=1; С2=1
Таким чином, шуканий частинний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:



4. ^ Знайдіть загальний розв’язок системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами:



Розв‘язання.
Характеристичне рівняння системи:





Маємо корені

Система рівнянь для знаходження та для має вигляд

Система рівнянь

або



Візьмемо,





маємо

Пишемо рішення

; (1)

Система рівнянь для знаходження та для має вигляд

Система рівнянь

або



Візьмемо



маємо

Маємо другу систему рішень

; (2)

Перепишемо рішення (1):

;







або





та (2):

;







або





Оскільки дійсні та уявні частини є розв‘язками системи, то дістанемо 2 розв‘язки в дійсній формі









Загальним рішенням системи буде











Скачать файл (284.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации