Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекції з Диференціальних рівнянь - файл 1.01-1.08 Основнi положення. Найпростiшi типи диференцiальни.doc


Лекції з Диференціальних рівнянь
скачать (223.8 kb.)

Доступные файлы (9):

1.01-1.08 Основнi положення. Найпростiшi типи диференцiальни.doc523kb.13.12.2004 00:47скачать
1.07-1.13.DOC241kb.13.12.2004 00:47скачать
DIF3.DOC427kb.02.05.2007 18:07скачать
DIF4.DOC170kb.13.12.2004 00:47скачать
DIF5.DOC141kb.13.12.2004 00:47скачать
DIF6.DOC191kb.13.12.2004 00:47скачать
DIF7.DOC439kb.13.12.2004 00:47скачать
readme.doc29kb.14.08.2007 21:42скачать
Зміст.doc25kb.05.06.2010 01:10скачать

содержание

1.01-1.08 Основнi положення. Найпростiшi типи диференцiальни.doc

Курс диференціальних рівнянь.

Розділ 1. Основні положення теорії диференціальних рівнянь.

Найпростіші типи диференціальних рівнянь першого порядку.
§1.1 Диференціальні рівняння та закони природи.

У деяких питаннях фізики приходять до необхідності розв’язання рівнянь типу:

F(x,y,y')=0

F(x,y,y',y'')=0

Наприклад:



Також одна з основних завдань - відновлення функції за її похідними. Наприклад для обертання планет:



Дамо для довідки таке означення:

Def Аналітична - функція, яку можна виразити на інтервалі рядом:



де



Існує такий факт: якщо для деякої функції в деякій точці відомі усі похідні, то і функція відома скрізь ( на інтервалі ). Чому це так? В малому ми по похідним можемо описати, як буде вести себе функція: зростати чи спадати, матиме опуклість вгору чи вниз і т. д. Але повністю надати інформацію про злічену кількість похідних ми незмозі. І тут нам на допомогу і приходять знання про закони природи. Вони доповнюють дані, надаючи інформацію про похідні вищих порядків за відомими нижчими.

Розглянемо, наприклад, фізичний маятник. Запишемо закон:





Позначаючи:



Переходимо до диференціального рівняння:

y''+w2sin(y)=0

Або:

F(y,y'')=0



А тепер перед нами і стоїть задача визначити y(t)! За малих у ми можемо для отримання наближеного розв’язка рівняння замінити sin(y) на y. Отримаємо:

y''+w2y=0

Взагалі, якщо б ми розглядали б пружинний маятник це було б вірно і без наближення.

Нехай у(t) аналітична і розкладається у ряд Тейлора:



Але з закону природи:

y''(t)=-w2y(t)

Хоча закон природи і не дає нам значення y(0) та y'(0), але ми можемо визначити через них усі старші похідні. Тобто знаючи y(0) та y'(0), як початкові умови ми повністю визначаємо положення маятника в залежності від часу у будь - який момент. А вже у'' та у''' ми можемо визначити:

y''(0)= -w2y(0)= - w2a0

у'''(0)= -w2y'(0)= - w2v0

Отож ми можемо записати і функцію:

y(t)=a0 + v0t - a0w2t2/2! - v0w4t3/3! + a0w4t4/4! - ....=

= a0cos(wt) + (v0/w)sin(wt)

Як показано, такий процес повністю визначається при задані початкової координати та швидкості.
§1.2 Поняття диференціального рівняння та його розв’язки.

Тут ми дамо необхідні для подальшого викладення базові означення.

Def Диференціальним рівнянням n-ого порядку називається співвідношення вигляду:

F(x,y,y',y'',...y(n))=0 (1)

де F(t1, t2, ... tn+2 )=0 задана і гладка в D  Rn+2. Причому у(n) дійсно входить у це рівняння:

.

Def Розв’язком диференціального рівняння (1) на деякому проміжку XR ( найчастіше у (a,b) інтервалі, щоб не сперечатися за похідні у точках a,b) називається така n раз y(x) диференційована функція, що

f(x,y(x),y'(x),.....y(n)(x))0

на X.

Не новина, що обернена задача має декілька розв’язків ( приклад: взяття кореня ). Тобто розв’язок не однозначний:

y(x)= + сonst

Для того, щоб вилучити потрібну функцію із всього сімейства ми і маємо задавати початкові умови.

Даний розділ аналізу займається такими задачами:

1. Методи знаходження розв’яків.

2. Розглядати питання коли розв'язки існують і є єдині.

3. Умови існування функцій, коли і як функція залежить від параметрів.
Лекція 2.

§1.3. Геометрична інтерпретація рівняння у'=f(x,y).

Def у'=f(x,y) - рівняння 1-го порядку, розв’язане відносно похідної.

Розв’язком такого рівняння буде функція y(x) така, що для будь - якого x на даному відрізку (а,b) виконується рівність:

y'(x)=f(x,y(x))



У даному випадку f(x,y) задає поле нахилів. Тобто у кожній точці кривої ми можемо побудувати одиничний відрізок з центром у цій точці, який би належав дотичній.

Def Ізоклиною диференціального рівняння у'=f(x,y) називається така множина D точок області у яких поле нахилів має одне і теж стале значення.

Приклад:

y'=x2+y2. D=R2,

kR - фіксоване.



Для даного рівняння ізоклинами є концентричні кола з центром у початку координат:

x2+y2=k - коло.

І на кожному колі ми можемо позначити відрізками нахил дотичних:

k = y'

Також, будуючи криві по даним відізкам ми можемо отримати криві - вони і будуть розв’язками рівняння, а задаватись рівнянням:

Ф(x,y,c)=0

Def Сімейство розв’язків, задане рівнянням Ф(x,y,c)=0 називають загальним розв'язком.

Вже знаючи загальне рівняння ми, перебираючи значення параметра с, можемо отримати різні функції - тобто виділити з сімейства розв'язків потрібний.

Зауваження:

Диференціальне рівняння може мати і розв'язки, які не входять у дане сімейство. Такі ров'язки називають особливими.

Інколи розв'язки - функцію виду Ф(x,y,c)=0 називають інтегральною кривою. Так само і замість терміну «розв'язати диференціальне рівняння» вживають синонімічний - «проінтегрувати рівняння».

Може трапитись, що . Але з геометричної точки зору це лише означає, що тангенс кута нахилу дотичної до осі ОХ буде нескінченний - тобто кут 900. Тому, щоб не втратити такі точки у них переходять до незалежної змінної у:



Для більшої зручності також можуть записувати рівняння у диференціальній формі:

dy-f(x,y)dx=0

Взагалі у рівнянні типу

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

за незалежну змінну ми можемо взяти все, що завгодно.

Вирішивши таку задачу ми можемо отримати і обернену - знайти диференціальні криві. Наприклад: за означенням ці криві - це силові лінії електричного поля. Якщо у будь - якій точці задано силове поле

F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))

то і у кожній точці ми можемо знайти напрям і величину сили:

tg((x))=y'(x)=Q(x,y)/P(x,y)

Ось ми і отримаємо рівняння у диференціальній формі.

Q(x,y)dy-P(x,y)dx=0.
§1.4. Розв'язання рівняння y'=f(x).
Зауваження:


щоб розвіяти деякі сумніви і відновити знання першого семестру нагадаємо, що похідна від інтеграла зі змінною верхньою границею дорівнює підінтегральній функції лише тоді, коли вона неперервна.

Отож ми розглядаємо рівняння для яких f(x) неперервна на інтервалі (a,b). Загальним розв'язком такого рівняння буде:

y(х)=f(x)dx + const

Як бачимо, розв'язок визначений з точністю до сталої. Якщо для деякого х0  (a,b) відомо y0=f(x0), то:

y=y0+ - частковий розв'язок

Отож з усіх цих міркувань можна зробити висновок - якщо функція перервна на деякому інтервалі - має розриви, то поділивши інтервал точками розривів на менші можемо отримати на кожному з них гідні умови для вирішення задачі. Також, щоб взагалі знайти частинний розв'язок, ми маємо мати стільки параметрів, скільки у нас відрізків - по одному на кожний.

Приклад:



Таке рівняння необхідно розв'язувати, розбивши усю числову пряму на два проміжки. Також для знаходження повного частинного розв'язку потрібно задати два параметра - х1 та х2, де х1  (-,1] і х2  (1, ).
§1.5. Рівняння виду у'=f(y).

Для визначеності нехай у  (c,d). Замінивши у' на dy / dx отримаємо:

dy-f(y)dx=0

або

dx/dy=1/f(y).

Треба помітити, що це все зроблено в припущенні, що для будь-якого у з проміжку (c,d) f(y)0. Але що буде при f(y)=0?



Нехай f(y*)=0. Тоді у* - корінь. Але для графіку це значить, що у у* буде пряма, паралельна ОХ. Отож у'=0. Тобто у* є не тільки коренем f(y)=0, а й нашого диференціального рівняння. Отож, займемося тепер пошуком інших розв'язків.

Як легко помітити розв'язаням рівнянь цього типу ми займалися у попередньому параграфі. Відповідь буде:

x=x0+

Приклад:

Дано: y'=y-1.

Розв'язання:

Перший корінь у=0. Для пошуку інших перепишемо рівняння як



x=ln|y-1|+c

Переходячи до залежності y(x) отримаємо:

y>1 y=1+k*exp(x)

y<1 y=1-k*exp(x),

де k - параметр рівний exp(c).

Також варто зауважити, що при k=0 ми отримуємо у=1 - розв'язок, який ми знайшли першим.


§1.6. Рівняння із змінними, що відокремлюються.

Для початку зрозуміємо, що називається таким рівняння і які його властивості.

f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0 (2)

Скорочений запис такого рівняння може бути: у'=f(x)g(y). З повного до скороченого можна перейти:



Але і тут виникає питання: «А чи не ділимо ми на нуль?» Дійсно. Нехай існують х* та у* - корені відповідних рівнянь. Для

x(y)x* dx=0

y(x)y* dy=0

За цих умов ми маємо, що рівняння (2) тотожно рівне нулю - виконується необхідна умова розв'язку. Але для випадка співпадання коренів одночасно і х і у є коренями рівняння (2) поле нахилів не визначено - диференціальне рівняння не має сенсу.

Тепер, коли вже розглянули нульові випадки, можемо розв'язувати саме рівняння. Але потрібно помітити, що корені f2(x) та g1(y) будуть бити усю площину на прямокутники - тобто ми будемо мусити розглядати диференціальне рівняння на кожному прямокутнику окремо. А вирішується воно просто - інтегруються обидві частини:



Приклад:

x(y2-1)dx-y(x2-1)dy=0

Перетворюємо до виду:



Зразу ж знаходимо розв'язки, коли знаменники нулі:

|x|=1; |y|=1.

Відкидаючи ці точки і беручи за сталу (1/2)*ln|c|, отримаємо

(x2-1)(y2-1)=c,

де с>0. Треба знову помітити, що при «забороненому» значенні константи ми отримуємо частинні розв'яки, які ми знайшли раніше.
§1.7. Рівняння вигляду y'=f(ax+by) (a0 i b0).

Зробимо заміну:

y(x)  z(x):=ax+by(x).

Звідки продиференціювавши отримаємо:

by=z-ax

by'=z'-a.

,

а рівняння такого типу ми вже розглядали у §1.5.
§1.8. Однорідні рівняння.

Нагадаємо, одне означення.

Def Рівняння P(x,y) та Q(x,y) мають однаковий степінь однорідності, якщо

P(tx,ty)= t P(x,y)

Q(tx,ty)= t Q(x,y) R.


Скачать файл (223.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации