Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лабораторная работа - файл 1.doc


Лабораторная работа
скачать (815.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc816kb.12.12.2011 20:30скачать

содержание

1.doc

Авторы Н.Н. Юзбашев, И.С. Борисов

Лабораторная работа №1

Решение задач элементарной математики в MathCAD
Лабораторная работа № 1 содержит сведения, позволяющие освоить простейшие вычисления и операции в MathCAD и решение задач элементарной математики. Она рассчитана на одно двух часовое занятие и выполняется в виде индивидуального задания приведенного в данной учебно-методической разработке.

Решение задач элементарной математики в MathCAD

Цель работы – приобретение практических навыков работы с универсальным математическим пакетом MathCAD при:

- выполнении простейших вычислений и операций в MathCAD (вычислении значения арифметических выражений, вычислении значения выражения, содержащего переменные);

- решении задач элементарной математики (преобразование алгебраических выражений).

^ 1. Методические указания

Занятие проводится после изучения темы «Простые вычисления в MathCAD». При проведении занятия обратить особое внимание на возможности MathCAD, элементы интерфейса, способы и последовательность ввода текстовой информации, определение переменных и функций пользователя, а также на особенности и порядок проведении численных и символьных вычислений. Обратить внимание на выполнение мер безопасности на рабочем месте.

Лабораторная работа выполняется в следующей последовательности:

1. Изучить теоретический материал, сопутствующий выполнению лабораторной работы.

2. Получить у преподавателя задание с исходными данными.

3. Запустить программу MathCAD.

4. Приступить к выполнению лабораторной работы.

5. Составить отчет о выполненной работе в электронном виде.

Содержание отчета.

Тема занятия.

Условия заданий.

Решения заданий.

Выводы.

^ 2. Основные математические функции и операторы в MathCAD

2.1.Основные элементы интерфейса системы MathCAD

Основные элементы интерфейса пользователя системы MathCAD приведены на рис. 1. К ним относятся: главное меню, стандартная панель инструментов, панель инструментов "Форматирование", панель вывода палитр математических знаков, рабочее поле документа, маркер ввода.

Панель вывода палитр математических знаков (рис. 2) позволяет включать палитры, с помощью которых можно вводить в документы практически все известные математические символы, операторы и объекты, управлять вычислениями в системе, осуществлять построение графиков. Например, для ввода и вычисления значения выражения в MathCAD применяется палитра математических знаков "Арифметика" (рис. 3, а). При этом вычисляемое выражение будет введено в месте размещения маркера ввода, как показано на рис. 3, б.

Из палитры "Арифметика" в рассматриваемом примере введены знаки экспоненты, натурального логарифма и квадратного корня. Для выхода из режима надстрочного символа после окончания ввода числа 0,125 необходимо нажать клавишу "Пробел".

Ввод формулы заканчивается символом "=", в результате чего MathCAD производит вычисление заданного выражения.

Входной язык MathCAD, как и любой язык программирования высокого уровня, имеет оператор присваивания. Он вводится при помощи кнопки арифметической палитры (рис. 3, а). ков.


Рис. 1. Основные элементы интерфейса системы MathCAD



Рис. 2. Панель вывода палитр математических знаков

Например,

a:=1.

Внимание! Следует строго различать оператор присваивания ":=" и оператор вычисления выражения "=".

После ввода такого выражения переменная a может использоваться в дальнейших расчетах, например

а + 5 = 6.



Рис. 3. Палитры:

а - «Арифметика»; б - пример ввода формулы; в - «Вычисления»

MathCAD вычисляет выражения, введенные на рабочем поле документа, слева направо, а затем – вниз. Это обстоятельство следует учитывать при вводе формул.

Оператор глобального присваивания "≡", который безразличен к месту своего расположения, вводится посредством палитры "Сравнения и отношения".

Чтобы вывести на экран текущее значение переменной достаточно ввести имя переменной и знак "=", а система выдаст результат, например, a = .

Вычисление определенных интегралов, численное дифференцирование, определение сумм, произведений и пределов выполняется при помощи палитры "Вычисления" (рис. 3, в).

Пример ввода формул дифференцирования, интегрирования и суммирования приведен на рис. 4.

Вставка функций, не вынесенных на математические палитры, осуществляется через меню "Insert"- "Function" или при помощи специальной кнопки на стандартной панели инструментов. Среди них:

тригонометрические функции:

cot(z) – котангенс;

asin(z) – арксинус;

acos(z) – арккосинус;

atan(z) – арктангенс;

гиперболические функции:

cosh(z) – гиперболический косинус;

sinh(z) – гиперболический синус;

tanh(z) – гиперболический тангенс;

acosh(z) – гиперболический арккосинус и др.;


Рис. 4. Пример ввода формул дифференцирования, интегрирования и суммирования

функции работы с комплексными числами:

arg(z) – вычисление аргумента комплексного числа;

Re(z), Im(z) – вычисление действительной и мнимой части комплексного числа;

функции округления:

ceil(x) – округление действительного числа в сторону положительной бесконечности;

floor(x) – в сторону отрицательной бесконечности.

Например,

z:= 2 + 4i - ввод числа z;

arg(z) = 1.107 - вывод результата arg(z).

Здесь мнимая единица i должна быть введена посредством кнопки палитры "Арифметика" (рис.3, а).

Пользователь может в MathCAD определять свои собственные функции (функции пользователя).

Например, пусть требуется определить функцию . Назовем ее именем f(x) и создадим в MathCAD следующую запись при помощи палитры "Арифметика" (рис. 3, а)

.

После этого можно вызывать данную функцию с любым допустимым аргументом, например

.

В MathCAD числовые переменные и функции могут обладать размерностью. Сделано это для упрощения инженерных и физических расчетов. В MathCAD встроено большое количество единиц измерения, с помощью которых и создаются размерные переменные.

Чтобы создать размерную переменную, определяющую, например, силу тока в 10 а, введите выражение, присваивающее переменной I значение 10: I:=10, и затем символ умножения <*>, а потом букву "А". Поскольку все символы, обозначающие единицы измерения, зарезервированы и имеют предустановленные значения (связанные с размерностью), то литера а будет распознана MathCAD как Ампер.

Например:



Если ранее вы переопределили переменную А, присвоив ей какое-либо значение, то восприниматься как единица силы тока она уже не будет.

Вставить единицу измерения можно и по-другому, не вручную, а при помощи средств MathCAD. Для этого выберите команду Insert/Unit (Вставка/Единица), либо нажмите кнопку с изображением мерного стакана на стандартной панели инструментов, либо клавиши <Ctrl>+<U>. Затем в списке Unit (Единица измерения) открывшегося диалогового окна Insert Unit (Вставка единицы измерений) выберите нужную единицу измерения Ampere (А) и нажмите кнопку ОК. Если вы затрудняетесь с выбором конкретной единицы измерения, но знаете, какова размерность переменной (в нашем случае это электрический ток), то попробуйте выбрать ее в списке Dimension (Размерность) диалогового окна Insert Unit (Вставка единицы измерений). Тогда в списке Unit (Единица измерения) появятся допустимые для этой величины единицы измерений, из которых выбрать нужную будет легче (рис. 5).

Просмотреть вставку единиц измерения можно и без выхода из диалогового окна ^ Insert Unit, нажимая вместо кнопки ОК кнопку Insert (Вставить). В этом случае вы увидите, что единица измерения появилась в нужном месте документа, и можете поменять ее, оставаясь в диалоге Insert Unit.

Многие единицы измерения можно представлять в виде различных символов. Например, ампер — как А или amp, Ом — как ohm или Q и т. д.

Над размерными переменными можно производить любые разумные с физической точки зрения расчеты. Пример расчета сопротивления через отношение напряжения к току приведен выше. Работая с размерными переменными, приготовьтесь к тому, что MathCAD будет постоянно контролировать корректность расчетов. Например, нельзя складывать переменные разной размерности, в противном случае будет получено сообщение об ошибке "The units in this expression do not match" (Размерности в этом выражении не совпадают). Тем не менее, позволяется складывать, например, амперы с килоамперами и величины, размерность которых выражена в разных системах измерения (например, СИ и СГС).

Команды меню Symbolics показаны на рис. 6. Для выполнения любой из них необходимо сначала выделить объект вычислений одним из следующих способов:

  • щелкните мышью на выражении, чтобы произвести символьную операцию над всем выражением.

  • чтобы произвести символьную операцию над частью выражения, выделите эту часть черным цветом, то есть подведите указатель мыши к началу нужной части выражения, нажмите левую кнопку мыши и переместите указатель мыши до конца этой части при нажатой левой кнопке мыши.

  • щелкните мышью на переменной, относительно которой надо произвести символьную операцию.




Рис. 5. Вставка единиц измерения размерной величины



Рис. 6. Меню Symbolics

ПРИМЕЧАНИЕ. Выделение черным цветом используется в MathCAD, когда какие-либо действия нужно выполнить над частью выражения: вырезать в буфер обмена, скопировать, удалить, изменить шрифт или размер шрифта и т. д.

Выполняя символьные операции, следует помнить, что не всякое выражение поддается символьным преобразованиям, а потому не всякая задача имеет символьное решение (в отличие от численного).

Рассмотрение символьных операций начнем с последней команды меню Symbolics — команды Evaluation Style (Стиль вычислений). При выборе этой команды открывается диалоговое окно (рис.7), которое позволяет выбрать стиль выводимого символьного решения: горизонтально — рядом с исходным выражением, вертикально — под ним, с комментариями и без них (на представленных далее рисунках выбрано горизонтальное расположение ответов).

ВНИМАНИЕ. Перед выполнением символьных операций убедитесь, что активизирована (помечена флажком) команда Automatic Calculation (Автоматический режим вычислений) вменю Math (Математика).


Рис. 7. Окно выбора стиля вывода символьного результата

^ 2.2. Символьная оценка

Для выполнения символьной оценки выделите выражение или его часть, раскройте подменю Evaluate (Оценить) меню Symbolics (Символьные вычисления) и выберите команду Symbolically (Символически), Floating Point (С плавающей точкой) или Complex (В комплексной форме).

Символьный процессор по-разному обрабатывает числа с десятичной точкой и без нее.

Если символьный процессор получает числа, содержащие десятичную точку, то любые возвращаемые численные результаты будут десятичными приближениями точного решения.

Если символьный процессор получает числа без десятичных точек, то возвращаемые численные результаты, когда это возможно, будут без десятичных точек.

Если символьная операция дает ответ в виде десятичной дроби, то этот ответ всегда отображается с 20 значащими цифрами. На отображение не действуют ни локальный, ни глобальный числовые форматы.

Примеры использования команды Evaluate приведены на рисунке 8.



Рис. 8. Примеры символьной оценки выражений

^ 2.3. Упрощение выражений

Команда Simplify (Упростить) служит для основных алгебраических и тригонометрических упрощений выбранного выражения. Она выполняет арифметические преобразования, сокращает общие множители, использует основные тождества для тригонометрических и обратных функций, уменьшает степени. Можно упрощать как все выражение целиком, так и его части. Если преобразование всего выражения не дает желаемого результата, попытайтесь выделить и упростить часть выражения. Примеры использования команды Simplify приведены на рис. 9.



Рис. 9. Примеры упрощения выражений

^ 2.4. Разложение выражений

Операция символьного разложения Expand (Разложить) по смыслу противоположна операции упрощения. В ходе разложения раскрываются все суммы и произведения, а сложные тригонометрические выражения разлагаются с помощью тригонометрических тождеств. Если выражение — дробь, раскладывается числитель, и выражение представляется как сумма дробей. Примеры использования команды Expand (Разложить) приведены на рис. 10.


Рис. 10. Примеры разложения выражений

^ 2.5. Разложение на множители

Команда Factor (Разложить на множители) позволяет представить полиномы как произведения более простых полиномов, а целые числа как простые сомножители. Команда объединяет сумму дробей в одну дробь и упрощает «многоэтажную» дробь с несколькими дробными чертами. Примеры использования команды приведены на рис. 11.



Рис. 11. Примеры разложения выражений на множители

ВНИМАНИЕ. MathCAD разлагает на множители только то, что выделено.

^ 2.6. Приведение подобных слагаемых

Команда Collect (Привести подобные слагаемые) объединяет члены, содержащие одинаковые степени выделенной переменной. Примеры использования команды Collect приведены на рис. 12.



Рис. 12. Примеры приведения подобных слагаемых

^ 2.7. Коэффициенты полинома

Многие выражения или части выражения представляются в виде полиномов от выделенной переменной; коэффициенты полинома могут быть найдены символьным процессором при использовании команды Polynomial Coefficients (Коэффициенты полинома), причем коэффициенты могут быть сложными функциями других переменных. Примеры использования команды Polynomial Coefficients (Коэффициенты полинома) приведены на рис. 13.

^ 2.8. Вычисление пределов

В MathCAD есть три оператора вычисления пределов.

  1. На математической панели щелкните на кнопке Calculus Toolbar (Панель вычислений) — откроется панель Calculus (Вычисление), на которой внизу есть три кнопки для ввода операторов вычисления пределов. Щелкните на одной из них.

  2. Введите выражение в место ввода справа от слова lim.

  3. В место ввода под словом lim введите имя переменной, по которой надо вычислить предел, и ее предельное значение.

  4. Выделите угловым курсором или черным цветом все выражение целиком.



Рис. 13. Примеры нахождения коэффициентов полинома


  1. Выберите команду Symbolics ► Evaluate ► Symbolically (Символьные вычисления ►Оценить ► Символически). MathCAD возвратит значение предела, если оно существует. Примеры вычисления пределов показаны на рис. 14.



Рис. 14. Примеры вычисления пределов функций

^ 2.9. Символьные вычисления по выбранной переменной

Команда Substitute (Подстановка) заменяет выделенным и скопированным в буфер обмена выражением заданную переменную.

  1. Выделите выражение, которое будет заменять переменную.

  2. Скопируйте выделенное выражение в буфер обмена.

  3. Выделите переменную, которую надо заменить.

  4. Выберите команду Symbolics ► Variable ► Substitute (Символьные вычисления ► Переменная ► Подставить), как показано на рис. 15. MathCAD подставит выражение из буфера обмена вместо выделенной переменой.




Рис. 15. Подменю Variable меню Symbolics

^ 2.10. Вычисление производной или интеграла

С помощью меню Symbolics (Символьные вычисления) производную или интеграл можно вычислить двумя способами:

  • в нужном выражении, записанном без знаков производной или интеграла, выделите переменную, по которой надо вычислить производную или взять интеграл, и выберите команду Symbolics ► Variable ► Differentiate (Символьные вычисления ► Переменная ► Дифференцировать) или Symbolics ► Variable ► Integrate (Символьные вычисления ► Переменная ► Интегрировать);

  • на панели Calculus (Вычисление) щелкните на одной из кнопок вычисления интеграла или производной, запищите с помощью введенного шаблона нужное выражение и выберите команду Symbolics ► Evaluate ► Symbolically (Символьные вычисления ► Оценить ► Символически).

Примеры вычисления производной и интеграла приведены на рис. 16.


Рис. 16. Примеры символьного дифференцирования и интегрирования выражений

^ 2.11. Символьное решение уравнений и неравенств

Решить уравнение символьно труднее, чем численно. Может оказаться, что решения в символьном виде не существует. Символьное решение уравнений и неравенств осуществляется в следующей последовательности:

  • введите уравнение, использовав жирный знак равенства (знак логического равенства, а не присваивания значения). Если в выражении отсутствует знак равенства, MathCAD полагает, что выражение равно нулю.

  • выделите переменную (в любом месте уравнения), относительно которой надо решить уравнение.

  • выберите команду Symbolics ► Variable ► Solve (Символьные вычисления ► Переменная ► Решить).

Если решений несколько, MathCAD выводит вектор решений. Примеры символьного решения уравнений приведены на рис. 17.


Рис. 17. Символьное решение уравнений и неравенств

^ 2.12. Разложение в ряд Тейлора

Чтобы разложить выражение в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пиано, выполните следующие действия:

  • выделите переменную в выражении, которое надо разложить в ряд;

  • выберите команду Symbolics ► Variable ► Expand to Series (Символьные вычисления ► Переменная ► Разложить в ряд);

  • в появившемся диалоговом окне укажите порядок остаточного члена.

В полученном ответе остаточный член обозначается как 0(х6), то есть отбрасываются члены ряда, содержащие х6 и выше. Прежде чем использовать разложение для дальнейших вычислений, остаточный член надо удалить (рис. 18)



Рис. 18. Разложение выражения в ряд Тейлора.

Ряд Тейлора для функции обычно сходится только в малой окрестности выбранной точки. В качестве точки разложения MathCAD берет нуль. Для разложения функции в точке, отличной от нуля, необходима замена переменной. Например, для разложения в ряд функции 1n(х) в окрестности точки х = 1 надо разложить в ряд функцию 1n(х + 1), а затем переменную х заменить на х - 1. Этот и другие примеры разложения в ряд приведены на рис. 19.



Рис. 19. Разложение в ряд функции ln(x) заменой переменной

^ 2.13. Разложение на простейшие дроби

Чтобы преобразовать выражение в сумму простейших дробей, выделите переменную в заданном выражении и выберите команду Symbolics ► Variable ► Convert to Partial Fraction (Символьные вычисления ► Переменная ► Разложить на простейшие дроби).

Символьный процессор будет пытаться разложить знаменатель выражения на множители. MathCAD не станет разлагать выражение, которое содержит десятичные точки. Примеры разложения выражения на простейшие дроби приведены на рис. 20.



Рис. 20. Примеры разложения выражений на простейшие дроби

^ 2.14. Ранжированные переменные

До сих пор мы рассматривали переменные, которые имеют единственное значение. Однако в математике часто возникает необходимость в задании некоторого ряда значений — чаще всего упорядоченного. Например, для вычисления факториала N! =1*2*. . . *(N-1)*N нужно сформировать ряд чисел от 1 до N с шагом 1 и перемножить их. Также упорядоченный ряд значений какой-то переменной (например, абсциссы х) нужен для построения графика функции — MathCAD строит графики функций по точкам, соединяя их отрезками прямых.

Для создания таких рядов в MathCAD используются так называемые ранжированные переменные. Иногда они заменяют управляющие структуры — циклы, однако полноценной такая замена все же не является. В частности, потому что не предусмотрен выбор любого значения ранжированной переменной.

В самом простом случае для создания ранжированной переменной используется выражение: Name := Nbegin.. Nend, где Name — имя переменной, Nbegin — ее начальное значение, Nend — конечное значение, .. — символ, указывающий на изменение переменной в заданных пределах (он вводится знаком точки с запятой ;). Если Nbegin < Nend, то шаг изменения переменной будет равен +1, в противном случае -1.

Для создания ранжированной переменной общего вида используется выражение: Name := Nbegin, (Nbegin + Step). .Nend. Здесь Step — заданный шаг изменения переменной (он должен быть положительным, если Nbegin<Nend, или отрицательным в противном случае).

Заметим, что MathCAD позволяет задавать и ранжированные размерные переменные. Каждая компонента такой переменной — размерная величина.

^ 2.15. Таблицы вывода

Ранжированные переменные широко применяются для представления функций в виде таблиц вывода, а также для построения их графиков. Если после некоторого выражения с ранжированной переменной поставить знак равенства, то после щелчка мышью на экран будет выведена таблица значений этого выражения. Несколько таких таблиц показано на рис. 21.

Полезно учитывать некоторые свойства таблиц вывода:

  1. Если количество значений переменной (выражения, вектора и т. п.) и, соответственно, строк в таблице вывода больше 16, то выводятся первые 16 строк. Если указатель мыши находится в пределах таблицы, то щелчок левой кнопкой мыши приводит к появлению вертикальной полосы прокрутки, позволяющей просмотреть все строки таблицы.

  2. Числа в таблицах можно задавать в требуемом формате с помощью операторов задания формата чисел.

  3. В старых версиях MathCAD при выводе в виде таблицы значений размерного выражения все ячейки таблицы содержали единицу измерения, в MathCAD 8.0 единица измерения выводится только в заголовке таблицы, что, несомненно, удобнее.




Рис. 21. Примеры применения ранжированных переменных

  1. В MathCAD 2000 таблицы значений размерных переменных выводятся в длинных квадратных скобках, а векторы в длинных круглых скобках.

^ 2.16. Сохранение документа.

Созданный в MathCAD документ можно сохранить на диске через меню "File" – "Save As…", "File"– "Save" или при помощи кнопки стандартной панели инструментов. Файлы, содержащие документы MathCAD, имеют расширение "*.mcd". Например, "lab1.mcd" или "document.mcd".

Загрузка файлов MathCAD с диска выполняется посредством меню "File" – "Open…" или кнопки стандартной панели инструментов.

^ 3. Порядок выполнения работы

Задание 1: Вычислить значения арифметических выражений используя палитру «Калькулятор» .



Задание 2: Вычислить значение выражения для каждого значения х = 1,5; 7,9 следующие функции, используя оператор присваивания, палитру «Калькулятор» и кнопку «Вставить функцию»:



Вывести на экран значение системной константы  и установить максимальный формат ее отображения локально (с помощью команды Format  Result…  Number Format  Number of decimal  Установить число десятичных знаков (ФОРМАТИРОВАНИЕ  РЕЗУЛЬТАТ  ФОРМАТ  НОМЕРА  ЧИСЛО ЗНАКОВ).

Задание 3: Выполните следующие операции, используя палитры «Калькулятор» и «Исчисления».





Задание 4: Решите следующие задачи используя функцию измерения случайной величины .

1. Точка М лежит на прямой СD между точками C и D. Найдите длину отрезка CD если:

СМ = 2.5 см, MD = 3.5 см;

СМ = 3.1 дм, MD = 4.6 дм;

СМ = 12.3 м, MD = 5.8 м;

2. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 2.7 м, АС = 3.2 м. Сколько решений имеет задача?

Задание 5. Упростить выражение

Для того чтобы упростить введенное выражение, используйте меню символьных операций: щелкните справа внизу у последнего символа выражения и выделите его, нажимая клавишу <Space> . Затем щелкните в меню Symbolics по строке Simplify (Упростить). Результат (преобразованное выражение) будет отображен в рабочем документе справа от исходного выражения .

Задание 6. Раскрыть скобки и привести подобные в выражении x(z+1)2-2z(x+z).

Введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Expand (Расширить) в меню Symbolics. Результат (преобразованное выражение) отображается в рабочем документе справа от исходного выражения .

Задание 7. Разложить на множители выражение

а2b + ab2 + 2abc + b2c+ +a2c+ ас2 + bc2.

Введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Factor вменю Symbolics. Результат отображается в рабочем документе справа от исходного выражения.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями.

Задание 8. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь


Введите выражение для преобразований, выделите переменную х и щелкните по строке Convert to Partial Fraction в пункте Variable меню Symbolics.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями.



Задание 9: Определить функцию , вычислить ее значение при x=2,9 и построить таблицу значений функции на интервале x[-2π; 2π] с шагом π/30.

Для построения таблицу значений функции используется выражение: x := Nbegin, (Nbegin + Step). .Nend. Здесь Step — заданный шаг изменения переменной (он должен быть положительным, если Nbegin<Nend, или отрицательным в противном случае).




Скачать файл (815.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации