Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Теоретическая механика. Шпора за 1 и 2 курс - файл Всякое .doc


Теоретическая механика. Шпора за 1 и 2 курс
скачать (1068.5 kb.)

Доступные файлы (41):

01 Три способа задания движения точки..doc28kb.20.01.2010 21:24скачать
02 определение скорости точки при координатном способе задания движения.doc26kb.18.01.2010 12:18скачать
03 Определение Естественный способ.doc31kb.18.01.2010 12:28скачать
04 Теорема о проекциях скоростей.doc26kb.18.01.2010 12:50скачать
05 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.doc27kb.18.01.2010 13:20скачать
06 Вращательно движение.doc27kb.18.01.2010 13:29скачать
07 вычисление скорости и ускорения точки твердого тела при его вращении.doc33kb.18.01.2010 13:50скачать
08 Формула Эйлера.doc32kb.19.01.2010 13:19скачать
09 Плоскопараллельное движение твердого тела.doc44kb.19.01.2010 13:27скачать
10 Мгновенный центр скоростей..doc28kb.19.01.2010 13:47скачать
11 Способны нахождения МЦС.doc27kb.19.01.2010 13:59скачать
12 Определение скорости и ускорения точки плоской фигуры.doc25kb.19.01.2010 14:12скачать
14 Сферическое движения твердого тела.doc26kb.19.01.2010 15:00скачать
15 Свободное движение твердого дела.doc26kb.19.01.2010 15:04скачать
16 Сложное движение точки.doc27kb.19.01.2010 15:07скачать
17 Формула Бура.doc26kb.19.01.2010 15:23скачать
18 Абсолютная скорость и ускорение точки. Теорема Кориолиса.doc26kb.19.01.2010 15:45скачать
19 Ускорение Кориолиса.doc26kb.19.01.2010 15:48скачать
20 Аксиомы Динамики.Следствия.doc28kb.20.01.2010 12:37скачать
21 Первая ивторая задачи Динамики точки.doc27kb.20.01.2010 12:40скачать
23 Принцип относительности механики.doc25kb.20.01.2010 12:48скачать
24 Внешние и внутренние силы Два свойства.doc27kb.20.01.2010 14:04скачать
26.doc84kb.20.01.2010 20:53скачать
27.djvu97kb.20.01.2010 20:54скачать
28.doc68kb.20.01.2010 20:54скачать
29.doc43kb.20.01.2010 20:54скачать
30.djvu133kb.20.01.2010 20:54скачать
31.djvu225kb.20.01.2010 20:54скачать
32.djvu254kb.20.01.2010 20:54скачать
33.djvu147kb.20.01.2010 20:54скачать
34.djvu241kb.20.01.2010 20:54скачать
36.doc32kb.20.01.2010 22:08скачать
38.doc28kb.20.01.2010 22:35скачать
39.doc34kb.20.01.2010 22:07скачать
42.doc38kb.20.01.2010 23:07скачать
43 даламбер.doc36kb.20.01.2010 23:21скачать
44.doc41kb.20.01.2010 23:10скачать
45.doc30kb.20.01.2010 23:13скачать
45 Обобщенная сила.doc29kb.20.01.2010 21:36скачать
46 Уравнение Логранжа 2го рода.doc32kb.20.01.2010 21:36скачать
Всякое .doc229kb.20.01.2010 20:54скачать

Всякое .doc




Теоретическая механика (динамика) лекция 4.

§3.8 Теорема об изменении кинетического момента
Кинетический момент точки и системы
Для материальной точки массой m, движущейся со скоростью , кинетическим моментом (момент количества движения, момент импульса) относительно какого-либо центра О, называют момент количества движения точки относительно этого центра О, т.е.



Кинетический момент приложен к точке, относительно которой он вычисляется. В проекциях на оси координат имеем







Размерность кинетического момента [L] = кг м2/ с
Для механической системы кинетическим моментом (главным моментом количества движения системы относительно какой-либо точки О) называют векторную сумму кинетических моментов точек этой системы, взятых относительно точки О,


Этот вектор момента приложен к точке О.
^ Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела

Вычислим кинетический момент твердого тела, совершающего вращение вокруг оси z.





вектор скорости точки перпендикулярен h k.

Следовательно, для одной точки



Для всего тела
^ Теорема об изменении кинетического момента точки

Преобразуем уравнение движения точки в виде второго закона Ньютона:



Преобразуем левую часть по формуле производной от векторного произведения

, но

Тогда получаем

Окончательно: первая производная по времени от кинетического момента точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра.
^ Теорема об изменении кинетического момента системы точек

Для каждой точки

Умножим векторно последнее соотношение на радиус-вектор точки:



После суммирования по всем точкам системы имеем:



Законы сохранения кинетического момента получаем как частный случай закона изменения:

  1. Если момент внешних сил равен нулю , то кинетический момент системы сохраняется

  2. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно оси Ох равна нулю, то проекция кинетического момента на эту ось сохраняется . Пример: скамья Жуковского


§3.9 Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела




Рассмотрим систему отсчета S’, связанную с центром масс материальной системы, оси (x’y’z’) этой системы параллельны осям системы S (Oxyz). Система отсчета S’ называется системой отсчета Кенига.

Для любой точки материальной системы справедливо соотношение

Для поступательного движения системы точек имеем для скоростей точек : , при этом (, т.к. система S’ не вращается и всегда движется поступательно).

Составим выражение для кинетического момента системы точек и подставим в него выражение для :



По определению положения центра масс в системе S’ и последних два слагаемых обращаются в ноль (предпоследнее обращается в ноль в силу

).

Окончательно , то есть кинетический момент абсолютного движения системы относительно неподвижной точки О равен векторной сумме кинетического момента центра масс относительно этой же точки, как если бы в центре масс была сосредоточена вся масса системы, и кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к подвижной системе координат S’, движущейся поступательно вместе с центром масс.

Теорема об изменении кинетического момента: .

Подставляя сюда ранее полученные выражения для и , после преобразований получим:



Перенося из правой части в левую первое слагаемое и учитывая, что имеем



Выражение в круглых скобках равно нулю на основании теоремы о движении центра масс. Тогда



Это теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе, движущейся поступательно с центром масс, она формулируется также, как если бы центр масс был неподвижной точкой.




Используя теорему о движении центра масс и изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе S’, движущейся поступательно вместе с центром масс, получим три дифференциальных уравнения плоского движения твердого тела:



Первые два уравнения являются дифференциальными уравнениями движения центра масс в плоскости Oxy, третье уравнение – дифференциальное уравнение вращения тела относительно центра масс.

§3.10 Теорема об изменении кинетической энергии



Работа силы. Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиус-вектора точки приложения силы.



Элементарная работа силы равна также скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.



Если сила ^ F перпендикулярна приращению радиус-вектора dr, то элементарная работа силы равна нулю.
Полная работа силы

Другое определение: , где t=0 соответствует положению М0, а момент времени t – положению М.

Последняя формула удобна для вычисления работы силы, когда сила известна как функция времени.

Размерность работы [A]=1Дж=1Нм
Мощность. Мощность силы или работоспособность какого-либо источника силы часто оценивают той работой, которую он может совершить за единицу времени.



Размерность мощности [W]=1Вт=1Дж/с.
Работа силы тяжести.




Px=0, Py=0, Pz= - mg



Для системы точек для каждой точки работа Ai=mig(z0i-z1i), полная работа




Работа линейной силы упругости.

Линейная сила упругости действует по закону Гука , где r – расстояние от точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки М, с – постоянный коэффициент жесткости. Выберем начало координат в точке равновесия, тогда работа

,

где  - деформация (удлинение) пружины.
Работа силы, приложенной к твердому телу.




При поступательном движении
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси





(при выводе последнего соотношения мы использовали свойство смешанного векторно-скалярного произведения)

Полная работа

Для свободного тела.




Скорость точки М, к которой приложена сила F, в общем случае равна:





Элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке твердого тела, в общем случае движения складывается из элементарной работы на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела (полюсом О`) и на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки.


Кинетическая энергия.

Кинетической энергией Т материальной точки называют ½ произведения массы точки на V2: T=½ mv2=p2/(2m), размерность кинетической энергии - 1Дж=1Н м.

Кинетической энергией системы Т называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы, то есть



Теорема Кенига. Разложим движение механической системы на переносное поступательное вместе с центром масс и относительное по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс (оси Кенига из параграфа «Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела»).
Запишем связь координат и скоростей точек системы в абсолютной (неподвижной) и подвижной системе отсчета:


Выражение для кинетической энергии системы может быть представлено в следующем виде:

;

В силу того, что начало подвижной системы отсчета совмещено с центром масс системы точек и третье слагаемое в предыдущей формуле обращается в ноль (выражение в круглых скобках в системе отсчета, связанной с центром масс, равно нулю).

В итоге получаем:

Это означает, что кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы, и кинетической энергии системы относительно центра масс.
Примеры:

  1. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении -

  2. Кинетическая энергия твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси –



  1. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении -

Теорема об изменении кинетической энергии точки
Умножим скалярно второй закон Ньютона на

После несложных преобразований получим:



или ;

также

то есть изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии системы точек
Для каждой точки системы имеем:

Здесь мы выразили равнодействующую силу для точки mk в виде суммы равнодействующих внешних и внутренних сил, действующих на точку.

Проводя суммирование и вынося знак дифференциала за знак суммы, будем иметь:

или

Получили закон изменения кинетической энергии для системы точек: «изменение кинетической энергии системы точек равно работе все внутренних и внешних сил на всех перемещениях всех точек». Работа внутренних сил не равна нулю, поскольку под действием одинаковых сил действия и противодействия точки разной массы имеют различные перемещения и работа внутренних сил полностью не компенсируется.

Проведем интегрирование между начальным и конечным положением системы, тогда будем иметь:

или

Имеем теорему в конечной форме: «изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек при том же изменении положения системы».

Для твердого тела и
§3.11 Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия
Силовым полем называют часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует определенная сила, зависящая от координат точки и времени (стационарный и нестационарный случаи).

Силовое поле называют потенциальным, если имеется силовая функция , такая, что

Силовая функция определяется с точностью до постоянной, так как добавка в виде константы под знак частной производной не влияет на значения Fx, Fy, Fz.

Запишем работу силы потенциального силового поля:



Элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции.

Полная работа силы на участке от положения М0 до положения М равна



Эта работа не зависит от формы траектории, работа силы в потенциальном силовом поле по замкнутой траектории равна нулю.

Можно показать, что необходимым и достаточным условием того, что силовое поле является потенциальным, является условие , то есть поле безвихревое.

Непотенциальными являются силы сопротивления, зависящие от скорости и силы трения. Сила сухого трения скольжения не будет потенциальной, так как хотя она постоянна и не зависит от скорости, но направление силы трения от скорости зависит.
Наряду с силовой функцией можно ввести другую функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля – потенциальную энергию.

Потенциальной энергией материальной точки в рассматриваемой точке силового поля M называют работу, которую совершают силы поля, действующие на материальную точку при перемещении ее из положения M в начальное положение M0:

.

Постоянная С0 одна и та же для всех точек поля, зависящая от того, какая точка поля была выбрана за начало отсчета.

В конечном итоге имеем: , то есть силовая функция и потенциальная энергия отличаются знаком и определены с точностью до постоянной.
§3.12 Закон сохранения механической энергии

Для материальной точки ранее имели: .

Если материальная точка движется в стационарном потенциальном силовом поле,

то A=0-, то есть



При движении точки в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, остается постоянной величиной. Это и является формулировкой закона сохранения полной механической энергии.

Для системы точек в стационарном потенциальном силовом поле



Здесь  - потенциальная энергия внутренних и внешних сил, действующих на точки системы. Отсюда

T-T0=0 -  или T+=T0+0=E=E0,

то есть полная механическая энергия при движении системы в стационарном силовом поле внешних и внутренних сил является постоянной величиной.

Для твердого тела - потенциальная энергия внешних сил, так как потенциальная энергия внутренних сил постоянна и может быть положена равной нулю. Для изменяемой механической системы учитываем потенциальную энергию и внутренних сил.

Если для системы выполняется закон сохранения механической энергии, то она называется консервативной.
Диссипативные силы характерны тем, что приводят к уменьшению механической энергии E (переводя ее в тепло).


Скачать файл (1068.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации