Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Шпаргалки - Уравнения математической физики и ряды Фурье. МАИ. Препод Чиров! - файл Ответы на билеты.Часть1.doc


Шпаргалки - Уравнения математической физики и ряды Фурье. МАИ. Препод Чиров!
скачать (448.6 kb.)

Доступные файлы (4):

Ответы на билеты.Часть1.doc2600kb.05.06.2010 21:06скачать
Ответы на билеты.Часть2.doc170kb.27.06.2010 18:48скачать
Ответы на билеты.Часть3.doc1887kb.06.06.2010 17:13скачать
Ответы на билеты.Часть4.doc159kb.27.06.2010 20:42скачать

содержание
Загрузка...

Ответы на билеты.Часть1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
1) Ортогональные и ортонормированные системы функций.

Говорят, что функции и ортогональны на , если интеграл .

Система функций конечная или бесконечная называется ортогональной на , если функции этой системы попарно ортогональны ; при этом будет предполагать, что интеграл , для всех n-1,2,…

Система функций называется ортонормированной на , если . Если ортогональная система функций на не содержит функций с нулевой нормой, то система - ортонормированная. Действительно,

.

3) Ряды Фурье по произвольной ортогональной системе функций.

Пусть (1) бесконечная ортогональная на система функций. Предположим, что некоторую функцию

(2) – называется многочленом, где - некоторая константа системы функций (1). Домножим правую и левую часть выражения (2) на , где и проинтегрируем правую и левую части на .



. .

(3). Коэффициент определяемый по формуле (3) называется коэффициентом Фурье для функции по ортогональной системе функций (1). Определение: Пусть функция производная, непрерывная или разрывная (допускается разрыв первого рода), заданная на , для которой интегралы вида (3) позволяют вычислить для функции коэффициент Фурье с любым n. Ряд вида (4), где - коэффициенты Фурье, называемые рядом Фурье для функции по системе функции (1), при этом можно записать (4). Знак «~» можно поменять на «=», если докозательство сходимости ряда (4) и этот ряд имеют своей суммой функцию .

^ 2) Ортогональность тригонометрической системы функций.

Система функций , (1) называется основной тригонометрической системой. Эта система ортогональна на отрезке .

Можно показать, подсчитав интегралы вида и , что система (1) является ортогональной системой на и на любом отрезке оси OX, длиной 2l:

,

. От системы (1) можно перейти к системе

путем замены переменной: .

4) Минимальное свойство коэффициентов Фурье.

Пусть - ортогональная система функций на некотором отрезке . Выражение вида:



- называется полиномом относительно полиномной системой функций. – коэффициент.

Пусть функция на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода. Задача: Среди всех полиномов порядка n, найти тот, который дает наименьшее среднеквадратичное решение этой функции на . Система функций нормирована. Среднеквадратичное умножение:





=





. Исходный интеграл принимает минимальное значение, если полимерен и равен коэффициенту Фурье.

^ 5) Формулировка достаточных условий разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье.





, где

- действительные числа, называемые коэффициентами Фурье. Пусть функция произвольная, заданная на такая, что существуют интегралы:





Функцию можно представить в виде ряда Фурье:

^ 6) Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье.

Условие разложимости функции в ряд Фурье: Ряд Фурье кусочно – гладкой, непрерывной или разрывной функции (допускаются точки разрыва 1-го рода) периода сходится для всех значений , причем его сумма равна функции в каждой точке непрерывной функции и равна числу в каждой точке разрыва первого рода . Если кусочно – гладкая функция периода всюду непрерывна, то ряд Фурье, записанный для нее сходится абсолютно и равномерно. Тригонометрический ряд Фурье общего вида.



- четная:



.

. – нечетная:




^ 7) Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Случай четных и нечетных функций. -четная; - нечетная. Свойства:

1) Произведение двух четных или двух нечетных функций – есть функция четная. 2) Произведение четной на нечетную функций – есть нечетная функция.

3) Функция является четной функцией при любом . Функция является нечетной при любом . Ряд Фурье для функций: 1) Если четная функция, то

, таким образом ряд Фурье принимает вид:

2) Если нечетная функция, то , следовательно, ряд Фурье:



^ 8) Ряд Фурье для функции, заданной на конечном промежутке.

Случай задания функции на произвольном . .





Если функция задана на или на интервале и может быть периодичной с периодом и удовлетворяет в рассматриваемом промежутке условию Дирихле, то функцию можно представить рядом Фурье бесчисленным числом способов, достраивая его произвольным способом на и . Чтобы представить данную функцию в виде разложения по косинусам, нужно заданную функцию на симметричном доопределить четным образом и вся функция будет четной. Если нужно получить разложение по синусам, нужно заданную функцию на симметричном доопределить нечетным образом.


Скачать файл (448.6 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации