Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по ТАУ (автоматика) - файл ТАУ ЛЕКЦИЯ 7.doc


Лекции по ТАУ (автоматика)
скачать (9255.7 kb.)

Доступные файлы (16):

ЛЕКЦИЯ 1.doc1018kb.17.04.2009 19:32скачать
ЛЕКЦИЯ 2.doc927kb.01.11.2006 00:09скачать
ЛЕКЦИЯ 3.doc1243kb.01.11.2006 00:44скачать
ЛЕКЦИЯ 4.doc945kb.01.11.2006 02:53скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 10.doc776kb.16.02.2007 22:18скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 11.doc1194kb.11.03.2007 17:13скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 12.doc862kb.19.03.2007 22:10скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 13.doc821kb.17.04.2007 03:47скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 14.doc851kb.17.04.2007 04:53скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 15.doc3215kb.12.05.2007 18:25скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 16.doc1084kb.16.05.2007 01:19скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 5.doc799kb.02.11.2006 03:20скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 6.doc595kb.14.11.2006 00:39скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 7.doc476kb.10.02.2007 11:42скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 8.doc1189kb.10.02.2007 11:43скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 9.doc1155kb.10.02.2007 02:00скачать

ТАУ ЛЕКЦИЯ 7.doc

ЛЕКЦИЯ 7.

Устойчивость систем автоматического управления


На предыдущих лекциях исследовались установившиеся процессы в САУ. Сейчас мы переходим к рассмотрению переходных процессов. Начнем их рассматривать с понятия устойчивости.

Любая система должна быть прежде всего работоспособной. Это значит, что она должна нормально функционировать при действии на нее различных внешних возмущений. Иными словами, система должна работать устойчиво.

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

На рис. 7.1 показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (рис. 7.1, а) и устойчивой (рис. 7.1, б) системах. Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. Этот процесс может быть апериодическим (кривая 1 на рис. 7.1, а) или колебательным (кривая 2 на рис. 7.1, а).

Апериодический расходящийся процесс может, например, возникнуть в САУ, если в ее управляющем устройстве ошибочно переключить полярность воздействия на объект, в результате чего УУ будет осуществлять не отрицательную, а положительную обратную связь вокруг объекта. При этом УУ будет не устранять отклонение у, а действовать в обратном направлении, вызывая лавинообразное его изменение.

Колебательный расходящийся процесс может наступить, например, при неограниченном увеличении коэффициента передачи системы. Вследствие чего УУ станет излишне энергично воздействовать на объект, стремясь ликвидировать первоначально возникшие отклонения у. В этом случае при каждом очередном возврате у к нулю под действием управляющего устройства кривая у будет пересекать ось абсцисс все с большей скоростью и процесс в целом будет расходящимся.

В случае устойчивой системы (рис. 7.1, б) переходный процесс, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает апериодически (кривая 1) или колебательно (кривая 2), и система вновь возвращается в установившееся состояние.

Таким образом, устойчивую систему можно определить также как систему, переходные процессы в которой являются затухающими.

Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы. Однако система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействий, когда установившийся режим вообще отсутствует. С учетом таких условий работы можно дать следующее, более общее определение устойчивости: система устойчива, если ее выходная величина остается ограниченной в условиях воздействия на систему ограниченных по величине возмущений.

Нетрудно показать, что если переходный процесс в системе является затухающим, то система будет удовлетворять и последнему определению.

Линейная система автоматического управления называется устойчивой, если ее выходная координата у(t) остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях х(t) и f(t). Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.

Таким образом, для определения устойчивости линейной системы требуется найти изменение ее управляемой величины. Структурная схема линейной системы приведена на рис.7.2, где W(s) - передаточная функция разомкнутой системы, которая в общем виде, как было определено на второй лекции, имеет вид:

. (7.1)

 



Рис. 7.2. Структурная схема линейной системы
Передаточная функция замкнутой системы, изображенной на рис. 7.2, определяется по следующей формуле

. (7.2)

Подставив (7.1) в (7.2) и освободившись от дробей в числителе и знаменателе передаточной функции замкнутой системы, можно представить ее так:

, (7.3)

где ; ; .

Процессы в системе (рис.7.2), как следует из (7.3), описываются дифференциальным уравнением вида

. (7.4) 

Решение линейного неоднородного уравнения (7.4) в общем виде состоит, как известно, из двух составляющих:

. (7.5)

Здесь - частное решение неоднородного уравнения (7.5) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса; - общее решение однородного уравнения

,

описывающее переходный процесс в системе.

Как показано выше, система будет устойчива, если переходные процессы , вызванные любыми возмущениями, будут затухать, т.е. если с течением времени будет стремиться к нулю.

Решение однородного дифференциального уравнения, как известно, имеет вид:

. (7.6)

Здесь Сi – постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями и возмущением; si – корни характеристического уравнения

, (7.7)

где полином , называемый характеристическим, есть левая часть уравнения (7.4) динамики системы.

Из теории комплексных переменных известно, что если вещественная часть корня si отрицательна, то слагаемое стремится к нулю при t ® ¥.

Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.

Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости (рис. 7.3), то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, короче, все они должны быть левыми.

Рис. 7.3. Корни характеристического уравнения на комплексной плоскости.
Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая:

    • корень в начале координат;

    • пара мнимых корней.

Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. В этом случае границу устойчивости называют апериодической; система устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной: выходной сигнал в установившемся режиме имеет произвольное значение. Такие системы называют нейтрально устойчивыми.

В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной, при этом в переходном процессе будут незатухающие гармонические колебания.

Если хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть, т.е. лежит в правой полуплоскости комплексной плоскости корней характеристического уравнения, то система неустойчивая.

Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корней ее характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.

Существуют три основных критерия устойчивости: критерий Рауса-Гурвица, критерий Михайлова и критерий Найквиста. Рассмотрим их последовательно.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица.
Это алгебраический критерий, по которому условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Е. Раусом и затем швейцарским математиком А. Гурвицем в конце 19 – го века. Приведем без доказательства этот критерий в форме Гурвица.

Возьмем характеристический полином

, (7.8)

где полагаем , что всегда можно обеспечить умножением при необходимости полинома на - 1. Составим из коэффициентов этого полинома определитель

Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет n строк и n столбцов. Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется до положительного числа n элементов нулями. Вторая строка включает все четные коэффициенты и тоже заканчивается нулями. Третья строка получается из первой, а четвертая – из второй сдвигом вправо на один элемент. На освободившееся при этом слева место ставится нуль. Аналогично сдвигом вправо на элемент получаются все последующие нечетные и четные строки из предыдущих одноименных строк.

В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме а0.

Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.

Эти миноры отчерчены в выражении (7.9) штриховыми линиями.

Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных значений n.

Для n = 1



И условия устойчивости сводятся к неравенствам:

.

Отсюда, например, звено 1-го порядка с передаточной функцией является устойчивым, а звено с передаточной функцией - неустойчивым.

Для n = 2

;

.

Условия устойчивости:



(к последнему неравенству сводится неравенство , если учесть предыдущее неравенство ).

Например, звено с передаточной функцией устойчиво, если перед всеми членами в знаменателе стоит знак плюс.

^ Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов ai.

Если определитель Dn=0, то система находится на границе устойчивости. Возможны два случая:

    • апериодическая граница устойчивости, если свободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе;

    • колебательная граница устойчивости, если определитель Dn-1=0.

Из условия Dn-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.
Для n = 3

;

.

Условия устойчивости:

;

;

.

Последнее неравенство с учетом предпоследнего условия сводится к требованию . Таким образом, в целом эти условия устойчивости заключаются в положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора Δ2. (Необходимость положительности а2 вытекает из условия и положительности всех остальных коэффициентов).

Для n = 4



Условия устойчивости:



Легко видеть, что условия устойчивости опять сводятся к требованию положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора Δ3. (Условие Δ2 > 0 при этом вытекает из неравенства Δ3 > 0 с учетом того, что а4 > 0).

Для n = 5

.

Условия устойчивости, если действовать аналогично, сведутся здесь к положительности всех коэффициентов и двух миноров: Δ2 и предпоследнего Δ4.

Можно показать в общем случае для системы n – го порядка, что в условия устойчивости в качестве их части входит требование положительности всех коэффициентов уравнения. Анализ устойчивости надо начинать с проверки этого простого необходимого, но недостаточного условия устойчивости. При его невыполнении, естественно, отпадает надобность в составлении и проверке остальных неравенств.

Условия устойчивости, получаемые из критерия Рауса-Гурвица, как видно из изложенного, усложняются с ростом порядка системы. При этом для систем достаточно высокого порядка оказывается затруднительным выяснять влияние на устойчивость системы значений отдельных параметров звеньев, входящих в состав коэффициентов уравнения. Это связано с тем, что, как правило, одни и те же параметры одновременно входят в несколько коэффициентов уравнения системы. Поэтому критерий Рауса-Гурвица применяют только для систем невысокого порядка и прежде всего для анализа устойчивости, когда надо определить, устойчива ли система при известных значениях всех ее параметров. При решении задачи синтеза системы, когда требуется выбрать значения отдельных параметров системы, критерий Рауса-Гурвица становится неудобным уже для систем выше четвертого порядка.







Скачать файл (9255.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации