Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по ТАУ (автоматика) - файл ТАУ ЛЕКЦИЯ 8.doc


Лекции по ТАУ (автоматика)
скачать (9255.7 kb.)

Доступные файлы (16):

ЛЕКЦИЯ 1.doc1018kb.17.04.2009 19:32скачать
ЛЕКЦИЯ 2.doc927kb.01.11.2006 00:09скачать
ЛЕКЦИЯ 3.doc1243kb.01.11.2006 00:44скачать
ЛЕКЦИЯ 4.doc945kb.01.11.2006 02:53скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 10.doc776kb.16.02.2007 22:18скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 11.doc1194kb.11.03.2007 17:13скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 12.doc862kb.19.03.2007 22:10скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 13.doc821kb.17.04.2007 03:47скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 14.doc851kb.17.04.2007 04:53скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 15.doc3215kb.12.05.2007 18:25скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 16.doc1084kb.16.05.2007 01:19скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 5.doc799kb.02.11.2006 03:20скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 6.doc595kb.14.11.2006 00:39скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 7.doc476kb.10.02.2007 11:42скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 8.doc1189kb.10.02.2007 11:43скачать
ТАУ ЛЕКЦИЯ 9.doc1155kb.10.02.2007 02:00скачать

ТАУ ЛЕКЦИЯ 8.doc

ЛЕКЦИЯ 8.

Частотные методы исследования устойчивости.

Частотные методы исследования устойчивости основаны на связи расположения корней характеристического полинома D(s) с годографом этого полинома на комплексной плоскости, т.е. графиком функции D(jw) при изменении w от 0 до ¥.

К частотным методом анализа устойчивости относятся критерий Михайлова и критерий Найквиста.

Критерий устойчивости Михайлова

Это графический критерий. Он предложен в 1938 г. советским ученым А.В. Михайловым и тоже основан на рассмотрении полинома D(s). Подставим в этот полином вместо s мнимую переменную . В результате получим комплексную функцию

.

Здесь - действительная часть, полученная из членов D(s), содержащих четные степени s, а - мнимая часть, полученная из членов D(s) с нечетными степенями s.

Изобразим D() в виде годографа в комплексной плоскости (кривые 1-5 на рис. 7.4). Эти годографы называются годографами Михайлова.



Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента полинома D(jw) при изменении частоты w от 0 до ¥ равнялось бы n·π/2

Другими словами, система устойчива, если годограф характеристического полинома D(jw) (кривая Михайлова), начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n - порядок характеристического уравнения системы.

На рис. 7.4 годограф 1 относится к устойчивой, а годографы 3, 4 и 5 – к неустойчивым системам.

Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат (штриховая кривая 2 на рис. 7.4).

Действительно, в этом случае существует значение ω, при котором D() = 0, т.е. характеристическое уравнение системы имеет пару сопряженных мнимых корней . Последнее и означает наличие в системе незатухающих колебаний, т.е. нахождение ее на границе устойчивости. Незначительное изменение параметров системы, в результате чего годограф D() на рис. 7.4 отойдет влево или вниз от начала координат, делает систему устойчивой, а изменение параметров в другую сторону – неустойчивой.

При практическом построении годографа D() прежде всего находят точки его пересечения с координатными осями. Для этого, определив из уравнения



значения частот, соответствующих точкам пересечения годографа D() с мнимой осью, подставляют их в выражение . В результате получают соответствующие ординаты. Аналогично находят точки пересечения D() с действительной осью, приравнивая нулю мнимую часть и подставляя затем найденные при этом значения ω в выражение для .

Собственно, после того как найдены значения ω, при которых годограф D() пересекает оси координат, т.е. найдены нули и , для суждения об устойчивости системы нет необходимости строить сам годограф. Из формулировки критерия Михайлова следует, что устойчивость имеет место, если нули и чередуются с ростом ω, начиная с ω = 0, когда = 0, а > 0.
Критерий устойчивости Найквиста.

Этот критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристикеке (АФЧХ) разомкнутой системы (рис. 7.5).

Рассмотрим сначала случай 1, когда известно, что система в разомкнутом состоянии устойчива (рис. 7.5, а). Условие устойчивости замкнутой системы тогда сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0). На рис. 7.5, а характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшать коэффициент передачи в неустойчивой системе, ее АФЧХ будет сжиматься к началу координат, в результате чего система станет в конце концов устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика ранее устойчивой системы в конце концов охватит точку (-1, j0), и система потеряет устойчивость.

Для случая 2, т.е. для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1, j0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1, j0) сверху вниз должно быть на k/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где k – число правых полюсов передаточной функции W(s) разомкнутой системы, т.е. число полюсов с положительной действительной частью.

На рис. 7.5, в в качестве примера показаны две АФЧХ разомкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии вследствие наличия правых корней, но устойчивой в замкнутом состоянии. Характеристика 1 соответствует k = 1, а характеристика 2 – значению k = 2. (В первом случае имеем «половину» пересечения действительной оси левее точки (-1, j0)).



Таким образом, в общем случае при применении критерия Найквиста необходимо предварительно определить число правых полюсов W(s). Для одноконтурной системы, когда знаменатель W(s) представляет собой произведение знаменателей передаточных функций отдельных звеньев, это число находится легко, поскольку полюсами W(s) являются полюсы передаточных функций отдельных звеньев. У многоконтурных систем, особенно с перекрестными связями, задача определения числа k усложняется, и поэтому в этих случаях целесообразно отказаться от применения критерия Найквиста. В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения.

Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости ее в замкнутом состоянии является неохват АФЧХ точки (-1, j0). Последнее имеет место, если при частоте, на которой А(ω) = 1, абсолютное значение фазы меньше π.

Сказанное непосредственно следует из рис. 7.5, а.

Таким образом, применительно к логарифмическим характеристикам, если учесть при этом, что значению ^ А = 1 соответствует L = 20 lg A = 0, критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что ЛАХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение –π. Или иными словами: на частоте среза ωс величина фазы должна быть меньше π.

Изложенное иллюстрируется на рис. 7.6.


Здесь изображены ЛАХ L(ω) и четыре варианта ЛФХ φ(ω). В случае ЛФХ 1 и 4 замкнутая система устойчива, причем характеристика 4 соответствует АФЧХ 4 на рис. 7.5, а. ЛФХ 2 соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, ЛФХ 3 – неустойчивой замкнутой системе.

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, требования к ЛАХ и ЛФХ в отношении устойчивости можно сформулировать, исходя из соответствующих требований к АФЧХ. В частности, для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в замкнутом состоянии является следующее: при положительной ЛАХ число пересечений ЛФХ уровня –π снизу вверх должно быть на k/2 раз больше числа пересечений в обратном направлении.

При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров системы.

В случае применения критерия Рауса-Гурвица о запасе устойчивости можно судить по тому запасу, с которым выполняются входящие в этот критерий неравенства. При использовании графических критериев Михайлова и Найквиста запас устойчивости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости. Для критерия Михайлова это будет удаленность годографа D() от начала координат, а для критерия Найквиста – удаленность характеристики W() от точки (-1, j0).

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе Δφ и запас устойчивости по амплитуде ΔL. Эти величины показаны на рис. 7.6 для системы с ЛФХ, представленной кривой 1. Аналогично они могут быть найдены и по АФЧХ.

^ Запас устойчивости по фазе определяется величиной Δφ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза ωс, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

^ Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной ΔL допустимого подъема ЛАХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи k разомкнутой системы по отношению к его критическому по устойчивости значению.

При проектировании САУ рекомендуется выбирать Δφ 30о, а ΔL 6 дБ. Последнее соответствует примерно двойному запасу коэффициента передачи по устойчивости.

Рассмотренные критерии устойчивости тем или иным способом оценивают один и тот же факт: имеются ли среди корней характеристического уравнения замкнутой системы корни с положительной вещественной частью. Поэтому все они дают одинаковый результат в оценке устойчивости системы.

Надо отметить, что прежде чем исследовать устойчивость САУ с помощью того или иного критерия, следует убедиться, что необходимое условие устойчивости выполняется, т.е. все коэффициенты характеристического уравнения системы являются положительными числами.

Каждый из критериев применяют в зависимости от того, какими исходными характеристиками и данными располагают. Если известны дифференциальные уравнения системы, то чаще применяют алгебраические критерии устойчивости.

Достоинством алгебраических критериев является сравнительная простота применения, а недостатком – то, что они не позволяют оценить влияние на устойчивость системы параметров отдельных ее элементов. Этого недостатка лишен графоаналитический критерий Михайлова.

Чтобы с помощью критерия Михайлова оценить влияние изменения параметров элементов системы на ее устойчивость, необходимо построить кривую Михайлова при заданном значении интересующего нас параметра. А потом изменять этот параметр и смотреть, как будет меняться кривая Михайлова.

При известной АФЧХ используют частотный критерий Найквиста. С помощью этого критерия также можно оценить влияние параметров элементов системы на ее устойчивость. АФЧХ можно снять экспериментально.
Оценка устойчивости автоматической системы по ее структуре.

В ряде случаев оценить устойчивость автоматической системы можно по ее структуре. Это значительно сокращает время, так как нет необходимости составлять характеристическое уравнение.

Если система имеет такую структуру, что в ней невозможно обеспечить устойчивость ни при каком значении ее элементов, то такая система называется структурно-неустойчивой.

Оценим устойчивость данной системы по ее структуре. Например, если система имеет два интегрирующих звена, не охваченных жесткой обратной связью, и не имеет последовательно включенных дифференцирующих звеньев, то она будет неустойчивой при любом значении параметров ее элементов.

Покажем это на примере простейшей системы, состоящей из одного апериодического и двух интегрирующих звеньев. Передаточная функция такой системы в разомкнутом состоянии

,

а характеристическое уравнение замкнутой системы

.

Для этого уравнения не выполняется необходимое условие устойчивости. Следовательно, система будет неустойчива при любых значениях параметров Т и К, т.е. она будет структурно-неустойчивой.

Структурно-неустойчивую систему можно превратить в устойчивую только изменением ее структуры, т.е. введением дополнительных элементов, например, дифференцирующих элементов при включении пропорциональных элементов параллельно интегрирующим.
Запас устойчивости САУ.

Запас устойчивости – это количественная оценка отклонения значений параметров системы или ее характеристик от зоны, опасной с точки зрения устойчивости. Запас устойчивости по параметрам характеризует расстояние граничной кривой, определяющей область разрешенных значений параметров, от границы области устойчивости. На рис. 7.7 запас устойчивости по параметрам Т и К обозначен через h.


Запас устойчивости по критерию Михайлова равен радиусу окружности r, в которую не должна заходить кривая Михайлова (рис. 7.8). Центром окружности является «опасная» точка при применении критерия Михайлова, т.е. начало координат.

При применении критерия Найквиста «опасной» точкой является точка с координатами -1, j0. Оценка запаса устойчивости, исходя из этого критерия, производится по амплитуде и фазе. Запас устойчивости по амплитуде А (рис. 7.9,а) равен расстоянию от точки пересечения АФЧХ разомкнутой системы вещественной оси до точки -1, j0, а запас по фазе φ1 (рис. 7.9,а) – углу между вещественной осью и вектором, проведенным из начала координат в точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса.

При оценке устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам запас устойчивости по амплитуде определяется как ордината ЛАХ при фазе φ = -π и измеряется в децибелах. Запас устойчивости по фазе φ1 определяется по фазовой частотной характеристике при частоте среза ωс, т.е. при частоте пересечения ЛАХ оси частот. В этой точке значение ЛАХ равно нулю, так как модуль АФЧХ в этой точке равен единице.


На рис. 7.9,б запас по амплитуде ^ А1 выражен в логарифмическом масштабе. Чем больше по абсолютной величине А1, тем дальше от точки -1 пересекает АФЧХ устойчивой системы вещественную ось и, следовательно, тем больше величина А (рис. 7.9,а). Отсюда следует, что запасы по амплитудам А и А1 одинаково характеризуют расположение АФЧХ разомкнутой системы при фазе – π, только измеряются они в разных масштабах.







Скачать файл (9255.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации