Кинематика точки и твердого тела
скачать (169 kb.)
Доступные файлы (1):
1.doc | 169kb. | 04.12.2011 20:29 | ![]() |
содержание
- Смотрите также:
- Кинематика точки и твердого тела. Вариант 5 [ документ ]
- по теоретической механике [ документ ]
- Конспекты лекций. Кинематика [ документ ]
- Шпора по теоретической механике [ документ ]
- Кинематика [ документ ]
- Теоретическая механика [ документ ]
- Кинематика точки. Вариант 2 [ документ ]
- Кинематика точки (вариант 1.11) [ документ ]
- Кинематика точки (Вариант 7) [ документ ]
- Ответы на билеты Теоретическая механика [ документ ]
- Шпаргалки по теоретической механике УИтс [ документ ]
- Кинематика точки - Методические указания к решению задач и курсовые задания по теоретической механике [ документ ]
1.doc
Расчетно-графическое задание по статикеРГР-2
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Группа ЖУ 07 А 21
Студент Горячев Роман Александрович
Оценка работы
Дата «29» мая
Преподаватель Леготин Сергей Дмитриевич
ЖУКОВСКИЙ, 2009г.
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ.
Задача 1. Вариант № 22.
ЗАДАНИЕ. По данным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t1 найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в данной точке.
x = 7t ² (м); y = 5t (м); t1 = 0,5 (с)
a) Установим вид уравнения, связывающего функции x и y, по которому судят о траектории движения точки. Выразим из одного уравнения t и подставим в другое. Из второго уравнения:

подставим в первое и получим:


y
Это уравнение описывает параболу с вершиной в начале координат. Начало движения соответствует моменту времени t0 = 0. Используя исходные функции, найдем положение начальной точки:
x0 = 7t²0 =0 (м) , y0 = 5t0 =0 (м).
Материальная точка начнет свое движение из геометрической точки с координатами x0 = 0 (м), y0 = 0 (м). Исходя из вида заданных координатных функций, при увеличении параметра t значения x и y будут возрастать, т.е. материальная точка будет перемещаться вверх и направо. Таким образом, траектория движения представляет собой ветвь параболы x = 0,28 y² началом в ее вершине (0,0).
b) Положение точки в момент времени t1 определим путем подстановки t1 в исходные зависимости:
x1 = 7t² = 7 · 0,5² =1,75(м); y1 = 5t = 5 ·0,5 = 2,5(м)
c) Скорость точки.
Проекции вектора скорости:

Величина вектора скорости:
V


З

V


d) Полное ускорение точки:



Величина ускорения по своим проекциям определяется по теореме Пифагора:
a


e) Касательное ускорение точки:

Для момента времени t1:

f) Нормальное ускорение точки.


g) Радиус кривизны траектории в данной точке:

Ответ:
- траектория движения представляет собой ветвь

параболы с вершиной в начале координат;
- положение точки для момента времени t1 определяется координатами
x1 = 1,75 (м), y1 = 2,5 (м);
- скорость точки для момента времени t1 равна
V1 ≈ 8,6 (м/c);
- полное ускорение точки для момента времени t1 равно
a = 14 (м/c²)
- касательное ускорение точки для момента времени t1 равно
aτ ≈ 11,4 (м/с²)
- нормальное ускорение точки для момента времени t1 равно
an ≈ 8,13 (м/с²)
- радиус кривизны траектории в данной точке
ρ1 ≈ 9,09 (м).
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Задача 2. Вариант (схема механизма) № 4. Таблица 6.

ДАНО. Заданный механизм представлен на схеме (Рис. 1), уравнение движения груза 1 описывается выражением:
x = C2t² + C1t + C2 .
В начальный момент времени t0 = 0 начальная координата груза x0=0,04м,
а начальная скорость V0 = 0,04м/с .
В момент времени t = t2 = 4с координата груза x2 = 1,72м.
R2 = 0,5м; r2 = 0,36м; R3 = 0,3м.
ОПРЕДЕЛИТЬ:
- уравнение движения груза 1;
- скорость и ускорение груза 1. в момент времени t = t1;
- угловые скорости и угловые ускорения шкивов 2 и 3 в момент времен t = t1;
- скорость и ускорение точки М шкива 3 при t = t1.
РЕШЕНИЕ.
ДАНО: x = C2t² + C1t + C0;
t0 = 0; x0 = 0,04 м; V0 = 0,04 м/с; t2 = 4 с; x2 = 1,75 м; t1 = 3с;
R2 = 0,5м; r2 = 0,36м; R3 = 0,3м.
ОПРЕДЕЛИТЬ: x = x(t); V1; a1; ω2; ε2; ω3; ε3; VM; a M
Итак:
- груз 1 движется поступательно вниз;
- шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси O2z2 (рис.2);
- шкив 3 вращается вокруг неподвижной оси O3z3 (рис.2).
Уравнение движения груза 1:
x = C2t² + C1t + C0; (1)
Скорость груза 1 определим, продифференцировав закон движения по
времени:

Касательное ускорение груза 1 определим, получив вторую производную по времени от уравнения (2):

Таким образом, ускорение не зависит от времени t. Следовательно, ускорение есть величина постоянная, а движение груза - равноускоренное. При движении по прямой нормальное ускорение отсутствует (an = 0), поэтому полное ускорение груза определяется только касательной составляющей
(a = aτ).
Для определения постоянных коэффициентов подставим начальные условия в уравнения (1) и (2).
t0 = 0; x0 = 0,04 м; V0 = 0,04 м/с;
x0 = C2 · 0² + C1 ·0 + C0 , откуда C0 = x0

dx ‗
dt
Подставляя числовые значения, находим коэффициенты
C 0 = 0,04 м; C 1 = 0,04 м/с;
Для определения коэффициента C2 используем данные для момента
времени t2, подставляя их в уравнение (1):
при t 2 = 4 с; x 2 = 1,75 м;
x 2 = C2· t2² + C1 · t2 + C0 ;
откуда

Подставляя числовые значения, получаем:

Таким образом, уравнение движения груза 1:
x = 0,1 t2² + 0,04 t2 + 0,04 (4)
Скорость груза 1:
V = 2 · 0,1 t + 0,04 (5)
Касательное ускорение груза 1

Значение координаты, скорости и ускорения груза 1 в заданный момент
времени t = t1 = 3(с) найдем, подставив это время в уравнение (4), (5), (6).
x 1 =0,1 t1² + 0,04 t1 + 0,04
V1 = 0,2 t1 + 0,04
a 1τ = 0,2 = const
Подставляя числовые значения, находим
x 1 =0,1 · 3 ² + 0,04 · 3 + 0,04 = 1,06 м
V1 = 0,2 · 3 + 0,04 = 0,64 м/с
a 1τ = 0,2 = const = 0,2 м/с ²
Направления показаны на рисунке 2. Векторы скорости и ускорения направлены по оси Ох, (V1 и a1 отрицательны).
Так как нить нерастяжимая, то
V E = V1 = 0,64 м/с
a Eτ = а1 = 0,2 м/с ²
Из кинематики вращения тела 2 вокруг неподвижной оси O2z2:
угловая скорость

где EO2 – кратчайшее расстояние от точки до оси вращения;

Направление угловой скорости ω2 соответствует направлению вектора
скорости в т. Е, т.е. по ходу часовой стрелки (рис.2);
Угловое ускорение:

Направление углового ускорения ε 2 соответствует направлению вектора
касательного ускорения a Eτ (по ходу часовой стрелки) (рис.2);
Модуль скорости точки K
VK = ω2 · KO2
где КО2 - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения O 2 z 2 .
VK = ω2 · r2 = 1,28 · 0,36 ≈ 0,46 м/с
Направлен вектор скорости VK перпендикулярно к кратчайшему расстоянию KО2 и соответствует направлению угловой скорости ω2 (рис.2).
Касательное ускорение точки K
a Kτ = ε 2 · KO2 = ε 2 · r2
a Kτ = 0,4 · 0,36 ≈ 0,14 м/с²
Направлен вектор касательного ускорения точки К перпендикулярно кратчайшему расстоянию от точки К до оси вращения, т. е. a Kτ _|_КО2 и соответствует направлению углового ускорения ε 2.
Так как отсутствует проскальзывание одного тела по поверхности другого, то
Скорость точки М:
VM = VK ≈ 0,46 м/с
Касательное ускорение точки М:
a Mτ = a Kτ ≈ 0,14 м/с²
Направления векторов VM и a Mτ показаны на рис.2.
Из кинематики вращения тела 3 вокруг неподвижной оси вращения O3z3:
у
VM ,
MO3
гловая скорость

где MO3 - кратчайшее расстояние от точки M до оси вращения O3z3.

Направлена угловая скорость против часовой стрелки и соответствует
направлению вектора скорости VM (рис. 2)
Угловое ускорение

Направление углового ускорения ε 3 соответствует направлению вектора
касательного ускорения a Mτ (против часовой стрелки) (рис.2).

Нормальное ускорение точки М:
aMn = ω3² · MO3
aMn = ω3² · R3 = 1,53²· 0,3 ≈ 0,7 м/с²
Направлен вектор нормального ускорения по радиусу MО3 в сторону оси
вращения (рис.2).
Полное ускорение точки ^ есть векторная сумма двух ускорений
aM = aMn + aMτ
Е


a M = √ (aMn)² + (aMτ)²; a M = √ 0,7 ² + 0,14 ² ≈ 0,71 м/с ²
Направление вектора aM показано на расчетной схеме (рис.2) диагональю прямоугольника, построенного на векторах нормального и касательного ускорения как на сторонах.
Так как вектор ускорения a1 и вектор скорости V1 груза 1 направлены в одну сторону и при этом ускорение есть величина постоянная, то груз 1, тела 2 и 3, а вместе с ними и точка М совершают равноускоренное движение.
ОТВЕТ. VM ≈ 0,46 м/с
a M ≈ 0,71 м/с ²
V1 м/с | a 1 м/с ² | ω2 рад/с | ε 2 рад/с ² | ω3 рад/с | ε 3 рад/с ² |
0,64 | 0,2 | 1,28 | 0,4 | 1,53 | 0,46 |
Скачать файл (169 kb.)