Лекции - Математический анализ. 1 курс
скачать (431.7 kb.)
Доступные файлы (1):
| матан.все теория.doc | 1182kb. | 31.10.2009 10:42 |  скачать |
содержание
- Смотрите также:
- Математический анализ (1-й семестр) [ лекция ]
- Математический анализ [ лекция ]
- по FOREX от Profinance Service [ лекция ]
- введение в математический анализ [ лекция ]
- Билеты и ответы. Математический анализ(теория). 2-ой семестр [ документ ]
- по матану [ лекция ]
- по уравнениям эллиптического типа [ лекция ]
- по методам нелинейной динамики [ лекция ]
- Лекции. Введение в математический анализ [ документ ]
- Сведение двойного интеграла к повторному 2 [ документ ]
- Математика в России до середины 19 века [ документ ]
- С., Шварцбурд С. И. Вариация [ документ ]
матан.все теория.doc
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ( 2 СЕМЕСТР )1. Неопределенный интеграл, первообразная функции.
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица основных интегралов.
4. Интегрирование методом замены переменной.
5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен.
6. Метод интегрирования по частям.
7. Интегрирование рациональных дробей.
8. Разложение дроби на простейшие.
9. Интегралы от тригонометрических функций.
10. Интегрирование иррациональных функций.
11. Тригонометрические подстановки для иррациональных функций.
12. Интегрирование дифференциального бинома.
13. Интегралы, не берущиеся в конечном виде.
14. Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла.
15. Формула Ньютона-Лейбница.
16. Основные свойства определенного интеграла.
17. Теорема о среднем значении.
18. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
19. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.
20. Приложения определенного интеграла. Вычисление объемов тел вращения.
21. Приложения определенного интеграла. Вычисление длины дуги плоской кривой.
22. Приложения определенного интеграла. Вычисление площади поверхности тела вращения.
23.Оценка определенных интегралов.
24. Несобственные интегралы 1-го рада.
25. Эталонный интеграл 1-го рода.
26. Несобственные интегралы 2-го рада.
27. Эталонный интеграл 2-го рода.
28. Сравнение несобственных интегралов.
29. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Графики. Примеры.
30. Линии и поверхности уровня.
31. Предел функции нескольких переменных.
32. Частные производные. Полный дифференциал.
33. Производная по направлению.
34. Градиент.
35. Производные и дифференциалы высших порядков.
36. Экстремум функции нескольких переменных.
37. Наибольшее и наименьшее значении ФНП
38. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
39. Интегрирование функций нескольких переменных. Двойные интегралы.
40. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному.
41. Вычисление двойного интеграла (прямоугольная и произвольная области).
42. Замена переменной в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.
43. Приложения двойного интеграла. Объем тела. Площадь плоской фигуры.
44. Понятие комплексного числа.
45. Арифметические операции над комплексными числами.
46. Комплексная плоскость. Функция комплексного переменного.
47. Тригонометрическая форма комплексного числа.
48. Извлечение корней из комплексного числа.
1. Неопределенный интеграл, первообразная функции.
Понятие неопределенного интеграла.
Рассмотрим такую задачу: Пусть задано ускорение, как функция от времени
. Требуется найти скорость и пройденный путь в зависимости от времени.Определение1. Функция
на заданном промежутке называется первообразной для функции 
, если во всем промежутке является производной для , т.е. есть дифференциал функции .
Разыскание для функции всех её первообразных, называемое интегрированием, составляет одну из задач интегрального исчисления.
Определение2. Если существует первообразная для функции
на промежутке 
, то множество первообразных на называется неопределенным интегралом от и обозначается 
.Теорема 1.
Если
первообразная для на промежутке 
, то выражение 
(где 
) дает множество всех первообразных для функции на промежутке . Отсюда следует, что 
^
Непосредственно из определения интеграла вытекает следующие свойства:
Свойство1.
Свойство2.
Свойство3. При существовании конечной производной справедливо следующее:
Свойство4.
Пусть
Пусть при
Известно, что производная функции
дает угловой коэффициент касательной к соответствующему графику. Поэтому задача разыскания первообразной для можно истолковать так: требуется найти кривую , для которой имел бы место заданный закон изменения углового коэффициента касательной 
.3. Таблица основных интегралов.
Всякая формула для вычисления производной
автоматически выводит формулу для вычисления первообразной. Поэтому из таблицы производных перейдем к таблице первообразных.1)
2)
Отдельно рассмотрим случай, когда
. Так как 
Более того эта формула справедлива и для
3)
4)
5)
6)
^
Замена переменной в неопределенном интеграле (н.и.)
Теорема 1 (первый вариант замены переменной)
Пусть надо вычислить н.и.
. Если функция 
дифференцируема на и 
интеграл 
на промежутке 
, тогда (1) 
на .Формулу (1) часто записывают в виде:
(1)’После вычисления интеграла справа, вместо t подставим
.Формулы (1) и (1)’ получаются, если бы мы ввели вместо
переменную t, 
.
Пример:
1)
2)
3)
Теорема 2 (второй вариант замены переменной)
Пусть надо вычислить интеграл
. Если некоторая функция дифференцируема на и 
на 
, то (2) 
В формуле (2) мы формально вводим новую функцию
.
^
I. Рассмотрим интеграл
. Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов.
где обозначено
.Знак плюс или минус берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева положительным или отрицательным, т. е. будут ли корни трехчлена
действительными или комплексными. Таким образом, интеграл 
принимает вид
Сделаем замену
, dx=dt тогда получим
Если в последней формуле получается плюс, то
1°) вычисляется по формуле
, который мы с Вами вывели. Т. е. получаем
2°) Если в формуле получаем (-), то
вычисляется по следующей формуле
, (20º)которую, мы обоснуем позже. Тогда в нашем случае:
=
.^
Интегрирование по частям.
Всякое подынтегральное выражение можно различными способами представить в виде
, где 
- функции переменной интегрирования
Интегрирование по частям называется сведение данного интеграла к интегралу
с помощью определения формулы.Теорема
Пусть функции
дифференцируемы на и 
, тогда (3)
.Пример:
1)
^
Рассмотрим рациональную дробь вида
. Простейшие рациональные дроби делятся на 4 вида:1.
2.
3.
4.
Рассмотрим правила интегрирования каждого типа этих дробей.
1.
2.
3.
^
Покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей.
Пусть дана правильная рациональная дробь
.
Причём последовательное применение данной теоремы ко второму слагаемому данной теоремы приводит:
(2-134)
Где
многочлен, степень которого ниже степени знаменателя. И аналогично формуле (2-134) можно получить:
. 9. Интегралы от тригонометрических функций.
^
.Покажем, что этот интеграл может быть вычислен с помощью, так называемой, тригонометрической подстановки
. (2-139)Выразим sin x и cos x через
а, следовательно, и через t
.Точно также и cosx
.Если мы берем подстановку
Тогда x=2arctg t, dx = 
.Таким образом, sin x, cos x, dx могут быть выражены через t т.е. получаем
.^
не от всякой иррациональной функции интеграл выражается в элементарных функциях. Рассмотрим как раз те примеры, которые это допускают.
1) Рассмотрим интеграл
.Пусть k - общий знаменатель дробей
Сделаем подстановку: 
,
. (2-137)Тогда каждая дробная степень x выражается через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.
^
данной секции мы рассмотрим вычисление интегралов вида
, где ^ - рациональная функция x и квадратного корня 
. Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:
Выполнив замену
, мы получим один из следующих 3 интегралов в зависимости от значений коэффициэнтов a, b и с: Каждый из этих трех интегралов вычисляется с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок.
1. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
2. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
3. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
^
Выражение вида,
где m, n, p, a, b - постоянные числа, называемые дифференциальным биномом.Интеграл
может быть выражен через элементарные функции в следующих случаях: 1) p - есть целое число,
2)
- целое число,3)
- целое число,Доказательство:
преобразуем данный интеграл с помощью подстановки
, dx =
, (2-138)тогда
=где
.Пусть p целое число. Тогда g - есть рациональное число и его можно обозначить через
. И тогда интеграл примет вид 
. Этот интеграл берется подстановкой 
.. Пусть
целое число. Тогда тоже целое число и интеграл решается подстановкой 
где u есть знаменатель рационального числа 
, .. Пусть
целое число, тогда 
тоже есть целое число.Тогда
его берут с помощью подстановки 
где e -есть знаменатель числа 
.^
Мы уже отмечали, что не всякая подынтегральная функция имеет первообразную, которая может быть выражена в элементарных функциях.
К таким интегралам можно отнести:
, и многие другие.Так, например, та из первообразных
которая обращается в нуль при x=0, называется функцией Гаусса и обозначается Ф(x). Таким образом, 
, если .Эта функция хорошо изучена. Составлены подробные таблицы ее значений при различных значениях. Графически это можно представить
Рис. 2. 38.
Некоторые другие, так называемые неберущиеся интегралы, мы рассмотрим позднее.
^
Задача 1. Дана криволинейная трапеция, ограниченная прямыми
и 
на 
.
Рассечем отрезок
на части точками 
. В каждом из полученных частичных промежутков фиксируем точку 
.Т.к.
непрерывна, а частичные промежутки малы, то можем считать, что функция мало меняется на каждом промежутке 
площадь 
-го столбика 
.Суммируя площади таких частичных промежутков 
.Переходя к пределу при максимальном из длин промежутков максималное
, получим точное значение для площади трапеции 
(1).Пусть на промежутке
задана функция .Определение 1 Разбиением промежутка
будем называть любой набор точек 
.Определение 2 Если в каждом из частичных промежутков выбрана точка
, то говорят, что задано разбиение с фиксированными точками.Возьмем некоторое разбиение
промежутка и составим сумму 
.Определение 3 Конечный предел
называется определенным интегралом от функции по промежутку . Обозначается он 
, где - подынтегральная функция, 
- нижний и верхний пределы интегрирования.Итак, непосредственно по определению,
(3)^
Формула Ньютона-Лейбница
Определенный интеграл есть, как мы уже знаем, сумма большего числа бесконечно малых слагаемых, характеризующих элементарные площадки, под заданной функцией f(x).
Но вычислять его на практике, согласно, указанного определения, довольно сложно. Таким путем он не вычисляется. Для вычисления определенных интегралов, т. е. для определения площадей криволинейных фигур существует формула, являющаяся основной в интегральном исчислении и называется формулой Ньютона-Лейбница:
. (2-144)Здесь f(x) - непрерывная на отрезке [a,b] функция; F(x)-любая ее первообразная, т. е. такая функция, что
.Формула Ньютона - Лейбница свидетельствует, что значение определенного интеграла
связано со значением неопределенного интеграла 
Это связь совершенно неожиданна, т. к. по своему определению, и по своему смыслу определенный и неопределенный интеграл это совершенно разные вещи.Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница докажем первоначально лемму:
Доказательство.
Дадим некоторой, выбранной на отрезке [a,b], точке x приращение так, чтобы и
. Тогда получаем 
это, согласно свойства определенного интеграла. Отсюда следует:
.Интеграл
по теореме о среднем, равен
где 
.Таким образом
, откуда 
^
1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Итак если A - cоnst, то
2) Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых.
Доказательство:
тоже самое, исходя из положения, что предел суммы равен сумме приделов .
3) Если на отрезке [a,b], где a<b и функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию
, то 
.Рис. 2. 43.
Доказательство:
Пусть a<b, и m,M - есть наименьшееи наибольшее значение функции на рассматриваемом интервале. Тогда нам известно
;
;
;а также ранее мы записывали, что
или 
, или 
, или 
обозначив 
, имеем 
.Но т.к. f(x) непрерывна на [a,b], следовательно, для
находящимся внутри рассматриваемого отрезка, можно найти 
которое и, следовательно,
.5) Для любых чисел a, b, c справедливо равенство
. Это почти очевидно. Суммарная площадь равна сумме двух этих площадей.
Рис. 2. 44.
^
У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Коши.
Теорема Коши́ о среднем значении.
-
Пусть даны две функции
и 
такие, что:
и определены и непрерывны на отрезке 
;
производные
и 
конечны на интервале 
;
производныеи не обращаются в нуль одновременно на интервале
;
тогда
, где 
Геометрически это можно переформулировать так: если f и g задают законы движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр t), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами a и b, найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от (f(a);g(a)) до (f(b);g(b)).
Скачать файл (431.7 kb.)