Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекция - Вектор-функция скалярного аргумента - файл Вектор-функция.doc


Лекция - Вектор-функция скалярного аргумента
скачать (211.4 kb.)

Доступные файлы (1):

Вектор-функция.doc706kb.11.06.2009 23:39скачать

содержание
Загрузка...

Вектор-функция.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...

1. Вектор-функция скалярного аргумента

Вектор-функция скалярного аргумента, годограф вектор функции


Определение. Если каждому значению параметра из некоторого промежутка отвечает определенный вектор (зависящий от ), то вектор называется векторной функцией (кратко вектор-функция) от скалярного аргумента и в этом случае пишут:

. (1.1)

При изменении аргумента вектор изменяется как по величине, так и по направлению. В дальнейшем будем предполагать, что изменяется в промежутке, конечном или бесконечном.

Будем считать, что вектор исходит из начала координат, т.е. − радиус-вектор некоторой точки . В этом случае при изменении параметра конец вектора опишет линию , называемую годографом векторной функции . При этом начало координат называют полюсом годографа. Уравнение (1.1) называют векторным уравнением кривой (рис. 1.1).

Если у вектора меняется только модуль, то годографом его будет луч, исходящий из полюса. Если модуль вектора постоянен и меняется только его направление, то годограф есть линия, лежащая на сфере с центром в полюсе и радиусом, равным модулю вектора .



Рис. 1.1

Если через обозначить проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат в пространстве, то эти величины для каждого значения параметра в свою очередь принимают определенные числовые значения и поэтому являются скалярными функциями скалярного аргумента :

, , . (1.2)

И тогда

. (1.3)

Таким образом, задание векторной функции скалярного аргумента равносильно заданию трех скалярных функций того же аргумента. Т.к. уравнение (1.1) является уравнением некоторой кривой в пространстве, то ту же кривую задают уравнения (1.2). Уравнения (1.2) − обычные параметрические уравнения кривой в пространстве.

Пример. Рассмотрим кривую, заданную параметрически с помощью уравнений

, , .

Эта кривая называется винтовой линией. Ее векторное уравнение

.

При любом значении параметра . Это означает, что винтовая линия расположена на цилиндре . Отсюда следует, что, когда точка движется по винтовой линии, ее проекция на плоскости перемещается по окружности радиуса и с центром в начале координат, причем является полярным углом точки . Когда точка описывает полную окружность, аппликата точки винтовой линии увеличивается на . Эта величина называется шагом винтовой линии.
^

Предел, непрерывность, производная вектор-функции


Пусть вектор-функция определена в окрестности точки , кроме самой точки .

Вектор называется пределом векторной функции при (или в точке ), если

. (1.4)

Если есть предел функции при , то это записывается так

. (1.5)

Если записать векторную функцию и вектор в проекциях

,

,

то получим

. (1.6)

Тогда из равенства (1.4) следует, что

, , . (1.7)
Свойства вектор-функции:

1. Если , то .

2. .

3. , − скалярная функция.

4.

5. .

Вектор-функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если .

Из равносильности (1.4) и (1.7) следует, что для того чтобы вектор-функция была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции .

Введем понятие производной векторной функции

. (1.8)

Предполагаем, что начало вектора находится в начале системе координат (рис.1.2).


Рис. 1.2

Возьмем фиксированное значение параметра, соответствующее какой-либо точке определенной точке на кривой, заданной уравнением (1.8), и дадим параметру приращение . Тогда получим вектор:

,

который определяет некоторую точку . Найдем приращение вектора:

(1.9)

На рисунке, где , . Вектор приращения определяется вектором .

Рассмотрим отношение приращения вектор-функции к приращению скалярного аргумента; это есть вектор коллинеарный с вектором . При этом вектор в сторону, соответствующую возрастанию параметра .

Далее с учетом (1.9) вектор можно представить в виде

.(1.10)

Если функции имеют производные при выбранном значении параметра , то множители при в равенстве (1.10) в пределе при обратятся в производные .

Значит, .

Вектор, определяемый последним равенством, называется производной от вектора по скалярному аргументу . Ее обозначают или . Итак,

. (1.11)

Выясним направление вектора . Заметим, что при точка стремится к точке и поэтому секущая стремится к касательной в точке . Отсюда, производная является вектором, касательным к годографу вектор-функции , направленным в сторону, соответствующую возрастанию параметра .

Из (1.11) следует, что

. (1.12)

Дифференциал длины дуги кривой равен

,

откуда

. (1.13)

Из (1.12) и (1.13) имеем

. (1.14)

Таким образом, модуль производной вектор-функции равен производной от длины годографа по аргументу .

Правила дифференцирования вектор-функции:

  1. Если - постоянный вектор, то .



  2. , где -скалярная функция.

  3. , скалярное произведение.

  4. , векторное произведение.

Последовательным дифференцированием можно найти производные высших порядков

и т.д.
^

Касательная. Нормаль к плоской кривой


Пусть в ДСК задана гладкая кривая, определяемая вектором , . Будем считать, что отсчет дуги выбран так, что ее длина возрастает вместе с возрастанием параметра . Положим и .

Вектор имеет направление касательной к кривой в точке и поэтому произвольная точка касательной определяется вектором

, (1.15)

где − произвольное число (текущий параметр касательной) (рис. 1.3).

Равенство (1.15) − уравнение касательной к кривой в точке в векторной форме.

Из (1.15) следует, что уравнения касательной в декартовой системе координат имеют вид:

, ,

или

. (1.16)



Рис. 1.3

Обозначим через углы, которые образует положительное направление касательной соответственно с положительными направлениями осей координат :

,

,

,

где обозначает, что в нужно подставить значение соответствующее . Перед корнем стоит знак плюс, т.к. мы согласились, что длина дуги возрастает вместе с . − строго возрастающая функция, отображающая интервал изменения на некоторый интервал изменения .

Кривую, заданную в плоскости , можно рассматривать как частный случай кривой в пространстве, у которой . Поэтому соотношениям (1.16) в данном случае соответствует одно уравнение

.

Положительное направление касательной образует с осью угол , для которого

, .

В плоском случае можно определить понятие нормали в точке кривой, т.е. прямой, принадлежащей рассматриваемой плоскости и проходящей через точку перпендикулярно к касательной. Направление вектора нормали задается таким образом, чтобы вектор касательной

и вектор нормали образовали систему направленную так же как и система координат (рис 1.4,1.5).



Рис. 1.4 Рис. 1.5

Для пространственной кривой вводится понятие нормальной плоскости − плоскость, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Так как плоскость перпендикулярна касательной, то направляющий вектор последней будет являться нормальным вектором плоскости. Поэтому уравнение касательной плоскости будет иметь вид:

. (1.17)
^

Кривизна, радиус кривизны, кручение кривой


Кривизной окружности радиуса называется число . Это число можно получить как отношение угла между касательными в концах какой-либо дуги окружности к длине этой дуги.

Последнее утверждение дает возможность определения кривизны для произвольной гладкой кривой.

Рассмотрим гладкую кривую . Угол называется углом смежности дуги . Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Кривизной кривой в ее точке называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности дуги кривой к ее длине , когда последняя стремится к нулю

. (1.18)

Таким образом . По определению, величина называется радиусом кривизны в точке .

Угол смежности дуги равен углу между векторами и . Из векторной алгебры известно, что

. (1.19)

Знаменатель в выражении (1.19) не равен нулю. Поэтому при знаменатель стремится к , а числитель стремится к нулю.

Будем теперь предполагать, что радиус−вектор кривой имеет вторую производную , и при этом условии докажем существование конечной кривизны в точке .

В силу (1.18), (1.19) кривизна в точке равна

, (1.20)

. (1.21)

Кручением кривой называется величина равная

. (1.22)
^

Соприкасающаяся плоскость. Естественный трехгранник Френе


Соприкасающейся плоскостью к кривой в ее точке называется предельное положение касательной.

Если кривая имеет непрерывную производную в окрестности точки и вторую производную такую, что , то соприкасающаяся плоскость к этой кривой в точке существует и имеет уравнение

, (1.22)

где радиус−вектор текущей точки плоскости.

Из точки кривой можно выпустить три единичных вектора , определяющих естественную прямоугольную систему координат в окрестности точки :

, , , (1.23)

где , , .

Здесь − единичный вектор касательной, направление зависит от от параметра ;

− единичный вектор главной нормали, направлен в сторону вогнутости кривой;

− единичный вектор бинормали, определяется как перпендикуляр к векторам и , и направлен так, что вектора образуют правую тройку векторов.

Приложенные к движущейся по кривой точке векторы образуют естественный трехгранник Френе.
ПРАКТИКУМ

Вектор-функция


Пример. Дан радиус-вектор движущийся в пространстве точки ( - время, и - постоянные). Найти годографы скорости и ускорения.

Скорость движущейся точки вычисляется по формуле

Чтобы построить годограф положим, что

, это параметрическое задание винтовой линии, т.е. годограф − винтовая линия.

Найдем годограф ускорения

.

Следовательно, годограф линия заданная параметрически следующим образом , это параметрические задание окружности, т.е. годограф ускорения - окружность.

Пример. Дано . Найти производные

а) ; б) ; в)

а) Используем правило дифференцирования скалярного произведения

, т.к. , следовательно .

б) Аналогично примеру а) получаем



в) Используем правило дифференцирования векторного произведения

, тогда

т.к.

Пример. Найти радиус кривизны линии при .

Кривизна линии заданной векторно-параметрическим уравнением , где параметр – произвольный, определяется по формуле

, где ,

,

.

Вычислим векторное произведение



.

. Тогда , и . Следовательно, радиус кривизны равен .

Пример. Написать уравнение соприкасающейся плоскости в точке =0 кривой .

Векторное уравнение соприкасающейся плоскости к кривой в точке имеет следующий вид:

.

Найдем частные производные первого и второго порядка , .

Вычислим векторное произведение найденных функций и посчитаем его значение при :

,

Так как вектор равен:, то уравнение соприкасающейся плоскости имеет вид:

или .

Пример. Найти кручение в любой точке кривой .

Кручение кривой заданной вектор функцией определяется по следующей формуле:

.

, ,

.



, тогда

.




Скачать файл (211.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации