Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Высшая математика часть 1. Задачи - файл 1.doc


Высшая математика часть 1. Задачи
скачать (346.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc347kb.15.12.2011 22:15скачать

содержание

1.doc

Часть 1 «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»

ЗАДАЧА №1

Индивидуальные условия:

А (3,-3,1)

В (6,-7,1)

С (7,0,0)

Д (5,-5,-1)



Для пирамиды АВСД найти:

1) Длина ребра АВ =?

Длина ребра АВ -это длина вектора . Найдём координаты этого вектора: АВ=

Теперь найдём длину вектора по формуле:
^ 2) Угол между рёбрами АВ и АС=?

Угол между рёбрами АВ и АС - это и есть угол между векторами и

Сначала найдём координаты вектора : =, тогда длина :

.

Теперь мы можем найти косинус угла между и : cos

cos =

= arcos 0

3)Уравнение высоты и медианы, опущенных из вершины ∆АВС на сторону АВ=?

а) Пусть высота ∆АВС из вершины С падает на т.К стороны АВ, найдём координаты этой т.К и составим уравнение СК АВ:

т.С имеет координаты {7;0;0} по условию, тогда :


Тогда т.К ={3; -3; 1} совпадает с т.А, поэтому уравнение высоты СК будет уравнением стороны СА.

2) Уравнение СК- высоты ∆АВС :








3х-4y-12z-21=0

б) Пусть медиана ∆ АВС из вершины С падает в какую т. Со, которая по свойству медиан будет иметь координаты: А{3; -3; 1}, В{6; -7; 1}



Найдём уравнение медианы ССо :


^ 4) Уравнение плоскости АВС=?

Плоскость АВС проходит через три данные точки А, В и С. Мы можем воспользоваться формулой:




^ 5) Площадь грани АВС=?

Площадь грани АВС -это площадь треугольника, построенного на векторах и , которую определяем по формуле:

Из п.1 нам известно, что

^ 6) Угол между ребром АД и плоскостью АВС=?

Чтобы найти угол между ребром АД и (АВС) нужно провести т.А перпендикуляр на СВ, и угол между АД и ААо и будет углом между ребром АД и (АВС).

Сначала найдём координаты т. Ао:






Угол между АД и ААо- угол между векторами



Найти длины векторов :



7) Уравнение и длину высоты, опущенной из т.Д на грань(АВС)=?

Уравнение высоты, опущенной из т.Д на грань АВС – это уравнение прямой, проходящей через т.Д {5;-5;-1} перпендикулярно плоскости (АВС), заданной уравнением 4Х-3У+25z-46=0 (из п.4), т.е. параллельно её нормальному вектору , который можно взять в качестве направляющего вектора этой прямой.

Воспользуемся формулой: получим

Расстояние между т.Д и (АВС),т.е. длину высоты, опущенной из т.Д на грань АВС, найдём по формуле:


^ 8) Объём пирамиды АВСД=?

Согласно формуле, Vпир , объём пирамиды –это одна шестая объёма параллелепипеда, построенного на векторах ,т.е. одна шестая модуля их смешанного произведения.

Координаты этих векторов:




^ ЗАДАЧА №2

А) Определить вид кривой второго порядка (а, в, с, д):

Индивидуальные условия:

а)3х2+3у2+5x-у=0; б2+6у2-2у=6

с2-6у2-2у=6; д)y=-4х2+3x-1



3)












1). Графиком данной функции является парабола с ветвями направленными вниз, т.к. а=-4<0

Ось симметрии параболы


3). Вершина параболы т.О (х ; у):





Часть 2 «Элементы линейной алгебры»
Задача №1

Решить систему линейных уравнений:

а) Методом Гаусса:





x =1; y =0; z =-1;
б) с помощью формул Крамера:


1) ∆=
2) ∆x=
3) ∆y=
4) ∆z=


в) Записать систему в матричной форме и найти её решение с помощью обратной матрицы.

1) Для нахождения обратной матрицы в первую очередь докажем, что определитель данной матрицы не равен нулю (т.к. обратная матрица существует только для несобственной матрицы):
∆=
2)Найдём алгебраические дополнения для дальнейшего составления транспонированной матрицы:

Составим транспонированную матрицу У:
3) Для того, чтобы определить обратную матрицу, разделим все элементы матрицы У на определитель ∆:

4) Обозначим все неизвестные через матрицу

х: а свободные члены через матрицу В:
5) В = Ах | А-1

А-1 В = АА-1х

т.к. АА-1=Е (единичная матрица), то А-1В=х


Отсюда Х=1; У=0; Z=-1;

Задача № 2

Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора,

действующего в двумерном пространстве, если известна его матрица А в некотором базисе {е12}
Индивидуальные условия:

Составляем характеристическое уравнение:


или -15-5+3+2+7=0.

2-2-8=0.

Откуда собственные значения линейного оператора 1=4, 2=-2

Находим собственный вектор х(1)=(х1, х2), соответствующий собственному значению 1= 4. Для этого решаем матричное уравнение



(из системы
Предположим х1=С, тогда получим, что векторы х(1) = (С; ) при любом являются собственными векторами линейного оператора А с собственным значением 1= 4.

Аналогично можно убедиться в том, что 2 = -2, х2 = -1х1 (из системы



при любом являются собственными векторами линейного оператора А с собственным значением 2 = -2.


Скачать файл (346.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации