Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Шпоры по технологии и методике обучения математики - файл 1, 2, 3, 4.docx


Шпоры по технологии и методике обучения математики
скачать (358 kb.)

Доступные файлы (6):

1, 2, 3, 4.docx58kb.14.06.2010 15:16скачать
13, 14, 15, 16.docx70kb.14.06.2010 15:37скачать
17, 18, 19, 20.docx123kb.14.06.2010 15:02скачать
21, 22, 23, 24.docx42kb.14.06.2010 15:15скачать
5, 6, 7, 8.docx62kb.14.06.2010 15:28скачать
9, 10, 11, 12.docx33kb.14.06.2010 14:59скачать

содержание

1, 2, 3, 4.docx

42.43. Методика изучения объемов тел в шк. курсе геом.

Теория измерения трудна для школы, поэтому из-т элементарную теорию объёмов (но не отходя от научного). Выводы теорем осуществляются в разных уч-х по-разному. Уч. Киселёва:

У него все теоремы док-ся элементарными ср-ми, а мелким шрифтом теоремы доказаны с пом. принципа Кавальери. Уч. Барыгина: формулы доказывались с пом. формулы Симпсона (англ. мат-к). Уч. Скопица: широко применялся интеграл. Уч. Погорелова: исп. синтез, с пом. интеграла: шар и его части. Уч. Атанасяна: интеграла больше, это пирамида, призма, конус и шар. Уч. Смирновых: принцип Кавальери.

Берём два геометрических тела: Ф1, Ф2. Эти оба тела помещают между двумя параллельными плоскостями: α и β. Верхнее основание принадлежит верхней плоскости, нижнее - нижней. Рассекаем тела плоскостью γ║α, γ║ β. Пересечение плоскости и тела определяют фигуру, кот. наз-т сечениями: F1, F2. Если S(F1) = S(F2) → объёмы этих тел равны: V(Ф1) = V(Ф2). Наглядное его обоснование Смирновы дают в уч-ке - представл. два тела из прозрачного материала, разделены на слои (цилиндры) и их V равны → объёмы тел б. равны. Ф1 - та фигура, V кот. м. вычислить по формуле, Ф2 - не знаем V. Проблема: как найти V Ф2.

^ Формула Симпсона: Здесь берём одно тело. Помещаем тело нижней гранью на плоскость α. Пересекаем тело плоскостью β║α. Обозначим расстояние от плоскости α до секущей плоскости через х, тогда площадь сечения б. ф-й. это расстояние от плоскости α; если она изменяется по квадратичному закону, т.е. ах2 + вх + с, то V = 1/6 H * (Sниж + 4Sсред + Sверх), H - высота.

Этапы: 1. пропедевтический (5-6 класс)

2. систематический (11 класс).

1. 1-е представление на уровне наглядно - интуитивного (физического смысла) как числа кубиков с ребром, равным 1-цы длины (а затем и её долями). V- часть пр-ва, кот. занимает тело. Слова - синонимы: вместительность, содержимое (кол - во воды в ведре, в бассейне, кол - во воздуха в комнате. Даются два св-ва объёма: равные фигуры имеют равные объёмы; V(Ф1) + V(Ф2) = V(Ф), если Ф = Ф1 + Ф2.

Единицы: см3 , м3. Важно знать перевод, иметь представление о кубической единицы. В школе есть модель кубика. Определение: что такое см3: это объём куба с ребром 1 см. Процедура измерения объёма: выбираем единичный кубик, укладываем его в этом теле, подсчитываем число этих кубиков (м. приближенное зн-е, либо точное зн-е по формуле). В качестве первой формулы для установления формулы выбирается прямоугольный параллелепипед и выясняется формула: V = авс. Даётся правило: длину умножаем на ширину и на высоту. Выводят индуктивно: игра кубики - а) высыпаем все кубики и пересчитываем; б) м. пересчитать по другому: сколько кубиков укладывается по площади основания и надо посчитать кол - во слоев; в) измеряем линейкой длину, ширину и высоту. Аналогия с площадями. Число, выраж. объём, зависит от единицы измерения. Аналогичная терминология с физикой: физики говорят об измерении объёма, а мат-ки о вычислении. Очень много упражнений. 5-6 класс и в алгебре основной школы даются готовые формулы.

^ 2. по Погорелову: что такое объём? Сначала эта уч. задача решается для простых тел, т.е. упрощается. Тело наз-ся простым, если его м. разбить на конечное число тетраэдров. К этим простым телам отн-ся выпуклые многогранники: призма, пирамида. Аксиоматическое определение, 4 аксиомы; каждому телу ставим в соответствие объём: F→V(F).

1. это положительное число 2. V(F1) = V(F2), если F1=F2.

3. F1 + F2 = F, то V(F1) + V(F2) = V(F).

4. V(E)=1, если Е=1.

5. монотонность.

Ставится задача о вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда. Формулу уч-ся знают: V = авс, на конкретных примерах м. ее обосновать, а, в, с принадлежат N. В 11-м классе она док-ся и формулируется в виде теоремы (дедуктивно выводятся).

1 подход к док-ву: традиционный, полной индукции; 1случай: а,в,с принадлежат R (десятичные дроби); 2случай: иррациональные а,в,с. Такое док-во было у Киселева и сохранено у Атанасяна. 2 подход: у Погорелова: аналогично с площадями: 1случай: лемма: объёмы 2-х прям. парал. с равными основаниями относятся как их высоты; 2 случай: через перемножение а*в*с.

№ по порядку

Измерения

а,в,с

Обозначение

V

Применение

леммы

1

1,1,1

1




2

а,1,1

V1

V1/1 = а/1

3

а,в,1

V2


V2/1 = в/1

4

а,в,с

V

V/V2 = с/1

ПеремV=авс.



40. Понятие площади фигуры, методика изучения площадей различных фигур.

Понятие площади - одно из важнейших в мат-ке и рассм в теории измерения величин (раздел «Метрическая геометрия»), кот. имеет прикладной характер. Идея измерения геометрических величин связана: 1. с идеей аксиоматического метода; 2. с теорией геометрического числа; 3. с методами мат. анализа.

Уч-ся знакомятся с рядом формул, с пом. которых расширяется возможность применения аналитического метода. Надо различать: 1. понятие площади фигуры; 2. вычисление площади фигуры. В школе строгой теории измерения величин не даётся, величина не определяется. Школьная программа ввиду прикладного характера (и в мат-ке, и в физике) темы, всегда предусматривала её серьёзное изучение. В современной программе ( в отличие от традиц.) ставится вопрос о вычислении площади криволинейной трапеции - алгебра и начала анализа. Важно вычленить три вопроса: 1. что такое площадь? 2. всякая ли фигура имеет площадь? 3. как её находить: практически, приближённо; с пом. формул, точное вычисление.

3 этапа в изучении этой темы: 1. пропедевтический, 5-6 кл. 2. систематический, геометрия, у Атанасяна - 8 кл., у Погорелова - 9кл. 3. с помощью интеграла, 10 кл.

2 подхода к изложению теории (к определению теорем): 1. конструктивный, покрытие фигуры масштабной сеткой, подсчёт квадратиков. 2. аксиоматический (в уч. Погорелова понятие площади определяется через систему аксиом).

^ Мотивировка изучения площадей фигур. Задачи измерения корнями уходят в глубокую древность. На уровне ученика 5 кл (в ряде учебников понятие площади даётся и в нач. шк.). 1-й этап: 5,6 кл.(пропедевтика). Дается интуитивно наглядное представление о площади как числе идентичных квадратов (иначе площадь - место, которое занимает фигура). Важно, чтобы уч-ся усвоили, что площадь есть число (положительное). Каждая фигура имеет площадь. Число это не зависит от выбора единицы измерения. Св-ва: 1. равные фигуры имеют равные площади; 2. если фигура составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур. Единица измерения: мм2, см2 , м2, дм2, ар (сотка), га. Наименование: в нач шк. - кв.см., а потом: см2. Это м. уже сделать, т.к. введено понятие степени. 1 см2 = 1см*1см. Переход от одной единицы к другой: 1 ар = 100 м2. Что из себя представляет эта единица? 1ар = 10м*10м. Это квадрат со стороной 100м.

Рисуем палетку ≈ значение.
3. с помощью формул. Формула выводится с уч., не док-во, а вывод.

а) подсчитаем число квадратиков, 28

б) 4*7 = 28

в) 4см*7см = 28 см2
4. без формул
Особо стоит вопрос о площади круга. Надо учеников подвести.

2R2<Sкр<4R2

Находи ср. арифм.

(2R2 + 4R2)/ 2 = 3R2

S≈3R2, S=πR2.

Атанасян - 8 класс, Погорелов - 9 класс. Погорелов различает многоугольник (контур) и плоский многоугольник - с внутренней областью. Речь пойдет о плоском многоугольнике.

S - ?

Ставится задача об опр-и площади, а не вычислении.

Каждой фигуре F соответствует S(F) !

F→S(F)

1. Площадью наз число: S(F)≥0, св-во положительности

2. Равные фигуры имеют равные площади: F1 = F2 → S(F1) = S(F2), св-во инвариантности.

3. Если фигура сост. из фигур: F = F1 + F2 + F3, так что их пересечение



^ 32. Методика изучения перп-ти прямых и пл-й в пр-ве.

Всю тему условно можно разделить на 3 части:

  1. ┴ прямых в пространстве

  2. ┴прямой и плоскости

  3. ┴плоскостей

План: 1. Возм-ть распол-я (модели). 2. Опред-е (рассм. признаки, с пом. кот-х опред-м перпенд-на прямая пл-ти или нет) - без док-ва.

Уч-к Скопица – векторный метод. 3. Признаки, 4. Св-ва, 5. Реш-е задач.

1)Этот этап рассматривается как повторение пройденного ранее. Определение: две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900. иллюстрация на моделях многогранников и в окр. действительности. Важно подчеркнуть, что в пространстве взаимно перпендикулярные прямые могут не иметь общих точек. В учебнике Погорелова не вводится понятие ┴-ных скрещивающихся прямых.

Далее рассматривается признак: если 2 пересекающиеся прямые параллельны соответственно 2 ┴ прямым, то они тоже ┴.

2)Изучение целесообразно начать с рассмотрения случаев взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Встает вопрос: в каком случае прямая -ая плоскость будет ей ┴?

Определение: прямая, -ая плоскость,называется ┴-ой этой плоскости, если она ┴-на любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Судить о ┴ прямой и плоскости, пользуяс определением невозможно, так как прямых в плоскости бесконечно много(┴ ко всем не проверишь), поэтому пользуются признаком. Признак: если прямая ┴-на 2 -имся прямым, лежащим в плоскости, то она ┴-на данной плоскости.

Док-во этого признака в различных учебных пособиях различно: в большинстве, в том числе в учебнике Погорелова док-во проводится с помощью рассмотрения цепочки равных треугольников. Такой подход позволяет целенаправленно повторить большой раздел планиметрии.

В учебнике Атанасяна рассматривается ряд теорем(св-в)-

-если 1 из 2 параллельных ┴ к пл-ти, то и другая прямая ┴ к этой пл-ти.

-если 2 прямые ┴-ны к пл-ти, то они параллельны.

-через любую точку пространства проходит прямая ┴-ная к данной пл-ти при том только одна.

3)Раздел о ┴-ти плоскостей следует начать с повторения взаимного расположения 2 плоскостей. По аналогии с параллельностью прямых о ┴-ти 2 плоскостей судят по углу между ними. Поэтому встает проблема: что такое угол между плоскостями?

Атанасян вводит понятие двухгранного угла. Погорелов угол между плоскостями рассматривает как угол между прямыми, полученными при пересечении 2 плоскостей 3-ей плоскостью, ┴-ной линии их пересечения. Такой подход изучения ┴-ых пл-тей позволяет избежать введения понятия двухгранного угла. Признак: если 1 из 2 пл-тей проходит через прямую,┴-ную к др. пл-ти, то такие пл-ти ┴-ны. Следствие: плоскость,┴-ная к прямой, по которой -ся 2 данные пл-ти,┴-на к каждой из этих плоскостей.



^ 32. Методика изучения параллельности прямых и плоск-й в пр-ве.

Тему «-ть в прост-ве» м разделить на 3 части:

1)-ть прямых в пространстве, скрещив. прямые.

2)-ть прямой и плоскости

3)-ть плоскостей в простр-ве.

Изучение параллельности в пр-ве изучается в противопоставлении со скрещивающимися прямыми и тогда добавка, что прямые должны лежать в одной пл-ти будет ученикам понятна.

1) изложение первого пункта следует начать с беседы о том, сколько общих точек м. иметь две прямые: 2 прямые м. иметь бесчисленное множ-во точек, т.е. совпадать ; 2 прямые м. иметь только одну общую точку, т.е. пересекаться.

Взаимное расположение прямых в простр-ве:

а) прямые a и b имеют только одну общую точку : a и b пересекаются

б) все точки прямых a и b- общие; прямые совпадают.

в) прямые a и b не имеют общих точек ; a и b параллельны

г) прямые a и b не имеют общих точек: a и b – скрещивающиеся.

В случаях а)-в) a и b лежат в одной пл-ти, в случае г)- не лежат в одной пл-ти.

Теорема о парал-ти прямых: ч/з любую точку пр – ва, не лежущую на данной прямой, проходит прямая парал-я данной и притом только одна.

2) О -ти прямой и пл-ти следует начать с беседы о возможном числе общих точек у прямой и пл-ти..

Прямая и пл-ть не могут иметь только 2 общие точки, ибо в противном случае прямая будет лежать в этой пл-ти. Может ли прямая иметь с плоскостью только одну общую точку? Да.

Взаим. расположение прямой и пл-ти в пр-ве:

А) Б)
m

Б)

В) m


Пользуясь чертежами, уч-ся могут самост-но дать определ-е -ти прямой и плоскости. С помощью определения не всегда можно судить о том, что данные прямая и плоскость параллельны, поскольку прямая и плоскость безграничны.

Лемма о пересеч. пл-ти паралл. прямыми: Если одна из двух // пр-х пересек. данную пл-ть, то и др. прямая пересек. эту пл-ть.

Признак // прямой и пл-ти: если прямая, не лежащая в данной пл-ти // к.-либо прямой, лежащей в пл-ти, то она // данной пл-ти.

3) следует начать с разговора о возможном числе общих точек у 2-х плоскостей. Две разл. плоскости не могут иметь только одну общую точку. Две плоскости пересекаются по прямой.

Две плоскости могут совсем не иметь общих точек.

В ученике Погорелова (10 кл)тема -ть прямых и плоскостей начинается с -ти прямых в простр-ве, затем рассматривается признак -ти прямых ( две прямые параллельные третьей прямой параллельны). Потом признак -ти прямой и плоскости ( если прямая не принадлежащая плос-ти -на какой-нибудь прямой в этой пл-ти , то она -на и самой пл-ти, признак -ти 2-х плоскостей, свойства параллельных плоскостей.)

Признак // 2-х пл-й: Если 2 пересек-ся прямые одной пл-ти соотв-но парал-ны 2 пересек-ся прямым др. пл-ти, то эти пл-ти парал-ны.

Св-ва // пл-ей: 1. Если 2 // пл-ти пересек. третьей, то линии их пересеч-я //.

2. отрезки // прямых, заключенных м/у // пл-ми, равны.



(2) то ∅.

S(F) = S(F1) + S(F2) + S(F3), св-во аддитивности.

4. Площадь квадрата со стороной 1. S(1) = 1, св-во нормированности.

Погорелов вводит понятие простой фигуры и задачу вычисления делает для простой фигуры. Даёт определение фигуры, кот. наз. простой, такая, кот. допускает разбиение на треугольники диагоналями, выход. из одной точки. Какие фигуры яв-ся простыми? Все многоугольники - простые фигуры. Б. устанавливать формулы для различных видов многоугольников.

Прямоугольник: традиционно - рассм. метод полной индукции: 1. когда а и в - рац. числа. 2. когда а и в, или одно из них - иррац. Числа.

Зап - ся в виде бесконечных десятичных дробей. Проходит сложное док-во. Чтобы его упростить, Погорелов в посл. Изданиях переработал этот пункт в сторону упрощения. Доказывает лемму - вспомогательное утверждение: если мы имеем прямоугольник АВСД с высотой h1, если ещё пристроим на основании АД прямоугольник ВСС1В1, высота h2, то справедлива формула: S1/S2 = h1/h2. Док-во сложное.

Берем квадрат со стор-1 1, S=1. На стороне выстраиваем вспомомг-й прямойг-к, у кот-го длина =1, а высота а, на стороне а построим прямоуг-к со стор-ми а и в. Дважды взять пропорцию, перемножить и получится.

Параллелограмм. Метод равносоставленности.

Из этого параллелограмма нужно получить прямоугольник, площадь которого мы уже знаем. Отрезаем треугольник, приставляем с др. стороны S=а*h.

1. содержащие её; 2. содержащиеся в ней с площадями как угодно мало отличающимися от S.

Для вычисления площади круга исп-ся метод исчерпывания. При n→∞ пол-ся формула S=πR2. Погорелов не приемлет предельного перехода. Круговой сегмент и сектор. Рассм. их площади.

^ По Атанасяну: Параграф наз-ся «Площадь многоугольника». Сразу даёт понятие S многоугольника конструктивно. Описывает процедуру измерения. Даётся св-ва площадей, они аналогичны аксиомам Погорелова. Все показывает на примерах, не доказывает. Посл-ть изучения фигур та же самая. Проблема: площадь прямоугольника. Подходит иначе. Первая - лемма: S=a2 (у квадрата). Док-во леммы сложное. Второе дов-во на ссылку. Исп-ся формула сокращённого умножения из алгебры.

Александров: вводит понятие площади многоугольной фигуры, сост. из многоугольников. Рассм. 3 св-ва:

1. св-во положительности

2. S(F) = S(F1) + S(F2)

3. равные треугольники имеют одну и ту же S.

Посл-ть: прямоугольник, прямоугольный треугольник, произвольный треугольник, трапеция, параллелограмм.

Алгебра и начала анализа.

Площадь криволинейной трапеции.

^ Площади поверхности.

1. многогранники

2. тела вращения.

Vш = 4/3 πR2.

Sсф = 4πR2. (производная от Vш), по Колмогорову.




(1) После прямого параллелепипеда идёт наклонный параллелепипед: V=Sосн*h.

Док-во: данный парал. подвергаем 2-м преобр-м: отсекаем и дополняем. От накл. Парал. сначала перейдем к прямому, избавляемся от наклонности, а потом из прямого делаем прямоугольный. Придумал кто-то сделать это с помощью наглядной модели. Призма: сначала треугольная, а потом произвольная. Треугольная призма дополняется до параллелепипеда такой же треугольной призмой. Vпар. = 2Vпр. Произвольную разбивают на треугольные, её объём суммируется, V=Sосн*h. Пирамида: те преобразования, кот. мы делали в прямоугол. параллелепипеде: дополнения и отсечения не проходят с пирамидой. Нельзя заменить пирамиду равносоставленной с ней призмой. Т. Дэна Кадэна. Не все многогранники яв-ся равносоставленными. Однако формулу м. получит практически. Если куб Кюстера, кот. м. разбить на три равные пирамиды, тогда V=1/3 Vкуба = 1/3 Sосн*h. Как доказать? Док-во элементарными ср-ми сложное. Атанасян прибегает к интегралу, однако Погорелов считает, что надо элементарными ср-ми. Сначала вводится лемма: пирамиды с равными основаниями и высотами имеют равные объёмы. Т: V = 1/3 Sосн*h. Док-во простое. Дополняем данную пирамиду 2-мя ещё пирамидами с равными объемами до треугольной призмы, а призма треугольная уже известна. Произвольная пирамида. Разбиваем на тетраэдры. Усечённая пирамида: даётся через задачу. Замечание: Погорелов показывает, что объём не зависит от выбора основания тетраэдра и от способа разбиения простого тела на тетраэдры.

В начале изучался вопрос об объёме простого тела (разобьём на конечное число), тела вращения не яв-ся простыми телами - их нельзя разбить на конечное число тетраэдров. Даём общее определение объёма, аналогия с площадями, когда говорили о площади о окружности. Данное тело имеет объём, если существует: 1. содержащие его простые тела; 2. содержащиеся в нем простые тела с объёмами сколь угодно мало отличающимися от объёма. Это определение применим к цилиндру. Строим две прямые призмы: 1. содержит цилиндр; 2. сод-ся в цилиндре. Т.к. площади их оснований сколь угодно мало отл-ся от площади круга (основ. цилиндра), то их объём сколь угодно мало отл-ся от объёма призм. Конус: строим две пирамиды. Усечённый конус: на задаче.

^ Объём тела вращения: это понятие важно само по себе. Оно б. применено к шару, объём которого б. вычислять по интегралу. Уч-м сообщ-ся общая формула V тел вращения.

Сечение тела вращения плоскостью ХОУ:

в

V=∫πf2(π)dx. V = 4/3 πR3 - объём шара.

а

Выбираем декартовую с.к. с осями: х,у,z и помещаем туда шар. Договариваемся, как мы его поместим туда: центр шара д. совпадать с начало координат, R - радиус шара. Поверхность шара пересекаем плоскостью ХОУ. Получится окружность, вспоминаем с учениками ур-е окружности: х2 + у2 = R2

Пересекли поверхность шара, не весь шар, берем только верхнюю часть окружности. Как пол-ся шар? Надо взять полуокружность.

у=√R2 - x2, где -R≤x≤R.
-R R
У Атанасяна - через интеграл. Уч. Смирновых и Александрова: последовательность изучения другая: сначала тела вращения, а потом многогранники, причём в основе лежит общее определение цилиндра. Если ортогональная проекция, то получаем прямой цилиндр; если ║ - я проекция, то наклонный цилиндр. Если в основании круг, то б. круговой цилиндр. Призмы - частный случай цилиндра. Начинаем рассмотрение с прямого цилиндра, т.е. берётся ортогональная проекция, Sосн*h. 1. в основании - квадрат, сторона а=1, h. V=h. 2. в основании - фигура F с площадью S, h, V= S*h.

Следствие: 1. Vпрям.парал = авс;

2. Vпрям.приз = Sосн*h.

3. Vкр.ц = . πR2h.

4. Vнакл..ц = S*h (док-во принцип Кавальери).

а) Vнакл..призмы = S*h;

б) Vнакл..круг.ц. = πR2h.


Скачать файл (358 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации