Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по операционному исчислению - файл 1.doc


Лекции по операционному исчислению
скачать (780.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc781kb.16.11.2011 16:36скачать

содержание

1.doc






МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

___________________________________________

Казанский государственный

энергетический университет


Кафедра «Высшей математики»


ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ


Базовые конспекты лекций


Казань 2006

УДК 517.31

ББК 22.161.1


Элементы теории операционного исчисления. Казань: Каз. гос. энерг. ун-т, 2006.


Работа включает краткие теоретические сведения по теме «Операционное исчисление». Вводится преобразование Лапласа, доказываются теоремы подобия, смещения, запаздывания. Вычисляются изображения основных элементарных функций. Рассматриваются простые приемы отыскания оригинала по изображению и основные правила дифференцирования и интегрирования оригиналов и изображений.

Работа предназначена для первичного знакомства студентов с базовыми понятиями и основными моментами теории операционного исчисления.

Данный учебный материал по составу и объему соответствует программам технических специальностей университета по высшей математике. Он представлен в четкой, сжатой форме, даны исходные определения и доказательства основных теорем. Это опорные конспекты лекций, на основе которых преподаватели кафедры «Высшая математика» КГЭУ организуют свои лекционные курсы по данной теме.


Авторский коллектив: Арсланов Ф.Х. , Гарифьянов Ф.Н. , Гимадиев Р.Ш. , Григорян С.А., Желифонов М.П., Липачева Е.В., Никитин А.С., Хамзин А.А.


© Казанский государственный энергетический университет, 2006


^ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ


Преобразование Лапласа


Пусть функция f(t) обладает следующими свойствами: 10 f(t) 0 при t < 0 ; 20 | f(t)| < M при t > 0, где М > 0 , т.е. f(t) возрастает не быстрее некоторой экспоненты и s0показатель роста функции ; 30 На любом промежутке оси [a,b] выполняются условия Дирихле – функция кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов и точек разрыва I рода.

Такие функции наз. изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Запишем интеграл

= F(p) ( 1 )


где p = s + iq - комплексная переменная. При s и F(p) 0 . При указанных условиях он сходится и наз. интегралом Лапласа, а функция F(p) наз. изображением оригинала. Переход от f(t) к F(p) наз. преобразованием Лапласа и обозначается f(t) =: F(p) или F(p) =: f(t). Для значения f(t) в точке разрыва t0 выбирают f(t0) = ½ [f(t0 - 0) + f(t0 + 0)] . При этих условиях между f(t) и F(p) существует взаимно – однозначное соответствие.

Смысл преобразования – многим операциям над оригиналом соответствуют более простые операции над изображением. Например, решение дифференциальных и интегральных уравнений может существенно упроститься.


^ Нахождение изображений


Вычислим изображение единичной функции и экспоненты

Пр.1 (t) = , (t) =: = = ,

Re p > 0

Пр.2 = , =: = = ,

Re p > a = s0

Свойство линейности. Т.к. интеграл от суммы функций равен сумме интегра-лов, то линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбина-ция изображений.

С1 f1(t) + С2 f2(t) =: С1 F1(p) + С2 F2(p)


Из формулы Эйлера eit = cos t + i sin t имеем соs t = ½(eit + e-it) , sin t = ½i(eit - e-it) и для оригиналов этих функций вычислим изображения


Пр.3 f(t) = cos t = ½(eit + e-it) =: ½ [] =

Пр.4 f(t) = sin t = ½i(eit - e-it) =: 1/2i [] =

Пр.5 f(t) = t =:==+= = . f(t) = t2 =: = = + += = . Аналогично имеем t3 =:, t4 =:, . . . и получаем tn =: .


Теоремы подобия, смещения, запаздывания


Теорема подобия. Дополнительное умножение аргумента t в оригинале на число а R, a > 0 приводит в изображении к уменьшению в а раз параметра p и самого изображения,

f(аt) =: F() . ( 2 )

Доказательство.

f(аt) =: = = =

= = = F()

Пр.6 sin at =: = ; cos at =: =


Теорема смещения. Переход в изображении от p к (p + z), где z комплексное число, причем Re (p + z) > s0 , приводит к дополнительному умножению оригинала на экспоненту e-zt

F(p + z) =: e-zt f(t) ( 3 )

Доказательство.

e-zt f(t) =: = = F(p + z)

Пр.7 ezt sin at =: ; ezt cos at =:

Теорема запаздывания. Уменьшение параметра t в оригинале на величину > 0 приводит к дополнительному умножению изображения на экспоненту

f(t -) (t-) =: F(p) ( 4 )

Доказательство.

f(t -) =: = +

+

Первый интеграл равен 0, т.к. (t-) = 0 при t < .

f(t -) =: = =

= = F(p)

Пр.8 (t - ) =: и (ta)(t - а) =: с учетом Пр. 5 .


^ Поиск изображения по графику оригинала


Пр.9 По данному графику оригинала найти изображение.




Построим аналитическое выражение для данной функции,

на основе общего уравнения прямой, проходящей через

две точки (t1, y1) , (t2, y2) = ( 5 )

и свойств единичной функции (t - а) =


(t) (t) - (t - а)


Решение. Функцию на интервале [0 , a] описывает разность двух единичных функций (t) - (t - а) . Первую наклонную определим из ( 5 ) по точкам (2а, 0), (а, 1): y =- (t – 2a). Для перехода от бесконечной прямой к отрезку на интервале [a, 3a] умножим уравнение на разность(t) -(t -3а) Вторую наклонную определим из ( 5 ) по точкам (4а,0) , (3а,-1): y =(t – 4a), и умножим уравнение на (t - 3а). Сумма этих трех выражений определит аналитический вид функции

f(t) = (t) - (t - а) - (t – 2a) [(t - а) - (t - 3а)] + (t – 4a) [(t - 3а)]


Представим f(t) в виде суммы слагаемых двух типов (t - b) и (tb)(t - b)

f(t) =(t) -(t - а) -(ta)(t - а) +(t - а) +(t – 3a)(t - 3а) +(t - 3а)+

+ (t – 3a) (t - 3а) - (t - 3а) = (t) - (t – a)(t - а) + (t – 3a)(t - 3а)

С помощью соотношений Пр.8 совершим переход к искомому изображению

F(t) =: - + .


^ Таблица изображений




f(t) при t>0

F(p)



f(t) при t>0

F(p)

1

1



9

t cos at



2





10

t sin at



3

eat



11





4

cos at



12





5

sin at



13





6

ezt cos at



14





7

ezt sin at



15





8

eat



16







Отыскание оригинала по изображению


Если изображение является дробно-рациональной функцией F(p) = и m < n , то многочлен знаменателя представим в виде произ-ведения линейных множителей = . Корни многочлена pi могут быть действительными числами, комплексными числами и кратными. Комплексные корни входят сопряженными парами и приводят к трехчленам типа ( p2 + p + ). В результате F(p) представ-ляется в виде суммы элементарных дробей типа , (метод неопределенных коэффициентов). Комбинируя эти дроби, можно пытаться построить изображения основных элементарных функций и затем по таблице восстановить оригинал.

Пр. 10 Найти оригинал функции F(p) = .

= = + ½=: etcos 2t + ½ etsin 2t


Пр. 11 Найти оригинал функции F(p) = .

= = + = =

p2 | A + B = 0

p1 | 2A – 2B + C = 0 A = 1/12 , B = -1/12 , C = - 1/3

p0 | 4A – 2C = 1

= - = -

Из формул № 3, 6, 7 оригинал f(t) =e2t - e-t (cos t+ sin t) .


Если в F(p) только простые нули : = , то разложение изображения упрощается

F(p) = , где ( 6 )

Пр.12 Найти оригинал функции F(p) =

Вычисляем производную от знаменателя = [ p(p – 1)(p – 2)(p – 3) ]` =

= (p – 1)(p – 2)(p – 3) + p(p – 2)(p – 3) + p(p – 1)(p – 3) + p(p – 1)(p – 2),


находим её значения в нулевых точках v4`(0) = - 6 , v4`(1) = 2 , v4`(2) = - 2 , v4`(3) = 6 , определяем коэффициенты A0 = - 1/6 , A1 = 1, A2 = - 3/2, A3 = 2/3

и по формуле ( 6 ) расписываем разложение изображения на простые дроби

F(p) = =: + - + .

Если F(p) разлагается в сходящийся ряд

F(p) = + + + . . . + + . . . ,

то его оригинал находится по формуле

f(t) = + + + . . . + + . . .

Этот ряд сходится при всех значениях t .


Пр.13 Найти оригинал функции F(p) = .

Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии

== - + - . . . Этот ряд сходится при |p| > 1

По формуле № 2 получаем оригинал f(t) = - + - + . . .


Дифференцирование оригиналов и изображений


Теорема о дифференцировании оригинала Пусть оригинал f(t) и его производная f `(t) имеют одинаковый показатель роста s0 , тогда их изображения имеют простую алгебраическую связь


f `(t) =: p F(p) - f(0) ( 7 )

Доказательство.

f `(t) =: = ==

= [ f(t)e-pt |0b + p ] = p F(p) - f(0) + f(b) e-pb,

но последнее слагаемое обращается в 0 , т.к. Re p = s > s0 .


Пр.14 Найти изображение cos t с учетом равенства cos t = (sin t)`

cos t = (sin t)` =: p - sin 0 =

Вычислим изображение 2 производной оригинала по формуле ( 7 )


f ``(t) =: p[ pF(p) - f(0) ] - f `(0) = p2 F(p) – p f(0) – f `(0) ( 8 )


Переходя к производным высших порядков, получаем общую формулу


f(n)(t) =: pn F(p) - pn – 1f(0) - pn – 2f `(0) - . . . - f(n – 1)(0) , Re p > s0 ( 9 )

Теорема о дифференцировании изображения Дифференцирование изображения приводит к оригиналу, который отличается от исходного оригинала только общим множителем - t :

F`(p) =: - t f(t) ( 10 )


К ( 10 ) приводит дифференцирование по p левой и правой части равенства ( 1 ). Повторные дифференцирования дают формулу


. ( 11 )


Пр.15 Найти изображение для t sin at , t cos at , t eat .


Т.к. sin at умножается на t , то достаточно продифференцировать его изображение

t sin at =: - ()` = ( формула № 10)

t cos at =: - ()` = ( формула № 9)

t eat =: - ()` = ( формула № 8)


^ Интегрирование оригиналов и изображений


Теорема об интегрировании оригинала. Интегрирование оригинала приводит к делению изображения на параметр p

=: F(p) ( 12 )

Доказательство. Интеграл удовлетворяет всем 3 условиям, опреде-ляющим оригинал. Обозначим = Ф(p), тогда по формуле ( 7 ) имеем

()` = pФ(p) - = pФ(p) ,

но интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции и производная от него есть подынтегральная

функция, т.е. f(t) =: pФ(p) или Ф(p) =: F(p) .

Пр.16 Найти изображение для f(t) = tn .

Интеграл от единичной функции (t) дает t . Последующие интегри-рования приведут к функции tn /n! . При каждом интегрировании изображе-ние F(p) = умножится на

=: = ; = =: ;

= =: ; = =:

В результате получим формулу № 2 из таблицы tn =: .

Теорема об интегрировании изображения Интегрирование изображения от p до приводит к делению оригинала на переменную t

=: , ( 13 )

где F(z) аналитическая функция.


Свертка функций


Опр. Сверткой функций f1(t) и f2(t) наз. интеграл от произведения этих функций f1(t)*f2(t). Перестановка функций не меняет значения свертки.

Теорема о свертке Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений, т.е. если f1(t) =: F1(p), f2(t) =: F2(p) , то


f1(t)*f2(t) =: F1(p) F2(p) ( 14 )


Доказательство. Обе части формулы преобразований Лапласа F1(p) = умножим на F2(p) : F1(p)F2(p) = . По теореме запаздывания ( 4 ) =: f2(t - ) или = =, где t > . Тогда F1(p)F2(p) = = =: , т.к. при > t f2(t - ) = 0 по 10 свойству оригинала.

Пр.17 Найти оригинал изображения F(p) = .

Решение 1. Имеем произведение изображений двух функций t и eat . Поэтому оригинал равен свертке этих функций f(t) = t* eat = = t - = J1 - J2 ,

J1 = t = t - ; J2 = = =

= - = t - + . Ответ f(t) = - - .

Решение 2. Представим изображение в виде суммы простейших дробей : F(p) ==++, тогда Ap(pa) + B(pa) + Cp2 = 1

p2 | A + C = 0 A = - 1/a2

p1 | -aA + B = 0 B = -1/a По формулам № 1, 2, 3 получаем оригинал

p0 | - aB = 1 C = 1/a2 f(t) = - - +


^ Решение дифференциальных уравнений


Если дано линейное дифференциальное уравнение порядка n с постоян-ными коэффициентами

y(n) + a1y(n – 1) + . . . + a0y = (t) ( 15 )


где (t) является оригиналом (t) =: Ф(p) и заданы начальные условия вида y(0) = y0 , y`(0) = y1 , y``(0) = y2 , . . . , y(n – 1)(0) = yn – 1 ( задача Коши ), то решение уравнения y(t) так же полагаем оригиналом и y(t) =: F(p). Перейдем в ( 15 ) по формулам ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) к изображению производных и получим линейное уравнение относительно F(p) (изображающее уравнение). Решим это уравнения и по изображению определим оригинал y(t) =: F(p) , который и является решением задачи Коши.


В случае ЛДУ второго порядка y`` + a y` + by = (t) ( 16 )

имеем y(0) = y0 , y`(0) = y`0, y(t) =: F(p), (t) =: Ф(p). По формулам ( 6 ), ( 7 ) имеем y`(t) =: p F(p) - y0 , y ``(t) =: p2 F(p) – p y0y`0 и приходим к изобра- жающему уравнению

p2 F(p) – p y0y`0 + a[ p F(p) - y0 ] + b F(p) = Ф(p)

F(p) [ p2 + ap + b ] = Ф(p) + y`0 + (p + a) y0


Решение для изображения: F(p) = ( 17 )


Пр.18 Решить ЛДУ y``+ 6y`+ 9y = 9e3t при условии y(0) = y`(0) = 0.

Решение 1. Пусть y(t) =: F(p), тогда y`(t) =: p F(p), y ``(t) =: p2 F(p), 9e3t = (№3) и приходим к изображающему уравнению

p2 F(p) + 6p F(p) + 9 F(p) = или F(p)(p2 + 6p + 9) = . Решение представим в виде суммы простейших дробей

F(p) = = + + и просуммируем их.

Числитель A(p + 3)2 + B(p2 – 32) + C(p – 3) = 9 приводит к системе 3 уравнений

p2 | A + B = 0 A = ¼ Переход от изображения к оригиналу

p1 | 6A + C = 0 B = - ¼ по формулам № 3, 8 дает

p0 | 9A – 9B – 3C = 9 C = - 3/2

y(t) = ¼ e3t - ¼ e - 3t - 3/2 t e-3t


Решение 2. Пусть y(t) =: F(p) и 9e3t =: Ф(p). Решение изображающего уравнения F(p)(p2 + 6p + 9) = Ф(p) представим в виде произведения двух изображений F(p) = Ф(p), которые соответствуют функциям t e-3t и 9e3t. Оригинал решения есть свертка этих функций: y(t) = = = 9 = 9 e3t = = = 9 e3t { } = ¼ e3t - ¼ e - 3t - 3/2 t e-3t

Задачи для самостоятельного решения

Пр. 19 y``- 2y` - y = e3t при условии y(0) = 0 , y`(0) = 0

Ответ: F(p) = , y(t) = 1/16 e-t - 1/16 e3t - ¼ t e3t

Пр. 20 y``+ y` - 2 y = et при условии y(0) = 0 , y`(0) = 1

Ответ: F(p) = 1/ (p2 – 1) , y(t) = sh t


Решение систем дифференциальных уравнений


При решении системы ЛДУ с постоянными коэффициентами для каждой неизвестной функции вводится свое изображение и решение задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений для изображений.

Рассмотрим систему двух ЛДУ 1 порядка

x`(t) + a11 x(t) + a12 y(t) = f1(t) ( 18 )

y`(t) + a21 x(t) + a22 y(t) = f2(t)


при начальных условиях x(0) = x0, y(0) = y0 . Функции f1(t), f2(t) оригиналы.

Пусть x(t) =: F1(p) , у(t) =: F2(p) , f1(t) =: Ф1(p) , f2(t) =: Ф2(p). Построим изображающее уравнения с учетом формулы ( 6 ) , т.е. x`(t) =: pF1(p) - x0 , y`(t) =: pF2(p) - y0

pF1(p) - x0 + a11 F1(p) + a12 F2(p) = Ф1(p) ( 19 )

pF2(p) - y0 + a21 F1(p) + a22 F2(p) = Ф2(p)


Из решения системы находят F1(p), F2(p), а затем их оригиналы x(t) , y(t) .

Пр.21 При условии x(0) = y(0) = 0 решить систему .

Т.к. t =: 1/p2 (Пр.5), то система ( 18 ) принимает вид

Решение системы F1(p) = ; F2(p) =. Эти изображения разложим на сумму простейших дробей: F1(p) = - + - , F2(p) = - + + и по формулам № 1, 3 перейдем к оригиналам, которые дают решение исходной системы уравнений :

x(t) = – t + ½ et – ½ e-t , y(t) = – 1 + ½ et + ½ e-t .


Проверка. x`(t) – у(t) = [– 1 + ½ et + ½ e-t] – [– 1 + ½ et + ½ e-t] = 0

у`(t) – x(t) = [½ et – ½ e-t ] – [– t + ½ et – ½ e-t ] = t


Решение интегральных уравнений


Интегральными уравнениями называют такие уравнения, в которых неизвестная функция y(t) стоит под знаком интеграла.

В некоторых случаях такие уравнения также могут быть решены средствами операционного исчисления. К таким уравнениям относятся, например, уравнения Вольтерра первого и второго рода, имеющие соответственно вид

, ( 20 )

. ( 21 )

Интеграл, стоящий здесь, представляет собой сверку функций g(t) и y(t), что облегчает решение этих интегральных уравнений операционным методом. Пусть и . Пользуясь свойствами умножения изображений и линейностью, получим изображающие уравнения

, .

Отсюда находим неизвестное изображение F(p)

, ,

по которому восстанавливаем искомую функцию y(t).

Пр. 22 Решить интегральное уравнение .

Решение. Левая часть уравнения есть свертка функций y(t) =: F(p) и =: . Учитываем, что t =:, и переходим к изображению уравнения. F(p)= F(p) = = =: 1- t = y(t) – решение уравнения.

Проверка: = = (-1 +) - (-1 - t +) = t .


Устные экзаменационные вопросы


  1. Какие требования предъявляются к функции – оригиналу?

  2. Дать определение преобразования Лапласа.

  3. Почему преобразование Лапласа обладает свойством линейности?

  4. Прочитать теорему подобия.

  5. Прочитать теорему запаздывания.

  6. Прочитать теорему смещения.

  7. Теорема о дифференцировании оригинала.

  8. Теорема о дифференцировании изображения.

  9. Теорема об интегрировании оригинала.

  10. Теорема об интегрировании изображения.

  11. Определение свертки функций и её главное свойство.

  12. Какое преимущество дает операционное исчисление при решении дифференциальных уравнений?



^ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ


Кафедральные, базовые, опорные конспекты лекций


Авторский коллектив: Арсланов Ф.Х. , Гарифьянов Ф.Н. , Гимадиев Р.Ш. , Григорян С.А. , Желифонов М.П. , Никитин А.С. , Хамзин А.А.


Кафедра «Высшей математики» КГЭУ


2006 г.


Скачать файл (780.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации