Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  
  Лекции
  Лабораторные
  Справочники
  Эссе
  Вопросы
  Стандарты
  Программы
  Дипломные
  Курсовые
  Помогалки
  Графические

Загрузка...

Вычислительная математика - файл Вычмат РГР.doc


Вычислительная математика
скачать (272.2 kb.)

Доступные файлы (12):

Вычмат РГР.doc1670kb.10.06.2010 03:25скачать
1 задача МНК.xls37kb.07.03.2010 23:22скачать
diffur.xls73kb.10.06.2010 03:24скачать
gauss.cpp
gauss.exe
horda.xls18kb.09.06.2010 23:10скачать
matrix.xls46kb.10.06.2010 01:25скачать
splain.xls28kb.10.06.2010 01:45скачать
zapolnenie.cpp
zapolnenie.exe
Вектор и гистограмма.xls23kb.23.05.2010 20:02скачать
вычисленные Х.txt6kb.23.05.2010 20:03скачать

Вычмат РГР.doc

  1   2   3   4
Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное агентство по образованию




Расчетно-графическая работа

по курсу: «Вычислительная математика»

2010

Задание 1 Обусловленность матрицы


Задание : Дана система уравнений ax=b порядка n. Исследовать зависимость погрешности решения x от погрешностей правой части системы b.






  1. Задать матрицу системы A и вектор правой части b, найти решение x системы Ax=b с помощью метода Гаусса.




  1. Принимая решение x, полученное в п.1, за точное, вычислить вектор



относительных погрешностей решений систем ,где

компоненты векторов вычисляются по формулам:



(-произвольная величина погрешности).

  1. На основе вычисленного вектора d построить гистограмму. По гистограмме определить компоненту , вектора b, которая оказывает наибольшее влияние на погрешность решения.

  2. Вычислить число обусловленности cond(A) матрицы A.



  1. Оценить теоретически погрешность решения по формуле:



Сравнить значение со значением практической погрешности Объяснить полученные результаты.


Решение:

  1. Задаём матрицу А.



Для заполнения используем код программы zapolnenie.cpp (см. приложение)

#include <iostream.h>

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <windows.h>

#include <dos.h>

main()

{

double matr[100][100];


for (int i=1;i<7;i++)

{

for (int j=1;j<7;j++)

matr[i][j]= 1000/(3*(pow(0.1*21*i*j,2))+pow(0.1*21*i*j,3));

}

for ( int j=1;j<7;j++)

{

for ( int i=1;i<7;i++)


printf("%10.4f",matr[j][i]);

printf("\n");

}

getchar();

}


Результат работы zapolnenie:





Найдем решение полученной матрицы используя программу gauss.cpp (см приложение)

Исходный код gauss.cpp :


#include <iostream.h>

#include <stdio.h>

#include <windows.h>

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <dos.h>


const int sz=6;


double A[sz][sz]={

{44.4622, 7.8735, 2.7092, 1.2432, 0.6719, 0.4038},

{7.8735, 1.2432, 0.4038, 0.1789, 0.0945, 0.0558},

{2.7092, 0.4038, 0.1278, 0.0558, 0.0292, 0.0172},

{1.2432, 0.1789, 0.0558, 0.0242, 0.0126, 0.0074},

{0.6719, 0.0945, 0.0292, 0.0126, 0.0065, 0.0038},

{0.4038, 0.0558, 0.0172, 0.0074, 0.0038, 0.0022}

} ;

double F[sz]={21.00,21.00,21.00,21.00,21.00,21.00} ;

double X[sz];

double b[sz+1],par;


// функция вывода матрицы на экран

void Viv(double A[sz][sz])

{

int i,j;

for( i=0;i<sz; i++)

{

for( j=0;j<sz; j++)

printf(" %.4f ",A[i][j]); //вывод на экрам исходной матрицы с заданным количеством знаков после запятой (5f)

printf(" %.4f ",F[i]);

cout<<endl;

}

system("pause");

}


/////////////// функция решения методом Гаусса

void Resh(double A[sz][sz],double F[sz],double X[sz])

{

int i,j,k;

for (k=0;k<sz;k++)

{

// проверяем первый элемент

if (A[k][k]==0) //проверка на неноль

{

for (i=k;A[i][k]==0;i++); // находим ненулевой 1й элемент

for(j=k;j<sz;j++) // меняем строки в матрице

{

par=A[k][j]; //смена строк в матрице

A[k][j]=A[i][j]; //путем записи в par и извлечения из него

A[i][j]=par;

}

par=F[k]; // смена строк в ответе

F[k]=F[i];

F[i]=par;


}


// получаем 1й элемент единицу (делим всю первую строку на a1,1 )

par=A[k][k]; //пишем в par первый элемент

for(int i=k;i<sz;i++)

A[k][i]=A[k][i]/par;

F[k]=F[k]/par; // делим ответ на 1й


// нулевой столбец

for(int j=k+1;j<sz;j++)

{

for(int i=k;i<sz;i++)

b[i]=A[k][i]*A[j][k];

b[sz]= F[k]*A[j][k];


for(int i=k;i<sz;i++)

A[j][i]-=b[i];

F[j]-=b[sz];

}

}

for(i=sz-1;i>=0;i--) //обратка

{

par=0;

for (j=0;j<sz-1-i;j++)

par+=A[i][sz-j-1]*X[sz-1-j];

X[i]=F[i]-par;

}

}


//функция - точка входа в программу

void main()

{

Viv(A); // выводим матрицу

Resh(A,F,X); // решаем матрицу A методом Гаусса

for(int i=0;i<sz;i++) printf("\nX[%d]= %.5f \n\r",i,X[i]); // вывод результата


system("pause");

}


Результат работы gauss:


==============================================================

точное

==============================================================

44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000

7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000

2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000

1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000

0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000

0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .


X[0]= 872.15582


X[1]= -16329.24792


X[2]= 10011.59140


X[3]= 111650.80126


X[4]= -26697.87796


X[5]= -144076.29603

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

===========================================================



  1. Вычисляем вектор d.

Величина погрешности, вносимой в правую часть системы – 1%.

Сформируем векторы b (по заданному закону )


b1
b2
b3
b4
b5
b6

20,79
21
21
21
21
21

21
20,79
21
21
21
21

21
21
20,79
21
21
21

21
21
21
20,79
21
21

21
21
21
21
20,79
21

21
21
21
21
21
20,79



Для каждого из них найдем решение матрицы используя gauss


С погрешностью в …. компоненте

==============================================================

в первой

===============================================================

44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 20.7900

7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000

2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000

1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000

0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000

0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .


X[0]= 872.07580


X[1]= -16327.25169


X[2]= 10005.24500


X[3]= 111652.84781


X[4]= -26679.82743


X[5]= -144100.68447

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

===============================================================

во второй

===============================================================

44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000

7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 20.7900

2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000

1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000

0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000

0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .


X[0]= 874.15205


X[1]= -16398.19981


X[2]= 10378.69292


X[3]= 111250.49388


X[4]= -27254.14851


X[5]= -143256.57148

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

==============================================================

в третьей

===============================================================

44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000

7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000

2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 20.7900

1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000

0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000

0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .


X[0]= 865.80942


X[1]= -15962.14640


X[2]= 7652.50187


X[3]= 114149.98680


X[4]= -23271.06118


X[5]= -148104.07985

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

================================================================

в четвёртой

================================================================

44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000

7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000

2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000

1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 20.7900

0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000

0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .


X[0]= 874.20237


X[1]= -16729.55530


X[2]= 12510.77695


X[3]= 111600.37766


X[4]= -35532.05319


X[5]= -138409.12992

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

==============================================================

в пятой

==============================================================

44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000

7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000

2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000

1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000

0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 20.7900

0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .


X[0]= 890.20635


X[1]= -16885.51847


X[2]= 13438.40819


X[3]= 102816.62603


X[4]= -16375.93145


X[5]= -148185.68530

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

===============================================================

в шестой

===============================================================

44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000

7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000

2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000

1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000

0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000

0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 20.7900

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .


X[0]= 847.76738


X[1]= -15509.52337


X[2]= 5983.80758


X[3]= 117317.96737


X[4]= -30807.26724


X[5]= -140960.86219

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

На основе полученных значений сформируем вектор d
Р Е Ш Е Н И Я С П О Г Р Е Ш Н О С Т Я М И






















точное
в первой
во втророй
в третьей
в четвёртой
в пятой
в шестой

872,1558
872,0758
874,1521
865,8094
874,2024
890,2064
847,7674

-16329,2479
-16327,2517
-16398,1998
-15962,1464
-16729,5553
-16885,5185
-15509,5234

10011,5914
10005,2450
10378,6929
7652,5019
12510,7770
13438,4082
5983,8076

111650,8013
111652,8478
111250,4939
114149,9868
111600,3777
102816,6260
117317,9674

-26697,8780
-26679,8274
-27254,1485
-23271,0612
-35532,0532
-16375,9315
-30807,2672

-144076,2960
-144100,6845
-143256,5715
-148104,0799
-138409,1299
-148185,6853
-140960,8622










x-xi









||x||
0,0800
1,9962
6,3464
2,0466
18,0505
24,3884

111650,8013
1,9962
68,9519
367,1015
400,3074
556,2705
819,7245




6,3464
367,1015
2359,0895
2499,1856
3426,8168
4027,7838




2,0466
400,3074
2499,1855
50,4236
8834,1752
5667,1661




18,0505
556,2705
3426,8168
8834,1752
10321,9465
4109,3893




24,3884
819,7245
4027,7838
5667,1661
4109,3893
3115,4338

























||x-xi|| i:1…6



d












24,3884



0,000218435












819,7245



0,00734186












4027,7838



0,036074831












8834,1752



0,079123259












10321,9465



0,092448477












5667,1661



0,050757953








(см. файл «Вектор и гистограмма.xls»)


Отсюда видим, что






  1. ^ Строим гистограмму элементов вектора относительных погрешностей d.



(см. файл «Вектор и гистограмма»)




По гистограмме видно, что наибольшее влияние на погрешность решения оказывает компонента вектора .



  1. Найдем число обусловленности матрицы A

Число обусловленности матрицы A вычисляется по формуле





Норма матрицы A: =57,3638

Норма обратной матрицы : =129841,19

7448184,055



  1. Теоретическая оценка погрешности












Так как то матрица плохо обусловлена, это значит, что незначительные изменения в правой части приведут к большой погрешности в решении.


  1   2   3   4


Скачать файл (272.2 kb.)

Поиск по сайту:  
© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации